Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
CHUYÊN ĐỀ I
TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC SỐ
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) B = 5290627917848 : 565432
Bài 2: Tính (Kết quả thu được viết dưới dạng phân số và số thập phân)
A =
28
521
4
7
581
2
52
123
3 −+
Bài 3: Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân:
C =
013,0:00325,0
)045,02,1(:)965,11,2(
67,0)88,33,5(03,0632,0
)5,2:15,0(:09,04,0:3
×−
+
+−−+×
−
Bài 4: Tính và làm tròn đến 5 chữ số thập phân:
D =




84
13
Bài 5: Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân:
[ ]
11)1x(3,0:08,1140
3029
1
2928
1

2423
1
2322
1
2221
1
=−×+×






×
+
×
++
×
+
×

4
:6,0
×+
×−
−
+
−
×
Bài 7: Tính:
M = 182
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2
2
:
343
4
49

N =
515151
434343
611
3
243
3
23
3
3
611
10
243
10
23
10
10
:
113
11
89
11
17
11
11
113
5
89
5
17

15,2557,28(:84,6
4)81,3306,34(
)2,18,0(5,2
)1,02,0(:3
+






−
×−
+
+×
−
D =
( )
[ ]
125,0:
4
1
1 )8333,125,0:
5
1
136:2,1(
8,12
1
8999,95,6:3567
×−+












×






+
×






−
−
×


−×
25,3
2
1
58,02,3
5
1
1
2
1
2:
66
5
11
2
44
13
y
7,14:51,4825,02,15
Bài 11: Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a)






−=



4
3
4
2
1
2:
4
3
15,32,15
2
1
3
7
4
:8,125,1x
5
4
7
3
15,0
b)
( )
( )
[ ]
( )
)15,32,1(:
2
1
3
17

Bài 12: a) Tính C biết 7,5% của nó bằng:
8
7
1:
20
3
5
2
217
3
1
110
17
6
55
7
8






−
×






−××+
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số::
a) A =






++






−






+ 7,3
5
2
25,1:
4
6
4

99
8
194
11
60
25,0
9
5
75,1
3
10
11
12
7
6
15
7
1
24
3
1
10
+×






−

3
4
:
3
1
1
5
2
25
33
:
3
1
3:)2(,0)5(,0






×−






×
Bài 15: Tính:
a) A =




−






−
+
−






×
b) Tìm 2,5% của:
04,0
3
2
2:
18
5
83
30
7

1989198819851983
1987)339721986()19921986(
22
×××
×−+×−
b) B = (649
2
+ 13
×
180)
2
– 13
×
(2
×
649
×
180)
Bài 17: Tính:
A =
( )
( )
[ ]
52,0:75,253,398,1:66,0
75,025,1505,48,3:619,64
2
2
2
2
−+

)14,275,3(213,2
−
+π
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
b) Tìm x biết:
2
2
)713,0(
4
3
2
162,0x
1
−=
+
Bài 20: Tính:
A =
33
549549
21217
223
21217
223
−+++
+
+
−
−
−
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử

98 432
+++++
d) E =
3
4
5
6
7
8
9
98765432
−+−+−+−
Bài 22: Tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân:
a) A = 1-
109876543
1098765432
−+−+−+−+
b) B =
9
8
7
6
5
4
3
23456789
c) C = 7 -
7
1
6

0
+ tag10
0
+ tag15
0
+ … + tag80
0
+ tag85
0
Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 90
0
)
Tính A = (5cos
3
x – 2sin
3
x + cos x) : (2cos x – sin
3
x + sin
2
x)
Bài 25: Cho cos
2
x = 0,26 (0 < x < 90
0
)
Tính B =
x2gcot4x2tg5
xtg3x2sin5xsin2
2

0
tg35
0
… tg55
0
tg56
0
(0 < x < 90
0
)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Tính E =
xcosxsin)xcosxsin1(
)xsin1(xgcot)xcos1(xtg
33
3232
+++
+++
Bài 29: Cho cos x.sin (90
0
– x) = 0,4585. (0 < x < 90
0
)
Tính F =
xgcotxtg
xsinxsinxsinxsin
22
234
+
+++

