TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC


2
Î K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
¢
. Tìm các điểm mà tại đó y
¢
= 0 hoặc y

=-+-
e)
2
(4)(1)
yxx
=
f)
32
341
yxxx
=-+-

g)
42
1
21
4
yxx
=
h)
42
23
yxx
= +
i)
42
11
2
1010
yxx

2
226
2
xx
y
x
++
=
+
o)
1
3
1
yx
x
=-+-
-
p)
2
4159
3
xx
y
x
-+
= CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

1
1
xx
y
xx
-+
=
++

d)
2
21
x
y
x
-
= e)
2
32
x
y
xx
=
-+
f) 322
yxx
=++-

g) 213
yxx

Cho hm s
(,)
yfxm
=
, m l tham s, cú tp xỏc nh D.

ã
Hm s f ng bin trờn D

y
Â


0,
"
x
ẻ
D.

ã
Hm s f nghch bin trờn D

y
Â

Ê
0,
"
x
ẻ

ợ
"ẻ
ờ
ỡ
>
ờ
ớ
ờ
Ê
ợ
ở
D

ã

0
0
'0,
0
0
ab
c
yxR
a
ộ
ỡ
==
ớ
ờ
Ê

b
a
- )

ã
Nu
D
> 0 thỡ g(x) cú hai nghim x
1
, x
2
v trong khong hai nghim thỡ g(x) khỏc du
vi a, ngi khong hai nghim thỡ g(x) cựng du vi a.
4) So sỏnh cỏc nghim x
1
, x
2
ca tam thc bc hai
2
()
gxaxbxc
=++
vi s 0:

ã

12
0
00
0

ã

12
00
xxP
<<<

5) hm s
32
yaxbxcxd
=+++
cú di khong ng bin (nghch bin) (x
1
; x
2
) bng d
thỡ ta thc hin cỏc bc sau:

ã
Tớnh y
Â
.

ã
Tỡm iu kin hm s cú khong ng bin v nghch bin:

0
0
a
ỡ

xỏc nh) ca nú:
a)
3
513
yxx
=++
b)
3
2
391
3
x
yxx
=-++
c)
21
2
x
y
x
-
=
+

d)
2
23
1
xx
y

yxxx
=
Baứi 3. Tỡm m cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tp xỏc nh (hoc tng khong xỏc
nh) ca nú:
a)
32
3(2)
yxmxmxm
=-++-
b)
32
21
32
xmx
yx
= +
c)
xm
y
xm
+
=
-

d)
4
mx
y
xm
+

32
11
231
32
yxmxmxm
=-+-+
nghch bin trờn mt khong cú di bng 3.
c)
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
=-+-++-
ng bin trờn mt khong cú di bng 4.
Baứi 5. Tỡm m hm s:
a)
3
2
(1)(1)1
3
x
ymxmx
=++-++
ng bin trờn khong (1; +Ơ).
b)
32
3(21)(125)2
yxmxmx
=-++++

ng bin trờn khong (1; +Ơ).
f)
2
23
21
xxm
y
x
+
=
+
nghch bin trờn khong
1
;
2
ổử
-+Ơ
ỗữ
ốứ
.

Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4

VN 3: ng dng tớnh n iu chng minh bt ng thc
chng minh bt ng thc ta thc hin cỏc bc sau:


sin,0
6
x
xxxvụựix
-<<>
b)
21
sintan,0
332
xxxvụựix
+><<
p

c) tan,0
2
xxvụựix
<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvụựix
+><<
p

Baứi 2. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
tan
,0
tan2
aa

xxx
xxxvụựix
-<<-+>

c) xxxvụựixsincos1,0
2
p
+><<

Baứi 4. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
1,0
x
exvụựix
>+>
b)
ln(1),0
xxvụựix
+<>

c)
1
ln(1)ln,0
1
xxvụựix
x
+->>
+
d)
(

-
.
b) Xột hm s
3
()34
fxxx
=- .
f(x) ng bin trong khong
11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
v
0
17
,sin20,
320
ẻ

11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
55
xx+-= b)
53
1340
xxx
+ +=

c)
571614
xxxx
+-++++=
d)
22
15328
xxx
+=-++

Baøi 2. Giải các phương trình sau:
a)
555
1230
xxx
+++++=

32
21
21
21
xyyy
yzzz
zxxx
ì
+=++
ï
í
+=++
ï
+=++
î
b)
32
32
32
2
2
2
xyyy
yzzz
zxxx
ì
=++-
ï
í
=++-

,
22
p
pp
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï
-<<
ï
î

e)
xyxy
xy
xy
sinsin33
5
,0
p
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï

0,
p
p
ì
-=-
ï
+=
í
ï
<<
î
h)
HD: a, b) Xét hàm số
32
()
ftttt
=++
c) Xét hàm số
2
()6128
fttt
=-+

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

), với "x Î (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên
(a; b)\{x
0
}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0


·
Tìm f
¢
(x).

