Chuyên đề I: Các bài toán về tỷ lệ thức
A.Kiến thức cơ bản
1. Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ
thức bằng nhau.
2. Bổ xung:
Nếu:
b
a
=
d
c
=
f
e
= K Thì
K
fKdKbK
eKcKaK
=
++
++321
321
B.Các bài toán
Dạng 1:
Tìm thành phần cha biết của tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số bằng nhau).
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết.
5.x=8.y=20.z và x y - z=3.
**Có thể định hớng học sinh giải theo 3 cách

=
2
z

*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của
bài toán.
Cách 2:
Vì 5.x = 8.y = 20.z

20
1
8
1
5
1
===
zyx
Cách 3:
5x=8y=20z
Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 ) là 40 ta đợc.

40
20
40
8
40
5 zyx
==

8

Bài 1. Tìm 3 số x, y, z biết.

2
3
2
2
1
4
+
=

=
+ zyx
và x.y.z = 12
Bài 2. Tìm x, y biết.

53
2222
yxxy +
=

và x
10
.
y
10
= 1024
Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai
đợng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8.
Dạng 2.

Xét tích (a-b). c = a.c - b.c
= a.c - a.d
= a.(c-d) (Vì
d
c
b
a
=
a.d = b.c Đặt thừa số chung)
Vậy (a-b).c = a.(c-d)
c
dc
a
ba
=

.
Cách 2. Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số
đó bằng tỷ số thứ 3.
2
Đặt
d
c
b
a
=
= K




Kd
Kd
dKd
c
dc 1
.
)1(
.
.
=

=

=

(2)
Từ (1) và (2)
c
dc
a
ba
=

.
**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai
vế để chúng có cùng một giá trị.
Cách 3. Vì
d
c
b

( c à
d
5
3
).
CMR:
dc
ba
dc
ba
35
35
35
35


=
+
+
.
Cách 1. Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.
Cách 2. Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.
Đặt
d
c
b
a
=
= K. Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng
d

2
=








.
Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.

2006
2005
4
3
3
2
2
1

a
a
a
a
a
a
a
a

Biết
K
d
cba
c
bad
b
adc
a
dcb
=
++
=
++
=
++
=
++
Tính giá trị của K.
Cách 1. áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta đợc.

K
dcba
dcba
=
+++
+++ )(3
K = 3
Cách 2. Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số a = b = c = d
K=3

32
+
+
.
Tính giá trị của M biết các số x, y, z tỷ lệ với 5; 4; 3.
Bài 3. Cho các số A, B, C tỷ lệ với các số a, b, c.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức. Q =
cbyax
CyBxA
++
++

Không phụ thuộc vào giá trị của x,y.

Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác bằng nhau
Đối với học sinh lớp 7 bớc đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Chứng
minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Cách làm thông thờng cũng là cách làm đợc
coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần
chứng minh đó bằng nhau. Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải tạo ra
bằng cách vẽ thêm đờng phụ. Đờng phụ có thể là đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đờng
vuông góc, song song,vẽ tia phân giác
Ví du1: Cho ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A
là ABE và ACF.
4
a.CM rằng BF = CE và BF CE
b.Gọi M là trung điểm của BC
CM rằng AM =
2
1
EF

Bài 2: Cho ABC có đờng cao AH và đờng trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc
bằng nhau. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH
a. CM rằng ME =
4
1
BC
b. Tính các góc của EMC
c. Biết AB = 4cm. Tính AC.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm
các đờng trung trực của tam giác đó. Chứng minh.
a. AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC.
b. Ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Chuyên đề III. Phơng pháp tam giác đều
*Phơng pháp tam giác đều thể hiện một cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm trong hình
vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. Giúp cho việc giải bài toán đợc thuận lợi.
Nhất là dạng toán tính số đo của góc.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân ở A, A = 80
o
.Gọi O là một điểm ở trong tam
giác sao cho OBC = 30
o
, OCB=10
0
. Tính COA.
*Hớng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc.
ABC cân tại A, A=80
0
B = C = 50
0
*Liên quan đến góc của tam giác đều.

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho ABK=30
0
. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H :
CM rằng HIK Cân.
biểu thức đại số Giá trị của biểu thức đại số
Bài 1:Tính giá trị của biểu thức :
A = x
2
+ 4xy 3y
3
với
;5
=
x
1
=
y
Bài 2: Cho x y = 9, tính giá trị của biểu thức : B =
xy
y
yx
x
+
+

+

3
94
3

và
b
= 2
Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :
a)
4
1
2

+
x
x
b)
1
1
2
+

x
x
c)
yxy
cbyax
3
++
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N=
12
36
2


0 và x y z = 0 .Tính giá trị của biểu thức
B =






+
















z
y
y
x
x

+ 2 b) (2x + 1)
4
1 c) (x
2
16)
2
+
3

y
- 2
Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A =
102
+
xx
Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
A =
15
1510
+
+
x
x
7
Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b

