Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
https://www.facebook.com/tailieupro/
BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:
https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
https://www.facebook.com/tailieupro/
Từ công thức truy hồi ta có :
https://www.facebook.com/tailieupro/
Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí
dụ : Cho dãy số {x } được xác định bởi :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải:
Từ công thức truy hồi ta có :
.
Dạng
2: Cho dãy số {x } :
, với
là đa thức bậc k của n.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
https://www.facebook.com/tailieupro/

pt, ta được :
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
https://www.facebook.com/tailieupro
.
https://www.facebook.com/tailieupr
CTTQ của số hạng trong dãy :
.
Từ
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Thí dụ 2: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupr
Giải: Xét phương trình đặc trưng
.
https://www.facebook.com/tailieupr
 x0  const

ax n+1  bxn  0

n

2

n

 b
 b

b
a

xn*

xn  c. n  xn*

xn*

xn*  Qk (n)

a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n)

Qk (n)

xn*  n.Qk (n)

a(n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n)
n

n.Qk (n)


 x0  7

2

 xn 1  2 xn  3n  4n  5 , n   .

n

 1  0    1

n

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
Số hạng tổng quát của dãy :
https://www.facebook.com/tailieupr


Từ
https://www.facebook.com/tailieupr
 Nếu
thì nghiệm riêng của phương trình
thay vào pt, ta được :
https://www.facebook.com/tailieupr
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng xn*  n(an  b)  an2  bn . xn* vào pt,
ta được : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n  5 .
 2an  a  b  4n  5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
 2a  4
a  2

 xn*  2n2  3n

a  b  5 b  3
xn  c  2n2  3n

x0  5  c  5. Suy ra xn  2n2  3n  5.

 x0

ax n+1  bxn  d (d  const) , n   .


neu a  b  0.

neu a  b  0.

n

xn  xn1  6  xn2  2.6  xn3  3.6  .......  x0  6n hay xn  6n  5
n

 x0  3

 xn 1  8 xn  4 , n  

xn  8 xn 1  4  8 8 xn 2  4  4  82.xn 2  4 8  1  82.xn 2  4.

n

82  1
8n  1
 ........  8n.x 0 4.
8 1
8 1

4
25
4
xn  3.8n  . 8n  1  .8n  .
7
7
7

xn  c1.q n  xn*  c1.q n 

n

do b  qa

d n
.
a  q


 n
d
d
d
d n
d  n  qn
n
 c1  x0 
 xn   x0 
.
q


x
.
q

.
0

.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Từ
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Vậy từ trên ta có :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro/
Ta có :
Vì
nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí dụ 2: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro/
Ta có:
Vì
nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
https://www.facebook.com/tailieupro/
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng 5: Cho dãy số {x } :
. Xác định
https://www.facebook.com/tailieupro

Số hạng tổng quát
https://www.facebook.com/tailieupr
Suy ra xn* 

dnq n dnq n1

aq
a

dnq n 1
xn  c1.q  x  c1.q 
a
n

x0  c1  xn  x0 .q n 

*
n

n

dnq n 1
a

 d qn   n
neu q  
 .
a q 
n
xn  x0 .q  

 x0  2
n

n

 xn 1  3xn  5.3 , n  
b
  q    3 ;   3 ; d  5.
q 
a
d
xn  x0 .q n  .nq n1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n1
a
 x0

n

n
n
n

axn 1  bxn  d11  d 2 2  .....  d k k
xn*1

axn1  bxn  d11n

xn*2

axn1  bxn  d2 2n


2
*2
xn  d2 .7n
2  
n

n

d2 .7n1  2d2 .7n  5.7n  d2  1  xn*2  7n

xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
. Từ x ; x ta tìm được c và c .
https://www.facebook.com/tailieupro
 Phương trình (1) có nghiệm
thì số hạng tổng quát có dạng :
. Từ x ; x ta tìm được c và c
https://www.facebook.com/tailieupro
Thí dụ 1: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro
Giải: Xét phương trình đặc trưng
Số hạng
tổng quát của dãy có dạng
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Từ
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Thí dụ 2: Cho dãy {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro
Giải: Xét phương trình đặc trưng
https://www.facebook.com/tailieupr
Số hạng tổng quát của dãy có dạng
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Từ
.
Dạnghttps://www.facebook.com/tailieupr
2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực.
https://www.facebook.com/tailieupr


n

 xn 1  5 xn  3n  2  2.3 , n  
  5  0    5.

n

n

3
11
xn 1  5 xn  3n  2  xn*1   n 
4
16
*2
n
*2
n
xn1  5xn  2.3  xn  3
xn
3
11
xn  c. n  xn*  c.5n  n   3n
4
16
11
75
75
3

1

2.