·
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

·
Xét dấu f
¢
(x). Nếu f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 7

Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
23
32
yxx
=- b)
32
221
yxxx
=-+-
c)
32
1
415
3
yxxx
=-+-
d)
4
2
3
2
x
yx
=-+
e)
42

=
+
i)
2
215
3
xx
y
x

=
-

Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
34
(2)(1)
yxx
=-+
b)
2
2
421
23
xx
y
xx
+-
=
+-

2
1
yx
=+
b)
3
2
21
x
y
x
=
+
c) 4
xx
yee
-
=+
d)
2
552ln
yxxx
=-++ e)
2
4sin
yxx
=- f)
2
ln(1)
yxx

¢
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:
+
32
0000
()
yxaxbxcxd
=+++

+
00
()
yxAxB
=+
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
¢
.

·
Hàm số
2
''
axbxc
y

0
0
()
()
()
Px
yx
Qx
=
hoặc
0
0
0
'()
()
'()
Px
yx
Qx
=·
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

·
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.


-+

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Baøi 2. Tìm m để hàm số:
a)
32
(2)35
ymxxmx
=+++-
có cực đại, cực tiểu.
b)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2
yxmxmx
=-+-+
đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5
ymxmxm
=-+-+-
có một cực đại

xxm
y
x
-+
=
-
có một giá trị cực đại bằng 0.
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
b)
32
3(1)1
ymxmxmx
=+

c)
2
5
3
xmx
y
x
-++
=
-
d)

2
1
xbxc
y
x
++
=
-
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d)
2
axbxab
y
bxa
++
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

sao cho:
12
8
xx
-³
.
c)
32
11
(1)3(2)
33
ymxmxmx
= +-+
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
12
21
xx
+=
.
Baøi 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
xmxm
y

có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả
4
Mm
-=
.
d)
2
232
2
xxm
y
x
++-
=
+
có
12
CÑCT
yy
-<
.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
4
yxmx
=-+-
có hai điểm cực trị là A, B và
2
2

-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
25
1
xmx
y
x
-++
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.
f)
2
23
xxm
y
xm
+++
=
-
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
21213
yxmxx
=+

xy
=
.
Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
(1)21
xmxm
y
xm
-++-
=
-
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
222
(1)4

.

·
Chia f(x) cho f
¢
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
¢
(x) + Ax + B.

·
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:

111
222
()
()
yfxAxB
yfxAxB
ì
==+
í
==+

0
) là điểm cực trị thì
0
0
0
'()
'()
Px
y
Qx
=
.

·
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị ấy là:
'()2
'()
Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a)
32
21
yxxx
= +


Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
a)
3223
33(1)
yxmxmxm
=-+
b)
2
6
xmx
y
xm
+-
=
-

c)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
d)
2
2
1
xmxm
y
xm

có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D):
15
22
yx
=-
. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 11
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).
a)
00
(),
max()
:()
D
fxMxD
Mfx
xDfxM
ì
£"Î

max()(),min()()
abab
fxfafxfb
==.

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

·
Tính f
¢
(x).

·
Xét dấu f
¢
(x) và lập bảng biến thiên.

·
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f
¢

{
}
12
[;]
min()min(),(),(),(), ,()
n
ab
mfxfafbfxfxfx
==

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
43
yxx
=++
b)
34
43
yxx
=- c)
42
22
yxx
=+-

d)
2
2
yxx

h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
++
i)
42
3
1
(0)
xx
yx
xx
++
=>
+

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
32
23121
yxxx
=+-+
trên [–1; 5] b)

x
-
=
+
trên [0; 4]
g)
2
477
2
xx
y
x
++
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
+-
trên [0; 1]
III. GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT


c)
2
2sincos1
yxx
=-+

d)
cos22sin1
yxx
=
e)
33
sincos
yxx
=+ f)
2
42
1
1
x
y
xx
-
=
-+

g)
22
42523
yxxxx

=++
+++
.
HD:
111
3
111
P
xyz
ổử
=-++
ỗữ
+++
ốứ

S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)(1)9
111
xyz
xyz
ổử
++++=++
ỗữ
+++
ốứị

4
S
xy
=+ .
HD:
( )
11111
425
4
xxxxy
xxxxy
ổử
++++++++
ỗữ
ốứ



41
4()25
4
xy
xy
ổử
++
ỗữ
ốứ

ị
S

Pxy
xyxy
=++++++-
+
=
111
2
11xyxy
++-
+
.
S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)()9
11
xyxy
xyxy
ổử
-+-++++
ỗữ
+
ốứ



