BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+

a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(

i
ể
m có hoành
độ

1.
x
=

Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa mãn:
π
α π
2
< <
và
3
sin
α .
5
=
Tính
2
tan
α
.
1 tan
α
A
=

ả
i ph
ươ
ng trình:
3 3
log ( 2) 1 log .
x x
+ = −
Câu 4.
(
1,0 điểm
) Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 2
2 3( 2 2).
x x x x x+ + − ≥ − −
Câu 5.
(1,0
đ
i
ể
m) Tính tích phân:
2
3
1

ủ
a c
ạ
nh AC và
2 .
SH a
=
Tính theo
a th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB).
Câu 7.
(1,0
đ

i
ể
m
(6; 6)
K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O. G
ọ
i C là
đ
i
ể
m
n
ằ
m trên
∆
sao cho
AC AO
=
và các
đ
i
ể
m C, B n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ

đ
i
ể
m) Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m
(2; 0; 0)
A và
(1; 1; 1).
B
−
Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ

ổ
i thi v
ấ
n
đ
áp. Cán b
ộ
h
ỏ
i thi
đư
a cho m
ỗ
i thí
sinh m
ộ
t b
ộ
câu h
ỏ
i thi g
ồ
m 10 câu h
ỏ
i khác nhau,
đượ
c
đự
ng trong 10 phong bì dán kín, có hình
th

ng b
ộ
10 câu h
ỏ
i thi dành cho các thí sinh là nh
ư
nhau, tính xác su
ấ
t
để

3
câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và 3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng nhau.

Câu 10.
(1,0
đ
i
ể
m) Xét s

x x x x

HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁNCÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1
(2,0 điểm)


lim lim 2.
x x
y y
→ −∞ → +∞
= =

Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
1
x
= −
và một
tiệm cận ngang là đường thẳng
2.
y
=

0,25
●
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' =
2
3
( 1)
x +
> 0
∀
x
∈
D.
Suy ra, hàm s

ự
c tr
ị
.
0,25
Lưu ý:
Cho phép thí sinh không nêu k
ết luận về cực trị của hàm số.
- Bảng biến thiên:
x
–
∞
– 1 + ∞

y' + +
y
+
∞

2
2 – ∞

0,25
●
Đồ thị (C): 0,25
O


góc
k
c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3
'(1) .
4
k y
= =

0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3 1
( 1) ;
4 2

3 16
cos
α 1 sin α 1 .
5 25
 
= − = − =
 
 
(2)
Vì
α ;
2
π
π
 
∈
 
 
nên
cos
α 0.
<
Do đó, từ (2) suy ra
4
cos
α .
5
= −
(3)
Thế (3) vào (1), ta được

∗
)
⇔

(1 )( ) (3 )( ) 2 6
i a bi i a bi i
+ + + − − = −⇔

(4 2 2) (6 2 ) 0
a b b i
− − + − =

0,25

⇔

{
4 2 2 0
6 2 0
a b
b
− − =
− =

⇔

{

+ + =
⇔
3 3
log ( ( 2)) log 3
x x + =

0,25
⇔
2
2 3 0
x x
+ − =
⇔
1
x
=
(do (1)).
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
● Điều kiện xác định:
1 3.
x ≥ +
(1)
● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:
(2) ⇔
2 2
2 2 2 ( 1)( 2) 3( 2 2)
x x x x x x x
+ − + + − ≥ − −

x x
− − ≤

⇔
3 13 3 13.
x− ≤ ≤ +
(4)
K
ế
t h
ợ
p (1) và (4), ta
đượ
c t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là:
1 3 ; 3 13 .
 
