cGV: Dương Phước Sang 1 MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. MỆNH ĐỀ
1. M
ệnh đề
: là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa
đúng vừa sai.
Ví dụ:  “2 + 3 = 5” là MĐ đúng. “ 2 là số hữu tỉ” là MĐ sai.
 “Mệt quá!” không phải là MĐ.

2. M
ệnh đề chứa biến

Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào
khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc điểm
như thế được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của một mệnh đề
Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thoả mãn tính chất
nếu P đúng thì P sai, còn nếu P sai thì P đúng.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”. P : “3 không là số nguyên tố”.
4. Mệnh đề kéo theo
M
ệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q.
Mệnh đềP ⇒ Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai.
Ví d
ụ: Mệnh đề “1>2” là mệnh đề sai.

≥ 0: đúng ∃n ∈ Z, n
2
– 3n + 1 = 0: sai
7. Phủ đỉnh của mệnh đề với mọi, tồn tại
Mệnh đề P: ∀x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủ định là , ( )x D T x∃ ∈ .
Mệnh đề P: ∃x ∈ D, T(x) có mệnh đề phủ định là , ( )x D T x∀ ∈ .
Lưu ý:
Phủ định của “a < b” là “a ≥ b” Phủ định của “a = b” là “a ≠ b”
Phủ định của “a > b” là “a ≤ b” Phủ định của “a ⋮ b” là “a ⋮b ”
Ví dụ: P: ∃n ∈ Z, n < 0 : , 0P n n∀ ∈ ≥ℤ
II. TẬP HỢP
Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A.
Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết a ∉ A.
1. Cách xác
định tập hợp

a. Cách li
ệt kê

Vi
ết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa dấu {}, các phần tử cách nhau bởi
d
ấu phẩy (,)
Ví dụ: A = {1,2,3,4,5}
b. Cách nêu tính chất đặc trưng
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví d
ụ
: A = {x ∈ R|2x
2

∈


∈ ∩ ⇔


∈




B
A

2. Phép hợp: A∪B = {x | x ∈A hoặc x
∈B}
hay
x A
x A B
x B

∈

∈ ∪ ⇔

∈



B

V
ậy,
B
A
C = A\B khi B A
⊂
.
A
B

IV. CÁC TẬP HỢP SỐ:


Tập số tự nhiên N = {0,1,2,3,4,5,6,…}, ngoài ra N
*
= N\{0}
VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 4



Tập số nguyên Z = {…, –3,–2,–1,0,1,2,3,…}


Tập các số hữu tỉ Q = {x =
m
n
| m,n ∈ Z và n ≠ 0}




(a ; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}


[a ; +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}


(–∞ ; b] = {x ∈ R | x ≤ b}
b
a
)
(
+
∞
-
∞

a
(
+
∞
-
∞

b
)
+
∞
-

[
+
∞
-
∞

b
]
+
∞
-
∞

VIETMATHS.NET
Website Toán: VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 5

Chú ý: R = (–∞ ; +∞)
3. Cách tìm giao, hợp, hiệu của các tập hợp A,B ⊂ R
a. Cách tìm giao của A và B
Biểu diễn các tập hợp A và B đó lên cùng một trục số thực (gạch bỏ các
khoảng không thuộc A và các khoảng không thuộc B). Phần còn lại trên
trục số là kết quả A ∩ B
Ví dụ: [1 ; 7] ∩ (–3 ; 5) = [1 ; 5)
5
-3
)( [
1 7
]

[(
5-3
1 7
+
∞
-
∞

\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 6

§1. MỆNH ĐỀ
BÀI TẬP CƠ BẢN
1.1. Câu nào dưới đây là mệnh đề đúng, câu nào là mệnh đề sai?
a.Đây là đâu? b.PT x
2
+ x – 1 = 0 vô nghiệm
c.x + 3 = 5 d.16 không là số nguyên tố
1.2. Các mệnh đề sau đúng hay sai. Nêu mệnh đề phủ định của chúng
a.“Ph
ương trình x
2
– x – 4 = 0 vô nghiệm”
b.“6 là số nguyên tố” b.“∀n ∈ N, n
2
– 1 là số lẻ”
1.3. Xác định tính đúng sai của mệnh đề A, B và tìm phủ định của nó

