Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

A. Đặt vấn đề.
1. lý do chọn đề tài.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc
làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc
hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán.
Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em
vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử
dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính
ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: Một số ứng
dụng của định lý Viét trong việc giải toán với mong muốn giúp cho học sinh
nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng,
năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh.
2. đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chỉ đa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý
Viét trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập
đến một số loại bài toán đó là:
a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số
để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra
b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một
ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn.
c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh.
d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình.
e) Định lý Viét với bài toán cực trị.
h
-1-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
B. nội dung.

điều kiện để có hai số u, v là: S
2
4P 0.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải
một số dạng toán.
h
-2-







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a
c
a
c


' = (m - 2)
2
- m(m - 3) = - m + 4
' 0 m 4.
Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình
có liên hệ:
x
1
+ x
2
=
m
m )2(2
; x
1
.x
2
=
m
m 3
Do đó: 1 =
2
2
2
1
xx

m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4
Vậy với m = 2 thì
2
2
2
1
xx
+
= 1
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để
phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài giải:

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
(1) ' = m
2
- 4m + 4 - m
2
- 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m <
6
7
(2) m
2
+ 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3
(3)
0).5)((
5.
2121
21
21
21
=+
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
Trờng hợp: x
1
+ x
2

phân biệt thoả
mãn
5
x
x
1
x
1
21
21
x+
=+
Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham
số).
a) Xác định m để các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn
x
1
+ 4x
2
= 3
b) Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2

2
21
21
21
mmm
m
xx
m
m
xx
m
m
xx
Từ (1) và (3) tính đợc:
m
m
x
m
m
x
3
85
;
3
2
12
+
=

=

+ 4x
2
= 3.
b) Theo hệ thức Viét:
x
1
+ x
2
= 2 +
m
2
x
1
+ x
2
= 1 -
m
4
(*)
Thay
m
2
= x
1
+ x
2
- 2 vào (*) đợc x
1
x
2

=++
mxx

02
0
2
0
=++
mxx
Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x
0
= m - 2
Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x
2
+ 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m 2 thì x
0
= 1 từ đó m = - 3
Với m = - 3: (1) là x
2
+ 2x 3 = 0; có nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 3
Và (2) là x
2
- 3x + 2 = 0; có nghiệp x
3
= 1 và x

2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 3:
a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm
chung. Tìm nghiệm chung đó?
x
2
- (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
- (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của ph-
ơng trình (2) và ngợc lại.
II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập ph-
ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai
một ẩn số:
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x
1
=
2
13 +
; x
2
=

2
=
2
13 +
.
31
1
+
=
2
1
x
1
+ x
2
=
2
13 +
+
31
1
+
=
3
Vậy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x
1
; x
2
là x
2

1
.x
2
= - 1
Gọi y
1
; y
2
là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có:
y
1
+ y
2
=
44
21
xx +
y
1
y
2
=
44
21
xx .
Ta có:
44
21
xx
+

2
- 727y + 1 = 0
Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x
2
+ px + q = 0 sao cho
hai nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn hệ:



=
=
35xx
5xx
3
2
3
1
21
Các giải:
Điều kiện = p
2
- 4q 0 (*) ta có:
x
1
+ x
2

2
221
2
1
2
25
xxxx

( )
( )
( )



=++
=+
35xx
5x4xxx
21
2121
2121
2
2
25
2
xxxx





1
1
1
x
x
+
1
2
2
x
x
=
4
7
2
2


k
k
Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x
2
+ mx + n = 0
Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n.
Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của phơng trình x

=
=+
2b.c
q -cb
Do đó: (b a)(b c) = b
2
+ ac - 3 (1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b
2
+ ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b
2
+ ac +3 6 = b
2
+ ac - 3 (2)
h
-8-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1); a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn



= (a+2)
2
- 4(a
2
+2a+1) 0
a(3a + 4) 0 -
3
4
a 0
Chứng minh tơng tự ta đợc: -
3
4
b 0; -
3
4
c 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x
2
+ px + 1 = 0.
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)
2
Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()
200
dới dạng thập phân, ta đợc
chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
iii. áp dụng định lý viét giải phơng trình và hệ phơng trình.

x
x
=6
Hớng dẫn:
ĐKXĐ: {xR x - 1}
Đặt:





+

+=
+

=
1
5
1
5
.
x
x
x
x
x
xu



.
x
x
x
x
x
xu

(*)













+

+






1
5
.
x
x
x
x
x
xu
x
x
x
x
x
xu






=
=+
6.
5


u
u
u, v là nghiệm của phơng trình: x

Phơng trình vô nghiệm:
Nếu:



=
=
3
2

u
thì (*) trở thành: x
2
- 3x + 2 = 0
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 2
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình:
h
-10-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
a)


Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ:





=
=+
12S.P
7PS
Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t
2
7t + 12 = 0.
Giải phơng trình này đợc t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
u
2
- 4u + 3 = 0
u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
v
2
3v + 4 = 0
Phơng trình này vô nghiệm vì = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:

1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình:
x
2
- (2m - 1)x + m 2 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: = 4m
2
- 4m + 1 - 4m + 8 = 4m
2
- 8m + 9 = 4(m - 1)
2
+ 5 > 0
Nên phơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= 2m - 1; x
1

+
4
11

4
11
Dấu = xảy ra khi m =
4
3
Vậy Min(x
1
2
+ x
2
2
) =
4
11
khi m =
4
3
Ví dụ 2: Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2

2
++ mm
Do đó: A =
2
78
2
++ mm

h
-12-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Ta có: m
2
+ 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7) 0.
Suy ra: A =
2
78
2
+ mm
=
2
)4(9
2
+ m

2
9
Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)
2

= 10 - 2xy
x
4
+ y
4
+ 2y
2
x
2
= 100 - 40xy + 4x
2
y
2
x
4
+ y
4
= 100 - 40xy + 2x
2
y
2
Đặt : xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 - 40t + 2t
2
Do đó A = 100 - 40t + 2t
2
+ t

210
hoặc x =
2
210
; y =
2
210 +
b) Tìm giá trị lớn nhất:
Ta có: 0 xy
2
2






+ yx
=
2
2
10









; 2t 5 t
3
+ 2t - 40
8
125
+ 5 - 40 < 0 còn t 0
nên A 101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình.
x
2
+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
- m + (m - 2)
2
= 0

ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi
hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết
một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo viên
cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu
sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú
trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần th-
ờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy
sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
Nghiên cứu đề tài ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán
không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp
cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Mặc dù đã rất cố gắng khi
thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và
h
-14-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng
nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Ngày 25 - 4 - 2006.h
-15-