Bài 9:
C = 7
2
1
D =
260
89
39
Bài 10:
x
≈
6, 000 172 424
y = 25
Bài 11:
a) x
≈
-903, 4765135
b) x
≈
-1, 39360764
Bài 12:
a) C = 200
b) x = 20,384
Bài 13:
a) A =
57
112
b) B =
4
93

b) y = 70,09716521
c) z = 96,26084259
Bài 19:
a) T = 0,029185103
b) x =
±
0,192376083
Bài 20: A = 5 Bài 21:
a) B = 0
b) C = 8
c) D = 1,911639216
d) E = 0,615121481
Bài 22:
a) A = -0,313231759
b) B = 1,319968633
c) C = 4,547219337
Bài 23:
a) 0,01727263568
b) 34,55620184
Bài 24:
2,524628397
Bài 25: B = 3,781221229 Bài 26: 3,750733882 Bài 27: D = 0,410279666
Bài 28: E = 1,657680306 Bài 29: F = 1,382777377 Bài 30:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
1119909991289361111
Bài 31: A = 180822593125 B = 15241578750190521 C =1072031456922402816
Chú ý: Bài 21 – 22: ta sử dung nút /Ans/ hoặc quy trình truy hồi ở máy f
x
570 MS
Bài 21 c: gán

Cho C =
5x
1xx3x2x3
245
+
+−+−
khi x = 1,8363
Bài 2: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
a) Tính P(2
2
)
b) Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Bài 3:
Tính P(x) = 17x
5
– 5x
4
+ 8x
3
+ 13x
2
– 11x – 357 khi x = 2,18567
Bài 4:
a) Cho P(x) = x
3
– 2,531x

4
+ 2x
3
– 25x
2
– 26x + 120
c) 20x
2
+ 11xy – 3y
2
d) 8x
4
– 7x
3
+ 17x
2
- 14x + 32
e) x
5
– 4x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
– 4x + 1 f) 6x
4
– 11x
3
– 32x

Bài 10: Tìm số dư của phép chia:
624,1x
723xxxxxx
245914
−
−+++−−
Bài 11:
Tìm a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 5x
2
– 13x + a
a) Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x)
cho 3x – 2
Bài 13: Cho đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x – 50
Gọi r

– 5x
2
– 13x + n ra tích
của các thừa số bậc nhất.
Bài 15:
Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n
a) Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2
b) Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x)
chỉ có nghiệm một duy nhất.
Bài 16: a) Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f

1
) =
500
89
. Tính giá trị đúng và giá trị gần đúng với 5 chữ số thập phân của f(
3
2
)
Bài 18: Cho đa thức P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
c) Muốn cho đa thức có nghiệm x = 2 thì m có giá trị bằng bao nhiêu ?
Bài 19: Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e và cho biết P(1) = 3;
p(2) = 9 ; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51.

Tính f(1,2008)
Bài 22: Tính giá trị biểu thức:
A =
1y
2
y
48
y
49
y
50
y
1x
2
x
48
x
49
x
50
x
++++++
++++++
khi x = 1, 2007 ; y = 1,2008
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
KẾT QUẢ
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
1) 7,1935 2) –509,0344879 3) 498,438088 4a) –10,805
4b) 1061,318 5) 85,43712 6a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
6b) (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 5) 6c) (4x + 3y)(5x – y)

17) f(2/3) = -0,34259 18a) 2144,40625 18b) m = -141,40625 18c) m = -46
19) P(6) = 193 ; P(7) = 819 ; P(8) = 2649 ; P(9) = 6883 ; P(10) = 15321;
P(11) = 30483
20a) P(-4) = P(-3) = P(-2) = P(-1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0
20b) Do
±
4 ;
±
3 ;
±
2;
±
1 ; 0 ;
±
1;
±
2 ;
±
3 ;
±
4 là nghiệm của P(x) nên:
P(x) =
630
1
(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích
của 9 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630
Vậy P(x) luôn có giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Chú ý: Các dạng ở bài tập 16 đến 20 có nhiều cách để xác định đa thức P(x) nhưng cách gắn gọn
hơn hết ta có thể thực hiện như sau: Ví dụ ở bài tập 19:

n-1
( n= 2; 3 …)
a) Tính u
3
; u
4
; u
5
; u
6
; u
7
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của u
n
với
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u
22
; u
23

Bài 3: Cho dãy số u
0
= 2 ; u
1
= 3 ; u
n+1
= u
n
2
+ u
n-1
2

a) Lập quy trình tính u
n
b) Tính u
2
, u
3
, u
4
, u
5
.
Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự u
1
, u
2
, u
3

với n
≥
4
c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của u
22
, u
25
; u
28
; u
30
Bài 5: Cho dãy số: U
n
=
53
n
)53(
n
)53( −−+
a) Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh: U
n + 2
= 6U
n + 1
– 4U
n
Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n + 2
trên máy Casio
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử

Với n = 1; 2; 3; ….
a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính U
n + 2
theo U
n
và U
n + 1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n + 2
trên máy casio
Bài 7: Cho dãy số u
1
= 8

; u
2
= 13 , u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 2; 3; 4 …)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị u
n+1
với mọi n
≥
2
b) Sử dụng quy trình trên tính giá trị u

2
53
nn
−








−
+








+
n = 0; 1; 2; 3 …
a) Tính 5 số hạng đầu tiên
b) Lập một công thức truy hồi để tính u
n+1
theo u
n
và u

và tính u
4
; u
5
; u
6
… u
20
b) Lập và chứng minh công thức tổng quát của u
n
c) Chứng minh với mọi số nguyên tố p thì u
p
chia hết cho p
Bài 11: Cho dãy số: u
n
=
72
)75()75(
nn
−−+
(1)
a) Lập công thức truy hồi.
b) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u
n
và tính u
1
; u
2
; u
3

a) Lập công thức truy hồi.
b) Lập công thức tính trên máy casio để tính u
n
và tính u
0
đến u
4
Bài 13: Cho u
1
= 1 ; u
2
= 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u
2n+2
= 3u
2n+1
+ 5u
2n
- 1

Nếu n lẻ : u
2n+1
= 5u
2n
+ 3u
2n-1
a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u
12
, u
13

1
n
+ c
2
u
2
n
(2) gọi là công thức tổng quát để tính của u
n
Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của u
n
và có quan hệ với nhau.
Ở công thức (2) u
1
và u
2
là nghiệm của phương trình: u
2
= au + b hay u
2
– au – b = 0
Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
HƯỚNG DẪN
Ví dụ1: (Bài 2)
cho dãy số u
0
= 2 ; u
1
= 10 ; u

1
=
625
+
; x
2
= 5 - 2
6
⇒
u
n
= c
1
(
625
+
)
n
+ c
2
(5 - 2
6
)
n
do u
0
= 2 ; u
1
= 10 nên ta có:


=
32
)32()32(
nn
−−+
Với n = 0; 1; 2; 3; ….
Lập công thức truy hồi để tính U
n + 2
theo U
n
và U
n + 1
Giải:
Cách 1: Ta biểu diễn U
n
dưới dạng tổng quát u
n
= c
1
u
1
n
+ c
2
u
2
n
như sau:
U
n

; u
2
là nghiệm của pt: (u – 2-
3
)(u – 2+
3
) = 0
Hay: u
2
– 4u + 1 = 0
⇔
u
2

= 4u – 1
Vậy công thức truy hồi: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n
với u
1
= 1 ; u
2
= 4
Cách 2: Đặt a = 2 +
3
; b = 2 -
3

n
(4 + 4
3
+ 3) / 2
3
- b
n
(4 - 4
3
+ 3) /2
3
= a
n
(8 + 4
3
- 1)/2
3
- b
n
(8 - 4
3
- 1) / 2
3
= 4a
n
(2 +
3
) / 2
3
- 4b

sử dụng theo quy trình sau là ngắn gọn nhất:
Ví dụ 1:
Cho dãy số: u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của u
n
với
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 …)
Giải: 2 /shift / sto A (gán u
1
vào A)

vào A)
2 /shift / sto B (gán u
2
vào B)
3 /shift / sto C (gán u
3
vào C)
Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:
Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / = (u
4
)
Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo ….
Ví dụ 3:
Cho u
1
= 1 ; u
2
= 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u
2n+2
= 3u
2n+1
+ 5u
2n
- 1
Nếu n lẻ : u
2n+1
= 5u
2n

S
2
= 3 vào C (3 /shift / sto /C)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Nhập:
A = 5B + 3A : (u
3
) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S
3
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)
B = 3A + 5B - 1: (u
4
) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C = C + B (S
4
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/…
Ấn liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u
3
)
Lần 2 “=” (được S
3
)
Lần 3 “=” (được u
4
)
Lần 4 “=” (được S
4
)
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u