2
”. Xét tính đúng sai của các mệnh
đề sau:
a.P(1) b.P(
1
3
) c.∀x ∈N, P(x) d.∃x ∈ N, P(x)
1.8. Phát biểu mệnh đề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp mệnh đề sau và xét tính
đúng sai của chúng
a.A: “T
ứ giác T là hình bình hành”, B: “Tứ giác T có hai cạnh đối diện
bằng nhau”
VIETMATHS.NET
Website Toán: VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 7

b.A: “Tứ giác T là hình vuông”, B: “Tứ giác T có 3 góc vuông”
c.A: “x > y”, B: “x
2
> y
2
”(Với x,y là 2 số thực)
d.A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy”, B: “Điểm M nằm trên
đường phân giác góc xOy”
1.9. Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và hãy phủ định chúng
∀x ∈ N, x
2
≥ 2x ∃x ∈ N, (x
2

x
−
−
= x + 2 F: ∃x ∈ R,
2
4
2
x
x
−
−
= x + 2
d.G: ∀x ∈ R,x
2
–

3x + 2 > 0 G: ∃x ∈ R,x
2
–

3x + 2 > 0
1.12. Cho s
ố thực x. Xét các mệnh đề chứa biến
P: “x
2
= 1” Q: “x = 1”
a.Hãy phát bi
ểu mệnh đề P ⇒ Q, mệnh đề đảo của nó và tính đúng sai
c
ủa các mệnh đề đó.

1.15. Xét tính
đúng sai của các mệnh đề sau, nêu rõ lý do và lập mệnh đề
phủ định cho các mệnh đề dưới đâY
a.∃r ∈ Q, 4r
2
– 1 = 0 b.∃n ∈ N, (n
2
+ 1) ⋮ 8
c.∀x ∈
R,x
2
+ x + 1 > 0 d.∀n ∈ N
*
,(1 + 2 + … + n) ⋮ 11
1.16. Cho P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n + 4 là số chẵn”
a.Phát biểu và chứng minh định lý “∀n ∈ N, P(n) ⇒ Q(n)”
b.Phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý trên
c.Phát bi
ểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách.
1.17. CMR,
2 là một số vô tỉ.

§2. TẬP HỢP
BÀI TẬP CƠ BẢN
2.1. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A = {x ∈ Q | (2x + 1)(x
2
+ x – 1)(2x
2
– 3x + 1) = 0}

K = {x | x = 2k v
ới k ∈ Z và −3 < x < 13}
VIETMATHS.NET
Website Toán: VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 9

L = {x ∈ Z | x
2
> 4 và |x| < 10}
M = {x ∈ Z | x = 3k với k ∈ Z và −1 < k < 5}
N = {x ∈ R | x
2
− 1 = 0 và x
2
− 4x + 3 = 0}

2.2. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
B = {x ∈ N|6x
2
– 5x +1 = 0} F = {x ∈ R|2x
2
– 5x + 3 = 0}
G = {x
∈ Z|2x
2
– 5x + 3 = 0} H={x ∈Q|
1
2
x

A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
C là tập các hình vuông D là tập các hình chữ nhật
2.9. Xét m
ối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây
A là t
ập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
C là tập các hình thang D là tập các hình chữ nhật
E là tập các hình vuông G là tập các hình thoi.
VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 10

2.10. Cho T
v
= tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
T
c
= tập hợp tất cả các tam giác cân
T
đ
= tập hợp tất cả các tam giác đều
T
vc
= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên
BÀI T

C
 
 
 
=
 
 
 
 

3 4 5 6
2, , , , ,
2 3 4 5
D
 
 
 
=
 
 
 