Z
Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35
Bài 15 Cho f(x) = ax
2

xy + y
2
)
c) a(a b) b(b- a) = a
2
b
2

d) a( b- c) b(a + c) + c( a b) = - 2bc
e) a( 1- b) + a( a
2
1) = a (a
2
- b)
f) a(b x) + x(a + b) = b( a + x)
Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau :
a) A = ( 15x + 2y) -
( ) ( )
[ ]
yxx
++
532
b) B = - (12x + 3y) + (5x 2y) -
( )
[ ]
5213
+
yx
Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích :
a) ab + bd ac cd b) ax + by ay bx c) x

333
d) (x-2)
525
2
+
n
+ y- 2= 0 (n

N)
Bi 24: Tỡm x, y l cỏc s nguyờn bit:
a)
1
2

+
=
x
x
y
b*)
1
32
+

=
x
x
y
c*)
12

a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng.
b/ AOB cân
Bài 2: Cho ABC cân tại A, = 80 . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho =50 . Trên cạnh AC
lấy điểm K sao cho = 30 . Hai đoạn AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh HIK cân.
Bài 3: Cho ABC có AB = a, = 75 , =60 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ
tia Bx sao cho =15 . Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với AB cắt Bx tại D.
a/ Chứng minh DC BC.
b/ Tính BC +CD theo a.
Bài 4: Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. Trên tia đối của tia
BD lấy điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE, láy điểm K sao cho CK = AB.
Chứng minh rằng AH = AK.

Phòng giáo dục Ngọc lặc đề thi học sinh giỏi tuyến huyện
Trờng THCS quang trung Năm học: 2006 - 2007
Môn thi : Toán 7
Thời gian: 120 phút
Câu 1 (3 điểm): Tìm x, biết:
a) x-1 + 5 = 2006 b) (x + 3)
2
= 144
c)
2007
2006
2007.2006

4.33.22.1
=++++
xxxx
Câu 2 (2 điểm): Cho M = 5 + 5
2

a
==
;

Chứng minh rằng:
y
x
b
a
=
2
2
.
Câu 5 (2 điểm): Chia số 195 thành ba phần tỉ lệ thuận với
5
3
;
4
3
1
và 0,9
Câu 6 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 5 +
3
1
- x
Câu 7 (2 điểm): Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n
200
< 5
300
Câu 8 (5 điểm): Cho tam giác ABC có A = 90

0.25 điểm.
b
(1điểm)
(x+3)
2
= 144
=> (x+3)
2
= 12
2
x+3 = 12 => x = 9
Hoặc x+3 = -12 => x = -15
0.5 điểm.
0.25 điểm.
0.25 điểm.
c
(1điểm)
2007
2006
2007.2006

4.33.22.1
=++++
xxxx
=>
2007
2006
2007.2006
1


1
2
1
2
1
1
=






++++
x

1
2007
2006
2007
2006
2007
2006
2007
1
1
==>
=
=


2007
=> 4M = 5M - M = 5
2007
-5
=> M =
( )
55
4
1
2007

Vậy M-N=
( ) ( )
1295
4
1
55
4
1
20072007

=> M-N =
( )
Z
==
31
4
124
5129
4

2001
+ 2
2003
)
= (1+ 2
2
+ 2
4
) + 2

(1+ 2
2
+ 2
4
) + + 2
1999
(1+
2
2
+ 2
4
)
= 21 + 2. 21+ 2
6
. 21++ 2
1999
. 21)
= 21(1 + 2

+ 2

y
x
ky
kx
b
a
==
2
2
(Điều phải chứng minh).
0.75 điểm.
0.75 điểm.
0.5 điểm.
Câu 5
(2 điểm)
Gọi ba phần đợc chia là x; y; z. Vì 3 phần tỉ lệ thuận
với
4
3
1;
5
3
và 0,9.
áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

60
20
65
195
20

==
==
==
z
y
x

Vậy ba phần đợc chia lần lợt là: 36; 105; 54
1 điểm.
0.25 điểm.
0.25 điểm.
0.25 điểm.
0.25 điểm.
Câu 6
(2 điểm)
Ta có:
0

x
với mọi x, Suy ra
0
3
1

x
với mọi x
Vậy: A = 5 +
x

3

0.5 điểm.
Câu 7
(2 điểm)
Ta có: n
200
= (n
2
)
100
; 5
300
= (5
3
)
100
= 125
100
Để n
200
< 5
300
Hay (n
2
)
100
< 125
100
ú n
2
< 125 (1)


(c.g.c)
AB = CN (hai cạnh tơng ứng)

ABM = N CM (hai góc tơng ứng).
Mà chúng lại ở vị trí so le trong
Suy ra: CN AB
1 điểm.
0.5 điểm.
0.5 điểm.
0.5 điểm.
0.5 điểm.
a
(2 điểm)
Vì CN AB mà AB

AC nên NC

AC
Hay ANC = 90
0

CNAABC
=
(c.g.c) Suy ra AN = BC
mà AM
2
1
= AN (gt)
Do đó AM =