I./ MỞ ĐẦU
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học
sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ
bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán
đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy,
người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ
bản, sâu rộng, giúp học sinh :
- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát
- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể
- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau
- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.
Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm
soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính
chất của tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong đại số 7.
II. / NỘI DUNG CHỌN ĐỀ TÀI
1 . Lý thuyết
Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số
* Tính chất của tỷ lệ thức:
a c
b d
=
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
a c
b d
=
suy ra a.d = b.c
Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:
a c
b d

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
a c
b d
=
suy ra các tỷ lệ thức sau:
a a c a c
b b d b d
+ −
= =
+ −
, (b ≠ ± d)
Tính chất 2:
a c i
b d j
= =
suy ra các tỷ lệ thức sau:
1
a c c i a c i
b b d j b d j
+ + − +
= =
+ + − +
, (b, d, j ≠ 0)
Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có:
3 5 7
a b c
= =
2 . Thực tế những năm trước kia khi chưa chú trọng trong việc rèn kỹ năng theo đề
tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai
nhất trong trình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”

2. Toán tìm x, y, z,
3. Toán đố
4. Toán về lập tỷ lệ thức
5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức
Qua việc giải các bài tập đa dạng về áp dụng tính chất của tỷ lệ thức các em
đã nắm chắc chắn tính chất của tỷ lệ thức
Biến đổi từ một tỷ lệ thức ra một tỷ lệ thức rất linh hoạt
III. / BÀI TẬP CỤ THỂ
A. Loại toán chứng minh đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu
1
a c
b d
= ≠
thì
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
với a, b, c, d ≠ 0
Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì?
Bắt chứng minh điều gì?
Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có:
1 1
a c a c a b c d
b d b d b d
+ +
= ⇒ + = + ⇒ =
2

=
− −
b,
2 2
2 2 2 2
7 3 7 3
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d
+ +
=
− −
Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh?
- Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
- Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2?
a. Từ
5 3 5 5 5 3 5 3
5 3 3 3 5 3 5 3
a c a b a b a c a b c d
b d c d c d b d a b c d
+ +
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −
(đpcm)
b.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
7 8 3 11
7 8 3 11
a c a b a b ab a b ab a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2
2
a b c a
a b c a a b c a
a b c a
ac a bc ab ac a bc ab
bc a
a bc
+ +
= ⇒ + − = − +
− −
− − − = + − −
⇒ =
⇒ =
Bài 4: Cho
a c
b d
=
CMR
2 2
2 2
ac a c
bd b d
+
=

4
4
4
1
a c a b a b a a b
b d c d c d c c d
− −
 
= ⇒ = = ⇒ =
 ÷
− −
 
Từ
( )
4 4 4 4
4 4 4 4
2
a b a b a b
c d c d c d
+
= ⇒ = =
+
Từ (1) và (2)
4
4 4
4 4
a b a b
c d c d
− +
 

3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Giải: + Ta có
( )
2
1
a b
b ac
b c
= ⇒ =
+ Ta có
( )
2
2
b c
c bd
c d
= ⇒ =
+ Từ (1) và (2) ta có
( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3
a b c a b c a b c
b c d b c d b c d

( ) ( ) ( )
( )
a y+z
y+z
2
b z x c x y
z x x y
abc abc abc bc ac ab
+ +
+ +
= = ⇒ = =
? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac
? Ta sẽ biến đổi như thế nào?
Từ (2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y+z
x y z x y z x y z x y z
bc ab ac bc ab ac bc
+ − + + − + + − +
⇒ = = =
− − −
( ) ( ) ( )
y-z z-x x-y
a b c b c a c a b
= =
− − −
(đpcm)
Bài 9: Cho
( )
bz-cy cx-az ay-bx

(đpcm)
Bài 10. Biết
'
'
a
1
a
b
b
+ =
và
'
'
b
1
c
b c
+ =

CMR: abc + a’b’c’ = 0
5
Giải: Từ
( )
'
'
a
1 ' ' 1 1
a
b
ab a b

15 20 28 30 60 28 30 60 28 62
x y z x y z x y z+ −
= = = = = = = =
+ −
 x = 3.15 = 45
 y= 3.20 = 60
 z = 3.28 = 84
Bài 12. Tìm x, y, z cho:
3 4
x y
=
và
5 7
y z
=
và
2 3 372x y z+ − =
Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia
Ta có:
3 4 15 20
x y x y
= ⇒ =
(chia cả hai vế cho 5)
5 7 20 28
y z y z
= ⇒ =
(chia cả hai vế cho 4)
15 20 28
x y z

5
30 30 30 15 10 6 15 10 6 19
x y z x y z x y z+ −
⇒ = = = = = = = =
+ −
=> x = 75, y = 50, z = 30
Bài 15. Tìm x, y, z biết:
( )
1 2 3
1
2 3 4
x y z= =
và x – y = 15
Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11)
BCNN(1 ;2 ;3) = 6
Chia các vế của (1) cho 6 ta có
15
5
12 9 8 12 9 3
x y z x y−
= = = = =
−
=> x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a.
( )
1 2 3
1
2 3 4
x y z− − −

−
= = =
7
1
5 11
2
x
x
−
= ⇒ =
2
5 17
3
y
x
−
= ⇒ =
3
5 23
4
z
x
−
= ⇒ =
b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15)
Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12
2 3 4 2 3 4
3 4 5 3.12 4.12 5.12
49
1