1119
112
xyxy
++

2
342
4
xy
P
x
y
++
=+.
HD:
2
11
2
4882
xyyxy
P
x
y
æö
+
=+++++
ç÷
èø
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
11
2.1
44
xx
xx

là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0
()(1)
(2)
fxy
xD
ì
=
í
Î
î

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m
£
y
0

£
M (3)
Vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min();max()
DD
fxmfxM
==
=
-+

d)
2sincos3
2cossin4
xx
y
xx
++
=
-+
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min();max()
DD
fxmfxM
==
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
()fx
xD
ì
=
í
Î
î
a

í
Î
î
b
có nghiệm
Û
m
£

b
.
4) Bất phương trình f(x)
³

a
đúng với mọi x
Û
m
³

a
.
5) Bất phương trình f(x)
£

b
đúng với mọi x
Û
M
£

21
xxm
++=
b) 22(2)(2)
xxxxm
-++ +=

c) 36(3)(6)
xxxxm
++ +-=
d) 72(7)(2)
xxxxm
-++ +=

Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R:
a)
2
21
xxm
++>
b)
2
29
mxxm
+<+
c)
4
40
mxxm
-+³
Trn S Tựng Kho sỏt hm s

)
00
;()
Uxfx
l mt im un ca th hm s.
ã th ca hm s bc ba
32
yaxbxcxd
=+++
(a ạ 0) luụn cú mt im un v ú l
tõm i xng ca th.

Baứi 1. Tỡm im un ca th cỏc hm s sau:
a)
32
632
yxxx
=-++
b)
32
399
yxxx
= +
c)
42
63
yxx
=-+

d)

x
ymxmx
=-+-++-
; I(1; 3)
c)
32
1
ymxnx
=++
; I(1; 4) d)
32
2
yxmxnx
=-+-
;
2
;3
3
I
ổử
-
ỗữ
ốứ

e)
3
2
32
x
ymx

Baứi 4. Chng minh th ca cỏc hm s sau cú 3 im un thng hng:
a)
2
21
1
x
y
xx
+
=
++
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
23
1
xx
y
x
-

=
-+

g)
2
2
23
33
xx
y
xx
-
=
-+
h)
2
2
3
1
xx
y
x
+
=
+
i)
3
2
45
x

=-++
cú im un trờn Ox. IV. I
M UN CA TH

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 16
1. Định nghĩa:
· Đường thẳng
0
xx
=
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
()
yfx
=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
xx
fx
+
®

đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
()
yfx
=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
x
fxy
®+¥
=
;
0
lim()
x
fxy
®-¥
=

· Đường thẳng
,0
yaxba
=+¹
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()
yfx
=


0
xx
=
.
· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:

[ ]
()
lim;lim()
xx
fx
abfxax
x
®+¥®+¥
==-
hoặc
[ ]
()
lim;lim()
xx
fx
abfxax
x
®-¥®-¥
==-

Baøi 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

43
1
xx
y
x
-+
=
+
e)
2
(2)
1
x
y
x
-
=
-
f)
2
745
23
xx
y
x
++
=
-

Baøi 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

d)
2
2
233
1
xx
y
xx
++
=
++
e)
3
2
1
1
xx
y
x
++
=
+
f)
4
3
4
1
xx
y
x


Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 17

d)
1
1
x
yx
x
-
=
+
e)
3
23
3
yxx
=-
f)
2
32
2
xx
y
x
-+
=
-


+++-
b)
2
2
2
32(1)4
x
y
xmx
+
=
+++
c)
2
3
2
x
y
xxm
+
=
++-

d)
x
y
xmxm
22
3
2(2)1

+++-
=
+
b)
2
(21)3
2
mxmxm
y
x
++++
=
+

Baøi 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên
hai trục toạ độ:
a)
2
31
1
xx
y
x
++
=
-
b)
2
34
2

2
(21)23
1
xmxm
y
x
+ +
=
+
; S = 8
c)
2
22(21)45
1
xmxm
y
x
+++-
=
+
; S = 16 d)
2
22
1
xmx
y
x
+-
=
-

+-
=
-

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 18

1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
· Tìm tập xác định của hàm số.
y’ = 0 có nghiệm kép
Û ’ = b
2
– 3ac = 0 y’ = 0 vô nghiệm
Û ’ = b
2
– 3ac < 0

3. Hàm số trùng phương
42
(0)
yaxbxca
=++¹
:
y

x

0

I

y

x

ã th luụn nhn trc tung lm trc i xng.
ã Cỏc dng th:

4. Hm s nht bin
(0,0)
axb
ycadbc
cxd
+
=ạ-ạ
+
:
ã Tp xỏc nh D = \
d
R
c
ỡỹ
-
ớý
ợỵ
.
ã th cú mt tim cn ng l
d
x
c
=-
v mt tim cn ngang l
a
y
c