1  2  

xn  (c1  nc2 ).

n

n

0

1

 x0  2; x1  5.

 xn  2  5 xn 1  6 xn , n   .

n

 2  5  6  0  1  2  2  3.
xn  c1.2n  c2 .3n

 x0  2 c1  c2  2
c  1
. Suy ra xn  2n  3n

 1


10
x

 1 2
 2
 1

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
dụ 1: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro
Xét phương
trình đặc trưng :
https://www.facebook.com/tailieupro
Do a+b+c
≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình
.
Số hạng
tổng quát của dãy số :
.
https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
Từ
.
https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
n

 x0 ; x1

axn  2  bxn 1  cxn  0 , n  
a 2  b  c  0 (2)

n

xn  r n (c1cosn +c2 sin n )

r  A2  B 2 ;   arctan


b
1 ; B 
 3
2a
2a

B 

A 3
n
n

 c2 sin
xn  2n  c1cos
3
3


n

r  A2  B 2  2 ;   arctan

n


.


c1  1


d
 *
 xn  a  b  c khi a  b  c  0

 x*  dn khi a  b  c  0 ; 2a  b  0
 n 2a  b

 xn*  n(n  1) d khi a  b  c  0 ; 2a  b  0.

2a

n

n

 x0  4 ; x1  1

2 xn  2  5 xn 1  2 xn  3 , n  

n

1
2 2  5  2  0  1  2  2  .
2
d
3
xn* 

 3


Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupr
Giải: Xét phương trình đặc trưng
https://www.facebook.com/tailieupr
n

89

 x0  5; x1 
5

 xn  2  7 xn 1  6 xn  11, n  
 2  7  6  0  1  1  2  6.
dn
11n
11
xn* 

 n
2a  b 2  7
5
11
xn  c1  c2 .6n  n , n   .
5

n

 x0  5
c1  c2  5
c1  2

xn*  n(n  1)

 x0  3 c2  3
c  1
. Suy ra xn  3n2  4n  3 , n   .

 1

c2  3
 x1  2 c1  c2  2
 x0 ; x1

n

n

axn  2  bxn 1  cxn  dq , n   .

n

xn*

 *
dq n
 xn  aq 2  bq  c khi q  1  q  2 .

 * ndq n 1
khi q  1  q  2 .
 xn 
2aq  b

n
n
n
xn  c1.3  c2 .5  3.4 , n  
*
n

 x0  2 c1  c2  3  2
c  4
. Suy ra xn  4.3n  5n  3.4 n , n   .

 1

3c1  5c2  12  5
c2  1
 x1  5
 x0  8 ; x1  5.

n

n

 xn  2  11xn 1  28 xn  6.7 , n   .

 2  11  28  0  1  4  2  7.

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
Dạng 5: Cho dãy số {x } được xác định bởi :
với
https://www.facebook.com/tailieupro/
là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Nghiệm riêng cua phương trình đượ xác định như sau:
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Xáchttps://www.facebook.com/tailieupro/
định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên.
Thí
dụ : Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x
https://www.facebook.com/tailieupro
Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy :
https://www.facebook.com/tailieupro
Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình
. Thay vào công thức
truy hồi,
tiến hành đồng nhất hệ số ta được :
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Số hạng tổng quát của dãy :
Từ https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupro
Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {x } :
.Tìm CTTQ x
https://www.facebook.com/tailieupro
Nghiệm
riêng của phương trình dạng này được xác định như sau :
https://www.facebook.com/tailieupr


n

 xn  2  10 xn 1  25 xn  2.(5) , n   .
 2  10  25  0  1  2  5
d
q  1  2
xn*  n(n  1) .q n2  n(n  1).(5)n2
2a
n
n
xn  c1n  c2 .(5)  n(n  1).(5) , n   .

 x0  c2  4
c  3
. Suy ra xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n 2  76n  100).(5) n n   .
 1

 x1  5(c 1 c2 )  5 c2  4
 x0 ; x1
Pk (n)

n
axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n) , n   .
xn*

 xn*  Qk (n) khi a  b  c  0.
 *
 xn  nQk (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.
 x*  n 2Q (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.