 
⋯

2.13. Tìm t
ập hợp X sao cho {a,b} ⊂ X ⊂ {a,b,c,d}
2.14. Tìm t
ập hợp X sao cho X ⊂ A và X ⊂ B, trong đó
A = {a,b,c,d,e} và B = {a,c,e,f}
2.15. Ch

3.2.Cho tập E = {a,b,c,d} ; F = {b,c,e,g} ; G = {c,d,e,f}
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )E F G E F E G∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

3.3.Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6,8}. Hãy xác định A\B, B\A
3.4.Cho A = {a,e,i,o} và E = {a,b,c,d,i,e,o,f}. Xác
định
A
E
C
3.5.Cho E = {x ∈ N|x ≤ 8}, A = {1,3,5,7}, B = {1,2,3,6}
a.Tìm , ,
A B A B
E E E E
C C C C∩ b.Chứng minh
A B A B
E E
C C
∪ ∩
⊂
3.6.Cho E = {x ∈ Z||x| ≤ 5}, F = {x ∈ N||x| ≤ 5}
và B = {x ∈ Z|(x – 2)(x + 1)(2x
2
– x – 3) = 0}
a.Chứng minh A ⊂ E và B ⊂ E
b.Tìm
,
A B A B
E E
C C

– 3x = 0}
Xác định các tập hợp sau đây A ∩ B ; A\B ; B\A ; A ∪ B
3.10.Cho A = {x
∈ N | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8}
a.Xác định A∪B ; A∩B ; A\B ; B\A
VIETMATHS.NET

cGV: Dương Phước Sang 12

b.CMR, (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A)
BÀI T
ẬP NÂNG CAO

3.11.Cho tập hợp A. Hãy cho biết quan hệ giữa tập B và tập A nếu
\ \
A B B A B A A B A
A B B A B A B Aφ
∩ = ∩ = ∪ =
∪ = = =

3.12.Cho A và B là hai tập hợp. Hãy xác định các tập hợp sau
a.(A ∩ B) ∪ A b.(A ∪ B) ∩ B
c.(A\B)
∪ B d.(A\B) ∩ (B\A)
3.13.Cho A và B là hai t
ập hợp khác rỗng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây là
mệnh đề đúng
a.A ⊂ B\A b.A ⊂ A ∪ B c.A ∩ B ⊂ A ∪ B d.A\B ⊂ A
3.14.Chứng minh rằng
a.A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B

b.CMR (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A)
3.19.Cho t
ập hợp E = {x ∈ N | 1 ≤ x < 7}
A= {x ∈ N | (x
2
– 9)(x
2
– 5x – 6) = 0}
B = {x ∈ N | x là số nguyên tố không quá 5}
a.CMR, A ⊂ E và B ⊂ E b.Tìm C
E
A ; C
E
B ; C
E
(A∩B)
3.20.Chứng minh rằng
a.Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì (A∪B) ⊂ (C ∪D)
b.A\(B ∩C) = (A\B)∪(A\C)
c.A \(B ∪C) = (A\B)∩(A\C)
§4. CÁC TẬP HỢP SỐ
4.1. Xác
định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a.[–3;1) ∪ (0;4] b.[–3;1) ∩ (0;4]
c.(–∞;1) ∪ (2;+∞) d.(–∞;1) ∩ (2;+∞)
4.2. Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp
A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A

∈ R | |x | > 2} ; C = {x ∈ R |–4 < x + 2 ≤ 5}
4.11. Cho A = {x ∈ R | x ≤ –3 hoặc x > 6}, B = {x ∈ R | x
2
– 25 ≤ 0}
a.Tìm các khoảng, đoạn, nửa khoảng sau đây
A\B ; B\A ;
R\(A∪B); R\(A∩B) ; R\(A\B)
b.Cho C = {x ∈ R | x ≤ a} ; D = {x ∈ R | x ≥ b}. Xác định a và b biết
rằng C ∩B và D ∩B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9. Tìm C
∩D
VIETMATHS.NET
Website Toán: VIETMATHS.NET