Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 1

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 1)
(Phần 1: Đại số)

- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là
khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:
+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề.
Trong phần này có 10 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát
hàm số.
 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.
 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.
 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.
 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.
 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.
 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.
+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm)


Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
[email protected] !
Xin chân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn,
nghiêm túc và hiệu quả!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú

32
0y f x ax bx cx d a     

   
42
0y f x ax bx c a    

a >0
a <0
a >0
a <0
lim ( )

 
x
fx

lim ( )

 
x
fx

lim ( )

 
x
fx

lim ( )

b) Chiều biến thiên:
+ Tính y’=?
Cho
  y' 0 x ?

+ Bảng biến thiên:
x
-

? +


y'
?
y
?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
 Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.
 Kết luận về cực trị của hàm số.
3. Đồ thị:
A) Điểm đặc biệt:
+ Giao điểm với Oy: Cho
x 0 y ?  

+ Giao điểm với Ox (nếu có): Cho
y 0 x ?  

+ Điểm cho thêm ( một số điểm thuộc đồ thị)
B) Vẽ đồ thị:


3
lim ??
x
x



b. Chiều biến thiên:
y’ = 3x
2
+ 6x
Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’
= 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 4

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
4
2
-2
5
(C)
d: y=m-1
y’ = 0  3x
2
+ 6x = 0  x(3x + 6) = 0  x = 0; x = - 2

cực tiểu; (nếu không có thì không nêu
ra); các khoảng đơn điệu của hàm số.
3. Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0  x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x = 0  y = - 4

Bước 6: Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
2. Xác định các điểm cực đại, cực tiểu,
giao điểm với Ox, Oy
3. Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng
đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp
cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi
dạng hàm số)
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
 
2
31y x x   
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
 
2

lim ; lim
xx
yy
 
   

0,25
c) Bảng biến thiên
x

0 2


y’
+ 0 – 0 +
y

3

-1
0,25
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
   
 ;0 à 2;v
, đồng biến trên khoảng
 
0;2

Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 5

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
(HS cần nghiên cứu thêm các dạng còn lại của hàm số)
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
42
22y x x   Nội dung Bài giải
Giải thích –chỉ cách ghi nhớ cho HS
1. Tập xác định
D 

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn:

- 1
Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’
= 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu
vô nghiệm thì nêu vô nghiệm) – vì chủ
yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng
trong bảng biến thiên
c. Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 0 1 +∞
y'
- 0 + 0 - 0 +
y
+∞ -3 +∞

-4 -4

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:
dành cho x, y’ và y.
- Dòng 1: Ghi nghiệm của đạo hàm
(nếu có).
- Dòng 2: Xét dấu của đạo hàm.
- Dòng 3: Ghi chiều bt, cực trị, giới hạn
Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3
Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4; x = 1; y = -4
Khoảng đơn điệu của hàm số.
Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm
cực tiểu; (nếu không có thì không nêu
ra); các khoảng đơn điệu của hàm số.
3. Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:

y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị  ?

x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị  ?

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.


lim ; lim
 
   
xx
yy

0,25
f) Bảng biến thiên
x


3
0
3



y’
– 0 + 0 – 0 +
y

4


CT CĐ CT
-5 -5

0,25
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
   

d
)
:

y
=
m
+2
4
-5
3
-
3
O
y
x

+Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25)
0,50

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 7

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
3.
42
21y x x   
4.
42
1
2
4
y x x  

5.
  
2
12y x x  
6.
3
3y x x 7.

   
   
    
dd
xx
cc
d
lim y ? vaø lim y ? x
c
là tiệm cận đứng
+
 
   
xx
a a a
lim y vaø lim y y
c c c
là tiệm cận ngang
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+
 
2
ad bc
y'
cx d



. Kết luận

x 0 y ?  

+ Giao điểm với Ox: Cho
y 0 x ?  

+ Điểm cho thêm
b) Vẽ đồ thị:
x
y
O

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua giao điểm I(?;?) của 2 đường tiệm cận.
Ví dụ 5: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x



.
Nội dung Bài giải
Giải thích – ghi nhớ cho HS
1. Tập xác định D = \{-1}
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên:
Bước 2: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

lim 1
x
y



tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
b. Chiều biến thiên:
y’ =
2
3
( 1)x


< 0 xD.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 3: Tìm y’ và dựa vào tử số để
khẳng định luôn luôn âm (hay luôn
luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm (hay luôn luôn
tăng ).
c. Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 +∞
y'
- -
y

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
21
2
x
y
x




Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.
1
1
x
y
x



y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến(y’<0)

Dạng 1: hsố đồng biến (y’>0)
x
O
I
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 9

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]

Chủ đề 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)

34   
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
( ;0)
.



m 3

Câu 3. Cho hàm số
y x m x m m x
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1     
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )

y x m x m m
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)    

32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m      
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
 
0;
.


