UBNN thị x Uông bíã Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị x ã
Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008.
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29 / 01/ 2008
Bài 1:
a) Tìm số tự nhiên a sao cho
20078
2
++ aa
là số chính phơng.
b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết
tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài
kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10?

Bài 2:
a) Cho x =
3
3
1
2 1
2 1


. Tính giá trị của biểu thức P = x
3
+ 3x + 2008.
b) Cho
111
22
=+ xyyx

1.a
Biến đổi:
( ) ( )
Nb 1991420078
2
2
2
=++=++ baaa
( )( )
441991 ++= abab
(1)
0,25
( )
4++ ab
là ớc của 1991 (2)
0,25
có
484442007
2
++ abbb
(3)
0,25
Từ (1), (2), (3)
( )
( )






96
81
b
a
, Giải (II) đợc:



=
=
966
991
b
a
0,25
Vậy
991 ;81
21
== aa
thì
20078
2
++ aa
là số chính phơng
0,25
Bài
1.b
Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8, 9, 10 lần lợt là x, y, z
Ta có
( )

4y
2z-22y
42 =



<
=
=+

zy
0,5
Từ đó tính đợc
1,2,9 === zyx
Vậy học sinh đó đạt chín điểm 8, hai điểm 9 và một điểm 10.
0,25
Bài
2.a
Đặt
vu =

=
3
3
12
1
;12
. ta có:
( )
( )

Bài
2.b
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
(
)
1112
111211111
2222
22222222
=+
=++=+
xyxyxyyx
xyxyxyyxxyyx
0,5
Lại có:
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
222222
2
22
1121111 xyxyxyyxxyxy +=
( )( )
( )( )
011122
1121
222222
22222222
=++=

yx
BĐT cuối cùng đúng. Do đó:
yxyx +
+
411

1,0
Bài
3.b
Theo câu a:
yxyx +
+
411
dấu bằng khi
( )
yxyx == 0
2
. ta có
cba
cbacbacbacba
ba
baba
=+=
++







=> P, H, Q thuộc đờng tròn đờng kính
AM. Vậy 5 điểm A, P, H, M, Q cùng thuộc đờng tròn đờng kính AM .
1,25
b
xét đờng tròn đờng kính AM tâm O bán kính R. có
OQOPRHQPHQAHPAH ======
0
30
nên POQH là hình thoi
1,0
c
Tính đợc
3RPQ =
vậy
minmin
RPQ
lại có
AHAMR
=
2
vậy PQ
min
khi và
chỉ khi
HM

1,0
O
Q
P