Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia

Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2
ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Trường THPT chuyên Hưng Yên

Phần I: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2.
I. LÝ THUYẾT:
Đó là các dãy số thực có dạng
n 2 n 1 n
u au bu
 
 
(*) với mọi
n 0

, trong đó a và b là
các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau:
Xét phương trình ẩn t sau đây:
2
t at b 0
  
(**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*).

a 4b 0
   
khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát
của (*) có dạng
n n 1
n
u x.t y.nt

  , với mọi
n 0

( ở đây ta qui ước
1
0 0


) và x, y là hai số
thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước
0
u
và
1
u
.
Trường hợp 3:
2
a 4b 0
   
, ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường
hợp này như sau:

1 2
t ,t
khi đó theo định lí Vi-et ta có:
1 2
1 2
t t a
t t b
 


 

. Khi đó

n 1 1 2 n 1 2 n 1
u (t t )u t t u
 
  

2 n
n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0
u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u )
   
         .
Như vậy
n
n 1 1 n 2 1 1 0
u t u t (u t u )

   (1);

.
Vy
n
u
cú dng
n n
n 1 2
u x.t y.t
vi x,y l hai s thc.
Trng hp 2:
0

khi ú
2
a
b
4

, (**) cú nghim kộp
a
t
2

. Ta cú
2 n
n 1 n n 1 n 1 n n n 1 1 0
u 2t.u t u u tu t(u tu ) t (u tu )

t
, , hai v ca (n+3) vi
n
t
v cng li ta
c:
n 1 n
n 1 0 1 0
u t .u n.t .(u tu )


. Do ú
n
u
cú dng
n n 1
xt yn.t

vi x, y l hai s
thc.

II. CC V D:
Vớ d 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn:
0 1
n 2 n 1 n
u 1,u 2
.
1 2
u u u , n 0
3 3

vi
x,y


. Ta li cú:
0
1
x y 1
9
x
u 1
5
2
u 2
4
x y 2
y
5
3







*) Đặt
n
n
1
u
v
 ,
0 0 1 1
1
u 1 v 1;u 2 v
2
     
.
n n 1
n 2 n 1 n n 2
n 2 n 1 n n n 1
1 2 1 1 2 3v v
u u u v , n 0
3 3 v 3v 3v v 2v

  
  

          

.
Như vậy ta có đề toán mới như sau:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn:
0 1

0 0 1 1
u 1 v e;u 2 v e .
     

2
n
3
n 2 n 1 n n 2 n 1 n n 2
n 1
1 2 1 2 v
u u u lnv lnv ln v v , n 0
3 3 3 3 v
    

          
.
Như vậy ta có đề toán mới như sau:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn:
2
0 1
2
n
3
n 2
n 1
v e,v e
v
v , n 0.
v


.
Giải:
Từ (*)
2 2
n 1 n n n 1 n n
u a.u b.u c u a.u b.u c 0
 
       

2 2 2 2 2 2
n 1 n n n 1 n n 1 n n
(u a.u ) b.u c u 2.a.u .u a u b.u c
  
        

2 2 2 2 2
n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n
u 2.a.u .u u (a b) c u 2.a.u .u u c
   
        

n 1
 

2 2 2 2
n 1 n n 1 n n n n 1 n 1
u 2.a.u .u u u 2.a.u .u u
   
     
2 2


Ta tính được
n
u
theo dạng (1).

Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia

Phần II: Áp dụng việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2
trong một số bài toán về dãy số.
Ví dụ 1: Cho dãy
n
(u )
thoả mãn
0 1
n 2 n 1 n
u 0;u 1
.
1
u u u ,n 0
2
 
 


2 n n
u (x.cos ysin ),n 0;x,y .
2 4 4
 
 
   
 
 


Từ giả thiết
0 1
u 0;u 1
 
ta suy ra x= 0; y= 2. Vậy số hạng tổng quát của dãy là
n
n n
n
n 2 2 n
u 2sin ( ) sin ,limu 0
4 2 4
( 2)
 
  
vì
n
n
2
| u | 0.
( 2)

4 4
 
 
   
 
 
. Hay

2n 1 2n 1
n
1 1
x ( 2 1) ( 2 1)
2 2 2 2
 
   

2n 1 2n 1
n
2n 1 2n 1 2n 1
n
2n 1 2n 1
2n 1 k 2n 1 k k 2n 1 k k
n 2n 1 2n 1
k 0 k 0
1 1
2x ( 2 1) ( 2 1)
2
2 2
1
2x ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)

2n 1 n
2t 1 2n 1 2k 1 2t 1 (n t)
2n 1 2n 1
2t 1 1 t 0
C ( 2) C 2 .

     
 
  
  
 


n
2n 1 2t 1 (n t)
n 2n 1
t 0
2x ( 2 1) C 2
  


   


 
n
2n 1 2t 1 n t
n 2n 1
t 0
2n 1 2n 1

      
   Ví dụ 3: Cho dãy số
n
u
được xác định như sau:
n n
n
(2 3) (2 3)
u ;n 0,1,2
2 3
  
 
a. Chứng minh rằng
n
u
là số nguyên với mọi n = 0, 1, 2, ….
b. Tìm tất cả số hạng của dãy chia hết cho 3.
Giải:
a) Với
0 1
n 0 u 0;n 1 u 1.
     

Đặt
2 3; 2 3
      , ta có
4

;
n 2 n 1 n
u 4u u
 
 
nên
n
u


,
n 0,1,
 
.
b) Ta có
n 2 n 1 n 1 n
u 3u (u u )
  
  
. Do
n 1
u



nên
n 2 n 1 n
u u u
 
 

0
= 1,
1 n n 1 n 2
a 1,a 6a 5a
 
   
với mọi
n 2

. Chứng minh rằng
2012
a 2010

chia hết cho
2011.
Giải:
Cách 1: Xét dãy (
n
b
) được xác định như sau:
0 1 n n 1 n 2
b 1;b 1;b 6b 2016b
 
    
, với mọi
n 2

.
Dãy này có phương trình đặc trưng là
2

 
Do 2011 là số nguyên tố và 2011, 90 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ta chỉ cần chứng
minh:
2012 2012
41.48 49.( 42) 90 0(mod2011).
    (1)
Mà theo định lí Fermat nhỏ , ta có
2012 2012 2 2
41.48 49.( 42) 90 41.48 49.42 90(mod2011)
     
= 90.
2
b
+90 = 90 [6(-1)+2016.1]+90
= 90.2010 + 90 = 90.2011

0 (mod 2011).
Vậy (1) đúng, bài toán được chứng minh.
Cách 2: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là
2
x 6x 5 0
  
có hai nghiệm là
3 14

và
3 14
 , do đó ta tìm được số hạng tổng quát của dãy là
n
a


Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia

1005 1005
2k 2011 2k k 2011 2k 2011 2k k
2012 2011 2011
k 0 k 1
u C 3 14 3 C 3 14 .
 
 
  
 

Do 1<2k<2011 với
1 k 1005
 
và 2011 là số nguyên tố nên
2k 1
2k
2010
2011
C
C 2011( ) 2011
2k

2011
C
C 2011 2011
2k 1


 

 

 

Với


k 1,2, ,1005
 . Vì vậy
1005
2012
v 14
 (mod 2011).
Do
2 2
14 2025 2011 45 2011 45
    
(mod 2011) nên áp dụng định lí Fermat
nhỏ, ta có
1005 2010
14 45 1
 

  


CMR:
1996
u
chia hết 1997
Giải:
Tìm công thức xác định số hạng TQ:
Xét dãy
n n n 1 n n 1
1975
x u x 4.x 5.x
8
 
    