Hàm đồng biến trên
(0; )

y x m x m
2
3 (1 2 ) (22 )0

     
với
x 0)( ; x
f x m
x
x
2
23
()
41

Lập bảng biến thiên của hàm
fx()
trên
(0; )
, từ đó ta đi đến kết luận:

f m m
1 73 3 73
12 8

  
  




Câu 5. Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m   
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).


Ta có
32
' 4 4 4 ( )y x mx x x m   

+
0m


;1m 
.
Câu 6. Cho hàm số
mx
y
xm
4


(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 1
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
.


Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
xm
2
2
4
()




m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.


PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x x mx m
32
3 –2 0 (1)   



x
g x x x m
2
1
( ) 2 2 0 (2)



    


(C
m
) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x

PT (1) có 3 nghiệm phân biệt






y x m x m m
22
3 2(2 1) ( 3 2)

      
.
(C
m
) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung

PT
y 0


có 2 nghiệm trái dấu


mm
2
3( 3 2) 0  



m12
.
Câu 9. Cho hàm số
32


2
2 1 0
2 1 0



    




mm
m

1
1
2
m
m









Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
' 9 3 0 3mm       
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
   
1212
; ; ;A B xyyx

Thực hiện phép chia y cho y

ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
     
     
     
     

   
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3

yx1

xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng
yx123
21
32
m
m

   

 


(thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
yx1   
2
1 2 1
1 2 1
2
2
2211

3
0;
2
m





Câu 11. Cho hàm số
y x mx m
3 2 3
34  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.


Ta có:
y x mx
2
36


;
x

AB d
Id








mm
mm
3
3
2 4 0
2









m
2
2



Email: [email protected]
Hàm số có CĐ, CT

PT
y 0


có 2 nghiệm phân biệt


m 0
.
Khi đó 2 điểm cực trị là:
A m B m m m
3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1)   



AB m m
3
(2 ;4 )

Trung điểm I của AB có toạ độ:
I m m m
3
( ;2 3 1)

Đường thẳng d:
xy8 74 0  


m 2

Câu 13. Cho hàm số
y x x mx
32
3  
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng d:
xy–2 –5 0
.


Ta có
y x x mx y x x m
3 2 2
3 ' 3 6      

Hàm số có cực đại, cực tiểu


y 0


có hai nghiệm phân biệt
mm9 3 0 3



đi qua các điểm cực trị có phương trình
y m x m
21
2
33

  



nên

có hệ số góc
km
1
2
2
3

.
d:
xy–2 –5 0

yx
15
22
  


d có hệ số góc

y x m x x m
32
3( 1) 9 2     
(1) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng d:
yx
1
2

.



y x m x
2
' 3 6( 1) 9   

Hàm số có CĐ, CT


m
2
' 9( 1) 3.9 0

   


y m m x m
2
11
2( 2 2) 4 1      
;
y m m x m
2
22
2( 2 2) 4 1     

và:
x x m
xx
12
12
2( 1)
.3

  




Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y m m x m
2
2( 2 2) 4 1     

A, B đối xứng qua (d):
yx

21
,xx
sao cho
2
21
 xx
.


Ta có
.9)1(63'
2
 xmxy

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx


PT
0'y
có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
PT
03)1(2
2

41214442
2
21
2
2121
 mxxxxxxmm
2
( 1) 4 3 1      
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là
313  m
và
.131  m

Câu 16. Cho hàm số
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2      
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại

m m m m
m
22
5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
4
1




         



(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
m
xx
m
xx
12
12
(1 2 )
3
2

14

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]

m m m m m m
22
3 29 3 29
4(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0
88

            

Kết hợp (*), ta suy ra
mm
3 29
1
8

   

Câu 17. Cho hàm số
y x m x m x
32
11
( 1) 3( 2)
33
     
, với
m

có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,

mm
2
0 5 7 0


    
(luôn đúng với

m)
Khi đó ta có:
x x m
x x m
12
12
2( 1)
3( 2)

  





.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
xx
12
,
thỏa
xx
12
4
.



y x mx
2
12 2 –3


. Ta có:
mm
2
36 0,


   


hàm số luôn có 2 cực trị
xx

m  

Câu hỏi tương tự:
a)
y x x mx
32
31   
;
xx
12
2 3
ĐS:
m 105
.
Câu 19. Cho hàm số
y m x x mx
32
( 2) 3 5    
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số
dương.


Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương


PT
y m x x m =
2



       

  
         

  

  
   








.
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 15

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
Câu 20. Cho hàm số
y x x

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
32
5
2 2 2
5
x
yx
yx
y








  







42
;
55
M

,
thỏa mãn:
xx
12
1
.



mm
gm
Sm
2
4 5 0
(1) 5 7 0
21
1
23



   


   






có 2 nghiệm phân biệt

22
2 1 0x mx m    
có 2 nhiệm phân biệt
1 0, m   

Khi đó: điểm cực đại
A m m( 1;2 2 )
và điểm cực tiểu
B m m( 1; 2 2 )  

Ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  


.
Câu 23. Cho hàm số
y x mx m x m m

Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 16

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
Chia y cho y

ta được:
m
y x y x m m
2
1
2
33


    



Khi đó:
y x m m
2
11
2  
;
y x m m
2

;xx' 9 3 0 3mm       
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
   
1212
; ; ;A B xyyx

Thực hiện phép chia y cho y

ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
     
     
     
     

   
11 1222
22
2 2 ; 2 2
2
24
3
3
23
3
m
m
m


   


  
  








(thỏa mãn).
Câu 25. Cho hàm số
32
32y x x mx   

; ; ;A B xyyx

Thực hiện phép chia y cho y

ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
     
     
     
     

   
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3
       
       
       
     






. Đường thẳng d:
xy4 –5 0
có hệ số góc bằng
1
4

.
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 17

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
Ta có:
3
39
11
1
1
5
10
44
4
tan45
1
1 1 5


     








Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là:
1
2
m 
.
Câu 26. Cho hàm số
y x x m
32
3  
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 4
.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
AOB
0
120
.

Ta có:

AOB
1
cos
2
 
 
m
mm
m m m m
mm
mm
22
2
22
40
( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
2
3 24 44 0
4 ( 4)

  

         

  


m 2
.
2) Chứng minh rằng (C
m
) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố
định.



y x mx m
22
3 6 3( 1)

   
;
xm
y
xm
1
0
1








Điểm cực đại

  
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 3
.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.



y x mx x x m
32
2 2 2 ( )

   
.
x
y
xm
2
0
0








Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại

vuông cân.


Ta có
 
3
2
0
4 4( 2) 0
2



    



x
f x x m x
xm

Hàm số có CĐ, CT

PT
fx( ) 0


có 3 nghiệm phân biệt



Câu 30. Cho hàm số
 
m
Cmmxmxy 55)2(2
224


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực
đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
 Ta có
 
3
2
0
4 4( 2) 0
2



    



x
f x x m x
xm


0
60



A
1
cos
2


AB AC
AB AC
.1
2
.




3
32m
.
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
y x m x m
42
4( 1) 2 1    

0
0 4 ( ) 0



    

  


(m < 0)
Khi đó các điểm cực trị là:
   
A m m B m m C m m
2
(0; ), ; , ;   AB m m
2
( ; )  
;
AC m m
2
( ; )   
.

ABC cân tại A nên góc
120
chính là

1
2 2 3 0
2
3




          






Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 19

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
Vậy
m
3
1
3

.




Hàm số đã cho có ba điểm cực trị

PT
y 0


có ba nghiệm phân biệt và
y

đổi dấu khi
x
đi qua các
nghiệm đó
m 0
. Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:

   
A m B m m m C m m m
22
(0; 1), ; 1 , ; 1       

ABC B A C B
S y y x x m m
2
1
.
2





Câu hỏi tương tự:
a)
y x mx
42
21  
ĐS:
mm
15
1,
2

Câu 33. Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
22   
có đồ thị (C
m
) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành
một tam giác có diện tích bằng 4.

1 2 3
; 0;   x m x x m
. Hàm số đạt cực trị tại
1 2 3
;;x x x
. Gọi
   
4 4 2 4 2
(0;2 ); ; 2 ; ; 2     A m m B m m m m C m m m m
là 3 điểm cực trị của (C
m
) .
Ta có:
2 2 4 2
;4AB AC m m BC m ABC     
cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC
M m m m AM m m
4 2 2 2
(0; 2 )     

Vì
ABC

cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

ABC
S AM BC m m m m m
5
25


CHỦ ĐỀ 4: SỰ TƯƠNG GIAO

Câu 34. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.