5
25
60
x

c

c


 2
1
2
 1

 x0 ; x1
n

n

axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n). , n   .
xn*

 xn*  Qk (n). n khi   1    2 .
 *
n
 xn  n.Qk (n). khi   1    2 .
 x*  n 2 .Q (n). n khi      .
k
1

 .
https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {x } :
. Xác định số hạng tổng quát của dãy trên.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thay vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B.
Thí
dụ: Cho dãy {x } : được xác định bởi :
https://www.facebook.com/tailieupro/
. Tìm số hạng tổng quát của dãy.
https://www.facebook.com/tailieupro/


Giải:
Xét phương trình đặc trưng :
https://www.facebook.com/tailieupro/
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
. Thay vào công thức truy
https://www.facebook.com/tailieupro/
hồi, ta được :
https://www.facebook.com/tailieupro/
.


https://www.facebook.com/tailieupro/
Phân tích vế trái và rút gọn ta được :
https://www.facebook.com/tailieupro

c  2
. Suy ra xn  (2n  5).3n  (n3  2n 2 ).3n  n3  2n 2  2n  5 .3n
 1

5
c

3(
)
3
18
x

c

c


 2
1
2
 1
n

 x0 ; x1.

axn  2  bxn 1  cxn   .cosn + sinn , n   .

xn*  Acosn +Bsinn



 3  Acos
 B sin
 2  Acos
 B sin  
 Acos 4  B sin


4  
4
4 
4
4 

n
n
3  3 2 .cos
 sin
4
4

3 A 3B
n 
3 A 3B
n
n
n




4
4
B  1
  A  3 A  3B  2 A  1

2
2
n
n
xn  c1  c2 .2n  cos
 sin
.
4
4
 x0  c1  c2  1  4
c  6
n
n

 1
. Suy ra xn  2n  6  cos
 sin
, n   .

4
4
 x1  c1  2c2  2  4  2
c2  1



x của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng
. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
https://www.facebook.com/tailieupro/
. Khi đó số hạng của dãy được xác định là :
.
Từ các giá trị
ta xác định được các giá trị
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí dụ: Cho dãy số {x } :
. Tìm CTTQ của x .
https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải: Xét phương trình đặc trưng :
Số
hạng tổng quát của dãy có dạng :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Từ
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng
2: : Cho dãy {x } :
. Xác định số hạng tổng
https://www.facebook.com/tailieupro/
quát
x của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng
có hai nghiệm phân biệt

https://www.facebook.com/tailieupr
công thức nghiệm tổng quát có dạng :

 .
https://www.facebook.com/tailieupr
x 
*
n

k

i 1

xn*i

 x0 ; x1 ; x2

axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

n

n

a 3  b 2  c  d  0

1 ; 2 va 3

xn  c1.1n  c2 .2n  c3 .3n

x0 ; x1 ; x2

 2 1
c3  
2

 x0 ; x1 ; x2

n
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .
n

1 va 2  3  

a 3  b 2  c  d  0

xn  c1.1n  c2 n  c3 . n

x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

n

 x0  5; x1  11 ; x2  16

 xn 3  11x n  2 32 xn 1  28 xn  0 , n   .
 3  11 2  32  28  0  1  7  2  3  2.
xn  c1.7n  c2 n  c3 .2n

6


n

a 3  b 2  c  d  0

1  2  3  

xn  c1n2  c2 n  c3 . n

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
thựchttps://www.facebook.com/tailieupro
nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng
quát là
. Vậy số hạng tổng quát
.
https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupro
Từ
https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupro
Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất.
Cho dãy
số dạng {x } :
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Trong đó có thể là hăng số,
, đa thức bậc k theo n
, ....
https://www.facebook.com/tailieupr
Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên.
IV-Phƣơng
trình sai phân bậc cao.
https://www.facebook.com/tailieupr
Dạng 1: Phương trình thuần nhất :
.
Xét phương
trình đặc trưng :
.
https://www.facebook.com/tailieupr
TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng :

2
 x  4c  2c  c  8 
1
2
3
 2
3
c

 3


 x0 ; x1 ; x2

n
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

n

a 3  b 2  c  d  0


xn  c1.  c2 .cosn +c3 .sin n
n

x0 ; x1 ; x2

c1 ; c2 va c3

n


 4 3
 x1  3c1  
2
2


c2 c3 3
 8 3
 x2  9c1  

2
2

n

dn

n

n
n
 c3 .sin
3
3

c1  1
n
n



 .
https://www.facebook.com/tailieupro/
TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi
https://www.facebook.com/tailieupro/
đó số hạng tổng quát của dãy có dạng :
.


https://www.facebook.com/tailieupro/
TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức :

 trong đó
https://www.facebook.com/tailieupro/
;
và k – 2 nghiệm thực khác nhau thì số hạng tổng quát của dãy
số sẽ có dạng :


https://www.facebook.com/tailieupro/

Dạng 2: Phương trình không thuần nhất:
https://www.facebook.com/tailieupro/
Ta xét thêm nghiệm riêng tuỳ theo dạng của b và các hệ số a . Thiết lập công thức
tổng
quát của x từ các giả thiết của bài.
https://www.facebook.com/tailieupro/
V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp của dãy số trong các kì thi.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng

https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupr
Từ công thức tổng quát của {y } và {z } ta suy ra CTTQ của {x } .
Cách 2:https://www.facebook.com/tailieupr
Đặt
, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có :
https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
xn  c1.  c2 .  c3 .  ...........  ck . 
n
1

n
2

n
3

n
k

k

i 1

ci .in

k
 s 1
p

i

n

 xn 1  axn  byn

 yn 1  cxn  dyn

n

n

n

n

n

n

xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn

yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn

n

n

u0  2; un 1  2un  vn
n   .

yk
( zk  0).
zk

yn
b
 yn 1  ayn  bzn
 yn  2  (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn
zn
ay  bzn

 n


n   .
yn
z

cy

dz
z

(
a

d
)
z



n

n

xn  un  t

aun  at  b
(a  ct ) xn  ct 2  (a  d )t  b
un 1 
t 
cun  ct  d
cun  ct  d

(*).

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời




.
https://www.facebook.com/tailieupro

 

https://www.facebook.com/tailieupro

 

Thí https://www.facebook.com/tailieupro
dụ: Xác định CTTQ của hai dãy số {u } và {v } thoả :
và
https://www.facebook.com/tailieupr
Giải:
https://www.facebook.com/tailieupr


Ta có:
https://www.facebook.com/tailieupr


https://www.facebook.com/tailieupr
1
1
m
 n.

yn 1
9 xn 1  24 yn 1




n   .
x
yn
5 xn 1  13 yn 1
 yn 1  5 xn  13 yn
 yn  2  4 yn 1  3 yn
5 n 1  13
yn 1
9

u1  2  u2  

42
23

 x1  2 ; x2  42

 y1  1 ; y2  23
n 1

22.3n 1  24
 xn  22.3  24
.
Suy


xn1
1
3
1 11.3n 1  10
4
22.3n 1  24
 
5 
 xn 

u

x

2

.
n
n
5 xn 1  3
xn xn 1
xn
4
11.3n 1  10
11.3n 1  10

n

un  un21  a.vn21 ; u1  

 .......  u1  a .v1
n
n 1
n 1
 n
2n1
2n1 

1
u




a




a
 n 2





n1
n1
v  1     a 2     a 2 


n  2.

u  2v  u  2v
2
2

n
n 1
n 1
un  un 1  2vn 1
 n


 2vn  2 2un 1vn 1
un  2vn  un 1  2vn 1



2

2

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời

 

https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí
dụ: Xác định CTTQ của dãy số {x } :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải: Xét hai dãy số {u } và {v } :
và
https://www.facebook.com/tailieupro/
Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp
.
https://www.facebook.com/tailieupro/