'
'
b
x
a
=-
v mt tim cn xiờn. Giao im ca hai tim
cn l tõm i xng ca th hm s.
ã Cỏc dng th:

a.a > 0 a.a < 0

a > 0 a < 0
y = 0 cú 3 nghi
m phõn
bit
ab < 0

y = 0 ch cú
1 nghim
ab > 0
0

ad bc > 0

x

y
0

ad bc < 0

x

y

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 20

y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y¢ = 0 vô nghiệm

f)
32
342
yxxx
= +

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
42
21
yxx
=
b)
42
41
yxx
=-+
c)
4
2
5
3
22
x
yx
=-+

d)
22
(1)(1)

=
-
c)
3
4
x
y
x
-
=
-

d)
12
12
x
y
x
-
=
+
e)
31
3
x
y
x
-
=
-

-
c)
2
2
1
xx
y
x
+-
=
+

d)
1
1
1
yx
x
=-++
-
e)
2
1
x
y
x
=
-
f)
2

y
x
+
=
-
e)
2
2
1
xx
y
x
-+
=
-
f)
2
33
2
xx
y
x
++
=
+0

x

=+++ạ
ct trc honh ti 3 im phõn bit
Phng trỡnh
32
0
axbxcxd
+++=
cú 3 nghim phõn bit.
Hm s
32
yaxbxcxd
=+++
cú cc i, cc tiu v
.0
CẹCT
yy
<
.

Baứi 1. Tỡm to giao im ca cỏc th ca cỏc hm s sau:
a)
2
3
3
22
1
22
x
yx
x

2
yxx
yx
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ

d)
42
2
1
45
yxx
yx
ỡ
ù
=-+
ớ
=-
ù
ợ
e)
32
2
5105
1
yxxx
yxx

(2)
ỡ
=
ớ
=-
ợ
b)
32
2
32
113
212
xx
yx
ymx
ỡ
=+-
ù
ù
ớ
ổử
ù
=++
ỗữ
ù
ốứ
ợ
c)
3
3

e)
1
1
2
x
y
x
yxm
ỡ
+
ù
=
ớ
-
ù
=-+
ợ
f)
2
63
2
xx
y
x
yxm
ỡ
-+
ù
=
ớ

ỡ
-+
ù
=
ớ
-
ù
=
ợ
i)
yxx
ymx
3
2
21
(1)
ỡ
ù
=-+
ớ
=-
ù
ợ

Baứi 3. Tỡm m th cỏc hm s:
a)
2
(2)1
;1
2

d)
2
45
;2
2
xx
yymx
x
++
==+
+
ct nhau ti hai im cú honh trỏi du.
e)
2
(2)
;3
1
x
yymx
x
-
==+
-
ct nhau ti hai im thuc hai nhỏnh khỏc nhau.
VII. MT S BI TON LIấN QUAN
N KHO ST HM S
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 22

f)

2221;22
yxxxmyxx
=+-+-=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222
23;21
yxxmxmyx
=+-+=+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Baøi 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
42
21;
yxxym
= =
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
423
(1)
yxmmxm
=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
422
(23)3
yxmxmm
= +- cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
31

-+
==+-
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
theo m.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
32
368
yxmxmx
=-+-
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
b)
32
391;4
yxxxyxm
= +=+
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của
đoạn AC.
c)
422
(24)
yxmxm
=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
d)
32
(1)(1)21
yxmxmxm

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
· d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Dạng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d

0
(x
0
; y
0
).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
· Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận. Chú ý:

·
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
a

£
x
£

b

c.
y
CĐ

y
CT

x
A

y

x

A

y = kx

c.
m

(C)

M
1

M
2

b


(C)

c.
M
1

M
2

d
2

m = –
¥

m = +
¥

m > 0

m = 0

m < 0

dI


=-+ ++=

c)
332
31;3220
yxxxxmm
=-+ =
d)
33
31;340
yxxxxm
=-+ ++=

e)
4
242
22;4420
2
x
yxxxm
=-++ +=
f)
4242
22;220
yxxxxm
=-+ +=

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)

x
ymxx
x
+
=-+-=

d)
2
2
24
;2(1)4(1)0
24
xx
yxmxm
x
-+
=-+++=
-

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
2
;2sin2cos20(0)
21
x
ymm
x


d)
3232
36;cos3cos60
yxxxxm
=-+-+-=

Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
2
57
;2(37)25
3
tt
xx
ymm
x
-
-+
=++=+
-

b)
2
1
;2(1)21
1
tt
xx

-+
=-++=

Baøi 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T).
Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
222
363636
():;():;20
111
xxxxxx
CyTym
xxx
-+-+-+
==-=