Huỳnh Thanh Luân

www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
1.1 Bài tập cụ thể.
u0 = 1
1;
CSC
un = un 1 2, n 1.

u0 = 3
2;
CSN
un = 2un 1 , n 1
u0 = 2
3 1
3;
1 = +
2 2
un = 3un 1 1, n 1
u0 = 2
4;
3n = [3n + 6] + 2 3 ( n 1) + 6
un = 2un 1 + 3n, n 1
khác hệ số nên ta vẫn giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) 2 g ( n 1) , g ( n ) = an + b.
u0 = 2
2
2n + 1 = n 2 + 2n ( n 1) + 2 ( n 1)
5;

12;
un 2un 1 + un 2 = 2n + 1, n 2
u0 = 1; u1 = 3
13;
n
un 5un 1 + 6un 2 = 2.5 , n 2
u0 = 1; u1 = 3
14;
n
un 5un 1 + 6un 2 = 2.3 , n 2
u0 = 1; u1 = 4
15;
n
un 4un 1 + 4un 2 = 2 , n 2
Trang 1


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
x1 , x2 ,..., x k
1.2.1 Loại thuần nhất:
(1)
a0 xn+k + a1 xn+k1 + ... + ak xn = 0, n 1

Đầu tiên giải phơng trình đặc trng:



xn = c11n + c22n + ...cssn +
+r n ( A1 + A2 n + ... + Ah n h1 ) cos n + ( B1 + B2 n + ... + Bh n h1 ) sin n , n = 1, 2,...


( với c1 , c2 ,..., ck1 , A1 , A2 ,..., Ah , B1 , B2 ,..., Bh là các hằng số ).

Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong
công thức nghiệm của (1).
VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.
x1 , x2 ,..., x k
1.2.2 Loại không thuần nhất:
(2)
a0 xn+k + a1 x n+k1 + ... + ak xn = fn , n 1
B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tơng ứng. Gs:

xn = c11n + c22n + ...ckkn , n = 1,2,...

B2: Ta thay xn* = c1 (n)1n + c2 (n)2n + ...ck (n)kn , n = 1,2,... vào (2) để xđ các hàm ci ( n ) .

Trang 2


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân
B3: Nghiệm của (2) là: xn = xn + xn*

theoo hớng: Làm nháp bằng phơng


Nếu sin

xn* = [sin x + sin 2 x + ... + sin(n 1) x ] , n = 1, 2,...

x
x
= 0 thì xn* = 0 xn = 0, n = 1, 2,... . Còn nếu sin 0 thì với mọi n = 1, 2,... , ta có
2
2
1 x
x
x

sin sin x + sin sin 2 x + ... + sin sin(n 1) x =
xn* =

x
2
2

sin 2
2
x
3x
3x
5x
(n 2) x
(n 1) x


2

2sin
sin
2
2

Vậy

xn = c +

sin

nx
(n 2) x
sin
4
4
, n = 1, 2,...
x
sin
2

x
x
x
sin sin
sin
4
4 =c

(n 2) x
sin sin
1
x
4
4
xn = tan +
x
2
4
sin
2
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
x
x
x
x
sin sin
sin sin
1
x
4
4 = 1 tan x
4
4
x1 = 0 = tan
x
x
x

4
xk +1 = xk + sin kx = tan +
+ sin kx =
x
2
4
sin
2
kx
(k 2) x
x
sin sin
+ sin sin kx
1
x
4
4
2
= tan +
=
x
2
4
sin
2
(k + 1) x
(k 1) x
sin
sin
1

+
Tìm dãy số { x n } biết 1
n =1
xn + 2 = xn , n = 1,2,...
Lời giải
+

Trang 4

(1)


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là 2 = 1 {1,1} . Do đó xn = A.1n + B(1)n , n = 1,2,... .
Bởi vậy từ giả thiết x1 = , x2 = , ta có


+
A=

A B =

2 .


A + B =

,
( hay 1, cos i sin
, cos
+ i sin
)
2
2
3
3
3
3
3

Do đó
n2
n2
+ C sin
, n = 1,2,... ,
3
3
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 , x3 .
Ta cũng có thể trình bày nh sau:
Phơng trình đặc trng 3 = 1 của dãy số đã cho có các nghiệm là
h 2
h 2
+ i sin
cos
, với h = 0,1, 2
3
3

2
2

3
3
3
3
2n
4n
2n
4n
Mà cos
= cos
,sin
= sin
nên ta viết lại nh sau:
3
3
3
3
n2
n2
xn = A + B cos
+ C sin
, n = 1,2,... ,
3
3
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 , x3 .
Bài toán 3. (dãy số tuần hoàn chu kỳ k bất kỳ)
xn = A + B cos

+ i sin
k
k
k
k
k
k
Do đó
k

Trang 5


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân


2
2
4
4
xn = c + A1 cos
+ B1 sin + A2 cos
+ B2 sin +

k
k
k

2
2(k 1)
4
2(k 2)
= sin
= sin
,sin
,...
k
k
k
k

và

nên ta có thể viết lại nh sau
k1

h2
h2
xn = h cos
+ sin
, n = 1,2,... ,

k
k
h =0

trong đó các hằng số 0 , 1 ,..., k1 sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 ,..., xk .