 

Theo
kết
quả
bài
toán
trên,
ta
có
:
https://www.facebook.com/tailieupro/

 

đây là dãy mà ta đã xét ở trên.
https://www.facebook.com/tailieupr
Thí dụ:
Cho dãy số {u } :
Tìm ?
https://www.facebook.com/tailieupr

un  2vn  u1  2v1

u  2v  u  2v
n
1
1
 n

2n1

2n1

a  .

n  2.

un
vn

n

n



n1
n1
v  1  2  2 2  2  2 2 

 n 2 2 


 x1  

xn21  a

 xn  2 x
n 1


n

xn 

 2 2

2n1

2
n 1

; u1  

xn 

  a

2n1

2n1

.

 x1  2

xn21  2

x

n  2.
 n
2 xn 1

un  un21  2vn21

n  2.


vn  2un 1vn 1
u
xn  n
vn

2 2



un  2

un  un2  2aun1

n

n

u1  

un 1
u 
n  2.
n
2

a

cu

b
n 1


  0; a  1 ; a 2  b  1

1
a
b

(1) . Thay n bởi n – 1 ta được :
(2).
https://www.facebook.com/tailieupro/
Từ (1) và (2)
là hai nghiệm của phương trình :
https://www.facebook.com/tailieupro/
Áp dụng định lý Vi-et, ta có :
Ta dễ dàng tìm được




https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Cho dãy số {u } :
. Tìm ?
https://www.facebook.com/tailieupro/
Đối
với dạng này thì từ công thức truy hồi u , u , u . Ta giả sử
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Lập
hệ phương trình
https://www.facebook.com/tailieupro/
Từhttps://www.facebook.com/tailieupro/
công thức truy hồi ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát của u .
Thí
dụ: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
.

https://www.facebook.com/tailieupro
.
https://www.facebook.com/tailieupro
Với cách xác định số a, ta có a là nghiệm (cùng dấu với u ) của phương trình
https://www.facebook.com/tailieupr
. Do tích hai nghiệm la 1 nên nếu a là 1 nghiệm thì sẽ là
nghiệm
còn lại của phương trình. Khi đó công thức tổng quát có thể viết như
https://www.facebook.com/tailieupr
sau :
 


https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta có :  un  5un1   24un21  8
2

 un2  10unun1  un21  8  0

un22  10un2un1  un21  8  0

 un2 , un

t 2  10un1t  un21  8  0

un  un2  10un1.

un 



3

4

un  xun1  yun2  z

5

u3  xu2  yu1  z

u4  xu3  yu2  z  x, y, z.
u  xu  yu  z
4
3
 5

n

u3  3; u4  11; u5  41.

n

u1  u2  1

un21  2

u

n  2.

u1

2
un  2un 1  1 n  2.

u1  cos

u1  1

un  cos2n-1

1
1
u1   a   a  0 va au1  0
2
a
1
1
1
1 
1
1 
1  n1
1 

u2   a 2  2  2   1   a 2  2   u3   a 4  4   ........un   a 2  2n1 
2
a
2
a 


Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
https://www.facebook.com/tailieupr
 Nếu
, thì
. Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được :
 
https://www.facebook.com/tailieupr
.
https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
1

u1 
2
n
n

u  2u 2  1 n  2.
n 1
 n
1


2
2
22
u1   cos  u2  2cos 2  1  cos
 u3  2cos 2
 1  cos
2
3


1
1
a  6a  1  0  u1   a    3
2
a
k 1
k
1
1
xk  a 2  2k 1
xk 1  a 2  2k
a
a
2

n1

xn  a 2 

1

a2

n1

n 

2n1


n1
1
xn  a 2  2n1 n  1.
a
k

1
k

1
k
1
1
1
 2
 2
  2

 a  2k 1  a  2k 1    a  2k 
a 
a  
a 

1  n
1 
1

1

a    a 2  2n  1  n

 1 2
n
a
a2
a2

1
1  2n
xn 1
a .  a  1   a  1  21.
S  lim
 lim

n  x x ......x
n 
1 
a
a
n
1 2
1  2n 
a
u1  p

n
3
un  4un 1  3un 1 n  2.
p 1
  0;  : cos =p


https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải: Ta có
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bằng quy nạp ta chứng minh được
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy {x } :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Ta có
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
https://www.facebook.com/tailieupro/
Vậy công thức tổng quát của dãy là :