=15786430 ; u
13
=69198729 ; S
13
=84985159
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
ĐÁP ÁN:
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI
Bài 1: a) u
3
= 42 ; u
4
= 104 ; u
5
= 250 ; u
6
= 604 ; u
7
= 1458
1b) gán: 2
→
A ; 20
→
B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B ấn liên tục dấu “=”
1c) u
22
= 850268156 ; u
23
= 1941675090 ; u
24

n
trong đó x
1
; x
2
là nghiệm pt: x
2
= 10x – 1 (*)
(*) có nghiệm: x
1
= 5 + 2
6
; x
2
= 5 - 2
6
thay vào u
n
ta tìm được c
1
= c
2
= 1
Vậy công thức tổng quát: u
n
= (5 + 2
6
)
n
+ (5 - 2

B ; 3
→
C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B :
C = B + 2A + 3C ấn liên tục dấu “=” được các số hạng tiếp theo của dãy
b) u
22
= 53147701 ; u
25
= 711474236 ; u
28
= 9524317645 ; u
30
= 53697038226
Bài 5: a) u
0
= 0 ; u
1
=
3
2
; u
2
= 4 ; u
3
= 21
3
1
b) Đặt a = 3 +
5
; b = 3 -

45618b45618a
nn
−−+−+
=
( ) ( )
( )
53
ba
4
53
53b53a
6
nnnn
+
−
−++
= 6u
n + 1
- 4u
n
vậy: u
n+2
= 6u
n + 1
- 4u
n

c) gán: 0
→
A ; 3/2

3
) = = … (được các số hạng của dãy tiếp theo)
B7a) : gán: 8
→
A ; 13
→
B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u
2
) = …
b) u
13
= 2584 ; u
17
= 17711
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 8: u
1
= 1 ; u
2
= 4 ; u
3
= 15; u
4
= 56; u
5
= 209; u
6
= 780; u
7
= 2911; u

3
= 16 ; u
4
= 45
b) Tương tự bài 5b ta lập được công thức truy hồi: u
n + 2
= 3u
n+1
– u
n
+ 2
c) gán: 0
→
A ; 1
→
B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 bấm “=” (u
2
) = …
Bài 10: a) gán: 0
→
A ; 14
→
B ; -18
→
C ghi A = 7B –6A : B = 7C – 6B :
C = 7A – 6C bấm “=” (u
4
) = (u
5
) …

= - 129009090 ; u
18
= 387682634 ; u
19
= -1161737178;
u
20
= 3487832978
10b) Công thức tổng quát có dạng: u
n
= C
1
x
1
n
+ C
2
x
2
n
+ C
3
x
3
n
(*)trong đó x
1
; x
2
; x

3
= 1
Vậy công thức tổng quát là: u
n
= 2
n
+ (-3)
n
+ 1
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: …
Bài 11: a) Tương tự bài 5b ta lập được: u
n + 2
= 10u
n+1
– 18u
n
với u
1
= 1; u
2
= 10
b) gán: 1
→
A ; 10
→
B ; ghi A = 10B -18A : B = 10A - 18B bấm “=” ( u
3
) = …
u
3

→
A ; 3
→
B ; ghi A = 3B -A : B = 3A - B bấm “=” ( u
2
) = …
u
2
= 7; u
3
= 18 ; u
4
= 47; u
5
= 123
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính điện tử
Bài 13: Gán u
1
= 1 vào A (lẻ); u
2
= 2 vào B (chẳn) ; S
2
= 3 vào C
Nhập: A = 5B + 3A : C = C + A : B = 3A + 5B - 1: C = C + B
Bấm liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u
3
)
Lần 2 “=” (được S
3
)

8
) ….
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán:
u
12
=11980248 ; S
12
=15786430 ; u
13
=69198729 ; S
13
=84985159
CHUYÊN ĐỀ VỀ HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5,2314 cm và AC = 6,3054 cm.
a) Tính BC và góc B, C
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6,251 cm và góc B = 56
0
.
a) Tính BC, AC và góc C.
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12,3215 cm và AC = 16,2014 cm.
Tính bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 4,2315 cm; AC = 5, 3641 cm và góc A = 65
0
.
a) Tính độ dài đường cao BK; CF của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.

0
49
’
12
”
và 45
0
39
’
so với phương song
song với mặt đất. Hãy tính gần đúng chiều cao đó.
Bài 8: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2006)
Cho tam giác ABC có các độ dài của các cạnh
AB = 4,71cm; BC = 6,62 cm và AC = 7,62cm.
a) Hãy tính gần đúng độ dài đường cao BH, đường trung tuyến BM và đoạn
phân giác trong BD của góc B
b) Tính gần đúng diện tích tam giác BHD.