zn
cxn + d
zn +1 c yn + d
zn +1 cyn + dzn
zn
+

Nh vậy, nếu ta xác định đợc hai dãy

( yn ) , ( z n )

y1 = p, z1 = 1

: yn +1 = ayn + bzn , n 1 thì coi nh đã xác định
z = cy + dz , n 1
n +1
n
n

đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
y1 = p, z1 = 1

b)Ta xét ( yn ) , ( zn ) : yn +1 = ayn + bzn , n 1 .
z = cy + dz , n 1
n +1
n
n
Cách 1:
yn + 2 = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn )
= ayn +1 + bcyn + bdzn

yn +1 = ayn + bzn
yn +1 = ayn + bzn
*)

yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + ( b + d ) zn
zn +1 = cyn + dzn
zn +1 = cyn + dzn

b + d
b + d
yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn +
zn chọn =
a + c
a + c

c) Theo trên, ta có thể xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số ( xn ) , với xn =

yn
, y1 và z1 cho trớc và
zn

yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn

2.3. Bài tập
u0 = 2; v0 = 1

1; un = 2un 1 + vn 1 , n 1
v = u + 2v , n 1
n
n 1

=
= 2.
+
un
2un 1
un 1 2
un

u0 = 2

2;
9un 1 24
un = 5u + 13 , n 1
n 1

*)Đặt un = xn + t xn + t =

9 xn 1 9t 24
( 9 5t ) xn 1 5t 2 22t 24
xn =
5 xn 1 + 5t + 13
5 xn 1 + 5t + 13

*)Chọn t : 5t 2 22t 24 = 0 t = 2
xn 1
1
1

= 3.
+5

c
c
ax + b
x
cx + d

d

t1 =
đợc định nghĩa bởi:
c
t = f 1 (t ), n = 1, 2,...
n +1
n

(Dãy này có thể không xác định kể từ một thứ tự nào đó.) Chứng minh rằng ( xn )+
n =1 là dãy phân tuyến tính khi và
chỉ khi x1 tn , n = 1, 2,...

Chứng minh.
d
a
Với mọi x, y , x , y ta có
c
c
ax + b
b dy
y=
cyx + dy = ax + b x =
cx + d

cL + d
Định lí 3. Khi = (d a ) 2 + 4bc 0. Gọi , là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
cx 2 + (d a ) x b = 0 . Khi đó:
a) x1 = xn = , n = 1, 2,...
x
c + d
, n N * , =
. Khi đó:
b) Giả thiết x1 , đặt X n = n
xn
c + d
X n +1 = X n , n = 1, 2,...
c) Nếu =

c + d
< 1 thì lim xn = .
n
c + d
Trang 8


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

c + d
> 1 thì lim xn =

=
= . Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu x1 = thì
cxn + d c + d
xn = , n = 1, 2,...
b)Ta có
x axn + b a + b axn + b a + b
X n +1 = n +1
=


:
,
xn +1 cxn + d c + d cxn + d c + d
c + d xn
X n +1 =
= X n , n = 1, 2,...
.
c + d xn
x2 =

c) Theo kết quả câu (b) suy ra X n = n 1 X 1 , n = 1, 2,...
Nếu < 1 thì lim n 1 = 0 . Do đó lim X n = lim n 1 X 1 = 0 . Từ X n =
n

n

xn =

Xn
X n 1



Xn 0
Xn
1
= 0 lim xn = lim
= lim
=
= .
n
n X 1
x
1
Xn
1

0
n
1
Xn

x1
. Do đó nếu x1 = thì X 1 = 0 . Theo kết quả câu (b) suy ra X n = 0, n = 1, 2,... Suy ra
x1
lim X n = 0 . Tơng tự nh trên suy ra lim xn = .
Ta có X 1 =

n

n

Huỳnh Thanh Luân
Từ X n =

{X n}

xn
v
suy ra dãy { xn } không hội tụ ( vì nếu lim xn = v thì lim X n =
, nghĩa là dãy
n
n
xn
v

hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).

c + d
= 1.
c + d
c + d = c + d c = c = . Mà điều này không thể xảy ra đợc do = (d b)2 + 4bc >0.
ad
Định lí 5. Giả thiết = (d a ) 2 + 4bc = 0 và đặt g =
. Khi đó
2c
a) x1 = g khi và chỉ khi xn = g , n = 1, 2,...
1
2c
. Khi đó
b) Giả thiết x1 g , đặt X n =
, n = 1, 2,... , đặt à =


c) lim xn = g .
n

Chứng minh
a) Vì =0 nên phơng trình cL2 + (d a ) L b = 0 ( tức là phơng trình L =
g=

aL + b
) có nghiệm kép là
cL + d

ad
. Tiếp theo ta làm tơng tự nh đã làm ở định lý (4a)
2c
b) Với mọi n = 1, 2, ... , ta có
ax + b a d
2c(cxn + d )
1
X n +1 =
= 1: n

=
2c c(a + d ) xn + 2bc ad + d 2
xn +1 g
cxn + d

(d a) 2
. Do đó
2

+
=
(a + d )( xn g )
(a + d )( xn g ) (a + d )( xn g )
2c
(a + d )
2c
1
=
+
=
+
= à + Xn
a + d (a + d )( xn g ) a + d xn g

( 2(cg + d ) = a + d Vì 2 ( cg + d ) = 2cg + 2d = a d + 2d = a + d )
c) Nếu x1 = g thì theo định lý (5a) suy ra xn = g , n = 1, 2,... do đó lim xn = g . Nếu x1 g thì theo định
n

lý (5b) ta có

X n +1 = X n + à , n = 1, 2,...

suy ra { X n } là cấp số cộng có công sai là à và số hạng đầu là X 1 . Do đó
X n = X 1 + (n 1) à , n = 1, 2,...

Trang 10