 

https://www.facebook.com/tailieupro/
Dạng 3: Cho dãy {u } :
. Để xác định công thức tổng quát của
https://www.facebook.com/tailieupro/
nó ta
có thể làm như sau :
Ta đặt
. Khi đó bằng nạp ta chứng minh được :
https://www.facebook.com/tailieupro


1
1
u1   a  
au1  0
2
a
3n1
1
1 
2
un   u1  u1  1
 u1  u12  1
 3n1  .
2
a 


.



2
u1 
2

u  4u 3  3u , n  2.
n 1
n
 n

n  1.
4
 x1  7

n
3
 xn  4 xn 1  3xn 1 n  1.
x2  14 x  1  0  a  7  4 3
3

1
1
1
1 3
1 1
1
u1   a    7  u2   a     a     a 3  3 
2
a
2
a 2
a 2
a 
1  n1
1 
un   a3  3n1  n  1.
2
a 
n1
3

1

3n1


.


3

u1 
6

u  24u 3  12 6u 2  15u  6 n  2.
n 1
n 1
n 1
 n

un  xvn  y

xvn  y  24 x3vn31  12 6 x 2 y  6 x 2 vn21  3 24 xy 2  8 6 xy  5 x vn1
 24 y 3  12 6 y 2  15 y  6.

2
2

1
6 x y  6 x  0
.


 2 5

x

3n1

1
6





Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
https://www.facebook.com/tailieupro
được xác định như sau :
. Tìm CTTQ của a và b .
https://www.facebook.com/tailieupro
Giải: Ta có
nên ta đặt
với
.
https://www.facebook.com/tailieupro


Khi đó
:
và
https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupro
và
Bằng quy
nạp ta chứng minh được :
https://www.facebook.com/tailieupro
và
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Dạnghttps://www.facebook.com/tailieupr
5: Để tìm CTTQ của dãy {u } :
https://www.facebook.com/tailieupr
Ta đặt
và
, khi đó ta dễ dàng chứng minh được


u1    acos  u 2  a  b acos

2

 a 1  2cos 2  acos2

un  acos 2n-1 n  1.

3

u1 
2

u  2  u 2 n  2.
n 1
 n

n



3
 
 cos ,    ;   ,
4
2 

u1  2cos  u 2  2(1  2cos2 )  2cos2

un  2cos2n-1 n  1.


2 1  cos 
6

6


 sin
2
2.6





n 1

2 .6

n  2.

n

a
1
b

0

a1 

 bcos2
2
2
2

bcos 2

cos



2

 bcos

2



2

2

.....cos 2



2  bcos  .cos 2 
2
22


.....cos 2



2



2

.cos

n

n

 bcos



22



2

.



và
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Khi đó,
Bằng quy nạp ta chứng minh được :
https://www.facebook.com/tailieupro/
Suy ra
https://www.facebook.com/tailieupro/
Thí
dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {u } :
https://www.facebook.com/tailieupro/
https://www.facebook.com/tailieupro/
Giải: Ta có :
Đặt
, khi đó ta được dãy {x } dược xác định như
https://www.facebook.com/tailieupro/
sau :
và
https://www.facebook.com/tailieupro/
Vì
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bằng
quy nạp ta chứng minh được :

https://www.facebook.com/tailieupro/
BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN
https://www.facebook.com/tailieupro
Bài 1: Xác định công thức tổng quát của các dãy số sau đây :

 2 1

8

tan



 tan

u1  3

un 1  2  1

n  2.
un  1  1  2 u
n

1


u1  3  tan



u2011



3


1
1
1
1

 1 2 .
xn 
n
un un 1
un 1
un
1
xn  xn1  1  xn21 .
x1 
3
u2 

3


  2  3.