+ +
 

2
1
ln d .
I x x
=
∫
Ta có:

2
4
1
1
1 15
.
2 2
I x= =
0,25

2 2
2 2
2
1 1
1 1
.ln d(ln ) 2ln 2 d 2ln 2 2ln 2 1.
I x x x x x x
= − = − = − = −
∫ ∫

V
ậ

v. ABC, ta có:

o
.cos 2 .cos 30 3 .
BC AC ACB a a
= = =

0,25
Do
đ
ó

o 2
1 1 3
. .sin .2 . 3 .sin 30 .
2 2 2
ABC
S AC BC ACB a a a
= = =

V
ậ
y
3
2
.
1 1 3 6
. . 2 . .
3 3 2 6
S ABC ABC

ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ừ
a nêu, nên
trong mp(SHN), h
ạ
HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB).
Vì v
ậ
y d(H, (SAB)) = HK. K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK. (2)
0,25
Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN. Xét
∆
v. SHN, ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
2
HK SH HN a HN
= + = +

Th
ế
(3) vào (2), ta
đượ
c
( )
2 66
, ( ) .
11
a
d C SAB =

0,25
Câu 7
(1,0
đ
i
ể
m)

Trên
∆
, l
ấ
y
đ
i

ng KB và OD.
Vì K là tâm
đườ
ng tròn bàng ti
ế
p góc O c
ủ
a
∆
OAB nên KE là phân giác c
ủ
a góc

.
OAC
Mà OAC là tam giác cân t
ạ
i A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE c
ũ
ng
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a OC. Do
đ
ó E là trung
đ

KH ⊥
∆
, ta có H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD.
Nh
ư
v
ậ
y:
+ A là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
1
d
c
ủ
a
đ
o

đố
i
x
ứ
ng c
ủ
a C qua H và H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a K trên
∆
. (2)
0,50

Vì C ∈
∆
và có hoành
độ

0
24
5
x =
(gt) nên g
ọ
i
0
y
là tung

độ
là
12 6
;
5 5
 
−
 
 
và
đườ
ng th
ẳ
ng OC có
ph
ươ
ng trình:
2 0.
x y
+ =

Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
1
d
là:
2 6 0.

i h
ệ
trên, ta
đượ
c A = (3; 0).
0,25

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua K(6; 6) và vuông góc v
ớ
i
∆
, ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a
d là:
3 4 6 0.
x y
− + =
T
ừ

x y
+ − =
− + =

Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c
6 12
; .
5 5
H
 
=
 
 
Suy ra
12 36
; .
5 5
D
 
= −
 
 

Do


Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
2
d
là:
3 12 0.
x y
− + =

Do
đ
ó, theo (2), t
ọ
a
độ
c
ủ
a B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:

ủ
a AB, ta có
3 1 1
; ; .
2 2 2
M
 
= −
 
 

Vì (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a AB nên (P)
đ
i qua M và
( 1; 1; 1)
AB
= − −

là
m
ộ
t vect

( , ( )) .
2 3
2 ( 2) 2
d O P
−
= =
+ − +

0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) là:
2 2 2
1
12
x y z+ + =

hay
2 2 2
12 12 12 1 0.

ở
v
ị
trí
th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ
3 câu h
ỏ
i thí sinh A ch
ọ
n và
ở
v
ị
trí th
ứ
hai c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ

2
3
10
( ) C .
n Ω =

0,25
Kí hi
ệ
u X là bi
ế
n c
ố
“b
ộ
3 câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và b
ộ
3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng
nhau”.
Vì v


Vì v
ậ
y
(
)
( )
3
10
2
3
3
10
10
C
1 1
( ) .
( ) C 120
C
X
n
P X
n
Ω
= = = =
Ω0,25
Câu 10

m
( ; 1)
A x x
+
,
3 1
;
2 2
B
 
−
 
 
 
và
3 1
; .
2 2
C
 
− −
 
 
 

Khi
đ
ó, ta có
,
OA OB OC

m m
và
c
m
t
ươ
ng
ứ
ng là
độ
dài
đườ
ng trung tuy
ế
n xu
ấ
t phát t
ừ
A,
B, C c
ủ
a
∆
ABC.
0,25
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th

ng cách t
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có:
2 2 2
.
2 3
b
a b c
b m
+ +
≤
và
2 2 2
. .
2 3
c
a b c
c m
+ +
≤

Suy ra
( )
2 2 2
3 3
. . . .

m m m
+ +
= + + + + +
= + + + + +
+ +
= + + =
     
        
   

T
ừ
(1), (2) và (3), suy ra
3.
P ≥

H
ơ
n n
ữ
a, b
ằ
ng ki
ể
m tra tr
ự
c ti
ế
p ta th
ấ