1 . . 9
2 3 2 2 3 2 4 6 6
4.9 2.3 6 6 6
x y x x y x x xy
x x
= ⇒ = ⇒ = = =
= = = = − ⇒ = ±
Thay vào (2) ta có:
54
6 9
6
x y= ⇒ = =
54
6 9
6
x y= − ⇒ = = −
−
b.
2 2 2 2
2
4 1
5 3 25 9 25 9 16 4
25 5
4 2
x y x y x y
x x
−
= ⇒ = = = =
−
⇒ = ⇒ = ±

1
9 9 8 1 45
+ + + − + + +
− −
= = =
+ + +
Từ đó dễ dàng suy ra a
1;
a
2; …
Bài 19. Tìm x; y; z biết:
a.
( )
1 2 3 1
1
y z x z x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
+ +
Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1)
( )
2
1 1 2 3
x y z
y z y z x z x y
x x y z x y z
+ +
+ + + + + + + + + −
= =

x y z z
z
z z
⇒ = ⇒ + + =
+ +
+ +
= ⇒ + + = ⇒ + + + = +
⇒ = ⇒ =
+ +
= ⇒ + + + =
⇒ = ⇒ =
+ −
= ⇒ + + − =
⇒ − = ⇒ = −
b. Tương tự các em tự giải phần b
Tìm x, y, z biết:
1 1 2
x y z
x y z
y z x z x y
= = = + +
+ + + + + −
Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5
ĐS :
1 1 1
; ;
2 2 2
x y z= = = −
Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0
Bài 20. Tìm x biết rằng:

⇒ + =
⇒ + =
⇒ + = ⇒ =
Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng:
2 3 5
x y z
= =
và xyz = 810
Giải:
( )
3
3
3
3 3 3
2 3 5 2 2 2 2 3 5 30
810
27 27
2 10 8
8.27 2 .3 2.3
6
x y z x x x x y z xyz
x x
x
x
= = ⇒ × × = × × =
 
⇒ = = ⇒ =
 ÷
 
⇒ = = =

= = ×××= =
và
1 2 n
x x x c+ +×××+ =
(
1 1 2
0, , 0; 0
n n
a a a a a≠ ≠ + + + ≠
)
Giải:

1 1 2
1 2
1 2 1 1 2 1 2
1 2.

n n n
n n n n
i
i
n
x x x x x
x x
c
a a a a a a a a a a
c a

=
+ + +
4
4
3
4 3 4 2 2
x y k
k x y
x y k
k k k k
+ − =

⇒ ⇒ + = +

+ =

⇒ + = ⇒ = ⇒ =
Từ (1)
5 5 5 2 3
9 5 5 9 10 9 1
3 3 6 1 5
5
1
3
z k z k
y k y k
x y k x k y
x
y
z

9 4 9 4 6 9
4 , 6 , 9
4 6 9 64 216 729 1009 1009
1 1
1.4 4
1.6 6
1.9 9
x y z
x x y x y
y
x x z x y z
z
x k y k z k
x y z k k k k k k k
k k
x
y
z
+ + = −
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = =
⇒ = = =
+ + = + + = + + = = −
⇒ = − ⇒ = −
⇒ = − = −
⇒ = − = −
⇒ = − = −
C./ TOÁN ĐỐ
(ngoài những dạng đơn giản trong sgk giáo viên soạn bổ sung thêm)
11

4
5
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia
là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp?
Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
Theo bài ra ta có:
( )
2 3 4
1
3 4 5
x y z= =
và x + y + z = 57
Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12
57
18 16 15 18 16 15 19
x y z x y z+ −
⇒ = = = =
+ −
=> x = 54; y = 18; z =45
Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45
ĐS: 54; 18; 45
Bài 27. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ
nhất với số thứ 2 là
5
9
, của số thứ nhất với số thứ ba là
10
7
.
12

a
b
và
c
d
với b> 0; d >0.
CM:
a c
ad bc
b d
< ⇔ <
Giải:
+ Có
db cd
bd db
0; 0
a c
ad bc
b d
b d

<

⇒ < ⇒ <


> >

+ Có:
ad bc

⇒ <


> >

thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
( ) ( ) ( )
2
ad ab bc ab
a a c
a b d c b d
b b d
⇒ + < +
+
+ < + ⇒ <
+
13
+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:
( )
( ) ( )
( )
1
3
ad dc bc dc
d a c c b d
a c c
b d d
⇒ + < +
⇒ + < +
+

+
>
+
Bài 30. Cho a; b; c; d > 0.
CMR:
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
Giải:
+ Từ
1
a
a b c
<
+ +
theo tính chất (3) ta có:
( )
1
a d a
a b c d a b c
+
>
+ + + + +
(do d>0)
Mặt khác:
( )
2
a a

d a b a b c d
+
< <
+ + + + +
Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
(đpcm)
14
Bi 31. Cho
a c
b d
<
v
; 0b d >
CMR:
2 2
a ab cd c
b b d d
+
< <
+
Gii:
Ta cú
a c
b d
<

Xin chân thành cảm ơn!

Liên Khê ngày 10 tháng 4 năm 2007
Ngời viết
Nguyễn Hữu Chức
15