1


 1  cos 3

n 1

2 .3

n  1, 2,3...........

n0

n  0.

n

x0  2; xn1  xn  2n2  n  4

x0  5;

4 xn1  7 xn  6n  5

x0  3;

xn1  xn  13

x0  4;

3xn1  2 xn  23

x0  7;

xn1  3xn  2.3



x0  5; x1  1;

xn1  6 xn  3xn1  14

n 1

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
Bài 4: Cho dãy {x } xác định như sau :
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Xác định
số tự nhiên n sao cho :
Bài 5: Cho
day {x } được xác định bởi :
.
https://www.facebook.com/tailieupr
Tìm https://www.facebook.com/tailieupr
  ( TH&TT T7/253)
https://www.facebook.com/tailieupr
x0  4; x1  3;

xn1  2 xn  3xn1  6

n 1

x0  2; x1  4; xn1  2 xn  xn1  11

n  1.

x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2

n  1.

n

x0  1; x1  4; xn1  3xn  4 xn1  3.4n


n  1.

 xn 1  2 xn  5 yn

 yn 1  5 xn  3 yn
2x  7
xn1  n
;
4 xn  3

x1  3; y1  2 ;

x1  2;

1
x1  ;
2

xn 2 

x0  1;

x1  2;

xn2  xn21.xn3
xn

xn 1 

u0  2;



u 2 3
un  n 1
n  2.

1  3  2 un 1


un    , n   .

u0  1, u1  9
u  10.u  u
n 1
n  2 n   , n  2.
 n

n

k   , k  1.

u u
2
k

2
n 1

 10uk uk 1  8


và
https://www.facebook.com/tailieupro/
Chứng minh rằng :
(TH&TT T10/335)
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bài 7: Cho dãy số {a } :
Hãy xác định CTTQ của a và
chứng minh rằng số 
https://www.facebook.com/tailieupro/
 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên
liên tiếp với
(TH&TT T6/262)
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bài 8: Cho dãy số 
 được xác định như sau :
Xác định p(n) . (TH&TT T7/244).
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bài 9: Xét dãy {u } :
. Chứng minh rằng với mỗi số
https://www.facebook.com/tailieupro/
nguyên tố p thì
 chia hết cho p (TH&TT T6/286).
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bài 10: Dãy số thực {x } :
.
https://www.facebook.com/tailieupro/
Tìm tất cả giá trị của a để
. (TH&TT T10/313)
https://www.facebook.com/tailieupro/
Bài 11: Dãy số {x } :

b) Tìm các số nguyen a, b để a là số chính phương với
.
https://www.facebook.com/tailieupr
(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B).
https://www.facebook.com/tailieupr

2
1
 1  1  an
an 1  
a1 
2
2


a1  a2  a3  ......  a2005  1,03

n

1

1
2

2

 n  1.




 x0  a

2

 xn 1  2 xn  1 n  0.
xn  0 n  0
xn1.xn
1
x0  1; x1 
xn 2 
n  0.
2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn
2
n

n

n

n

n

1

a1  2

an 1
an 
n  1.


a0  a; a1  b; a2  2b  a  2

an 3  3an  2  3an 1  an n  0.
n

n

n  1998

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời
https://www.facebook.com/tailieupro
( Chọn đội tuyển Romania 2002)
https://www.facebook.com/tailieupro
https://www.facebook.com/tailieupro
Trên https://www.facebook.com/tailieupro
đây là một phân nhỏ kiến thức về bài toán xác định công thức tổng quát của một dãy
số mà tôi đã lĩnh hội được và được xin trình bày cho các bạn tham khảo. Mong nhân được
nhữnghttps://www.facebook.com/tailieupro
ý kiến đánh giá chân thật từ mọi người. Xin chân thành cảm ơn!
https://www.facebook.com/tailieupro
Name
: Mai Xuân Việt
https://www.facebook.com/tailieupr
Address : Đội II – thôn Dƣơng Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh
Quảng Ngãi .
https://www.facebook.com/tailieupr
Email : [email protected]
Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
https://www.facebook.com/tailieupr
https://www.facebook.com/tailieupr
n

n

an


a0  3



n


3
b0  12; b1 
2

b  b  b . 3 n  2.
 n n 1 n  2

un2  1
3

2007
i 0

bi

u1  1; un  0 n  1

n

1  un21  1
n  2.
un 
un 1


1 
S  u1  u2  .....  un  1  1  n1 