PT hoành độ giao điểm của (1) và d:
x x mx x x x m
3 2 2
3 1 1 ( 3 ) 0       

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C


9
,0
4
mm

Khi đó:
BC
xx,
là các nghiệm của PT:


mm
2
4 9 1 0  

9 65 9 65
88

  mm

Câu 35. Cho hàm số
y x x
3
–3 1
có đồ thị (C) và đường thẳng (d):
y mx m 3  
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x m x m
3
–( 3) – –2 0
là các nghiệm của PT:
x x m
2
20   



N P N P
x x x x m1; . 2    

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là
N
kx
2
1
33
và tại P là
P
kx
2
2
33

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau


kk
12
.1


32
3 4 ( 2)   

x x x k
2
( 2)( 2 ) 0    



A
xx
g x x x k
2
2
( ) 2 0



    


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 21


x x k



  


+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau

MN
y x y x( ). ( ) 1



22
(3 6 )(3 6 ) 1   
M M N N
x x x x



kk
2
9 18 1 0  
3 2 2
3
k



   


(1) luôn có 1 nghiệm
x 1
(
y 2
)

(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

(2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1


9
4
0
m
m







(*)


CÑ CT
CÑ CT
coù cöïc trò
yy
xx
ay
(1) 2
.0
0, 0
. (0) 0










(*)
Trong đó: +
y x mx m x m
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)     



y x mx m


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 22

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
Suy ra: (*)
m
m
m
m m m m
m
2 2 2
2
10
10
3 1 2
( 1)( 3)( 2 1) 0
( 1) 0





    

    

    
(*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa
xxx
222
1 2 3
15  
.
Ta có: (*)
x x m x m
2
( 1)( (1 3 ) 2 3 ) 0      



x
g x x m x m
2
1
( ) (1 3 ) 2 3 0



     


Do đó: YCBT


gx( ) 0
có 2 nghiệm



Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng


Phương trình
32
3 9 0   x x x m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Phương trình
32
39x x x m  
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng


Đường thẳng
ym
đi qua điểm uốn của đồ thị (C)

.11 11mm    Câu 41. Cho hàm số
y x mx x
32
3 9 7   
có đồ thị (C
m
), trong đó

lập thành cấp số cộng thì
xm
2

là nghiệm của phương trình (1)



mm
3
2 9 7 0   



m
m
m
1
1 15
2
1 15
2









1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
m 1
.
2) Tìm
m
để (C
m
) cắt đường thẳng d:
yx2
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.


Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:

   
3 2 3 2
3 2 3 1 2 0x mx mx x g x x mx m x          

Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
;;x x x
lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi
đó ta có:
     
1 2 3
g x x x x x x x   

Suy ra:



Đk đủ: Với
3
5
3 2 1
m 

, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
3 2 1
m 
Câu 43. Cho hàm số
y x mx m x
32
2 ( 3) 4    
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d):
yx4
và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C


(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

mm
mm
m
gm
/2
12
20
2
(0) 2 0



   
   



  


(*)
Khi đó:
B C B C
x x m x x m2 ; . 2    
.
Mặt khác:
d K d


24

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email: [email protected]

B C B C B C
x x x x x x
22
2( ) 256 ( ) 4 128      m m m m m
22
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2

         
(thỏa (*)).
Vậy
m
1 137
2


.

Câu 44. Cho hàm số
y x x



kx y k 0  

Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:

x x kx k x x k x
3 2 2
3 4 ( 1) ( 2) 0 1

           

hoặc
xk
2
( 2)k
d
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
k
k
0
9




1

        
Câu 45. Cho hàm số
y x x
32
32  
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A,
B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.


Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng

qua E có dạng
y k x( 1)
.
PT hoành độ giao điểm của (C) và

:
x x x k
2
( 1)( 2 2 ) 0    


1
13



  


Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT:
 
y x y x1; 1 3 ( 1)      
.

Câu 46. Cho hàm số
y x mx
3
2  
có đồ thị (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 25


Ta có bảng biến thiên:
x
fx()

fx()

0 1

0
+
+ –
–3





Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
m 3  
.

Câu 47. Cho hàm số
y x m x mx
32
2 3( 1) 6 2    
có đồ thị (C
m
)

2
( 2)( 4 1 ) 0    



x
g x x x m
2
2
( ) 4 1 0



    


(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

PT
gx( ) 0
có 2 nghiệm phân biệt khác 2


m 3Câu 49. Cho hàm số
y x x
32
–3 1

    


(

) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt

(1) phải có nghiệm
xx
12
,
thỏa mãn:
xx
xx
12
12
2
2








b
a
f
0

m
8 5 0
1
2
2
8 5 0
2 1 0
















  





m