TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • • KHOA TOÁN -—0O0-—
TRẦN THỊ HIỀN
LÝ THUYẾT PHỔ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG
HÀ NỘI - 2014
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn - tiến sĩ Bùi Kiên Cường,
thày đã tận tình chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận
này.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận,
em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và sự chỉ bảo của thày cô.
Qua đây cho em được bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ Giải
tích, khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thi Hiền
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “LÝ THUYẾT PHỔ ” em có sử dụng một số tài
liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa
vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận.
Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của bản thân
cùng vói sự hướng dẫn tận tình của thày giáo T.SBÙI KIÊN CƯỜNG cũng như các thầy cô
ttong tổ Giải tích. Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả khác.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả Trần Thi Hiền
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
2.1.
2.2. Ví dụ về phổ của toán tử Compact 30
KẾT LUẬN 35

6. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là một tài liệu tổng quan về lý thuyết phổ
của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Hilbert. Đe tài chủ yếu xây dựng hệ thống các ví dụ
minh họa những khái niệm của lý thuyết này.
6
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn. Không gian Hỉlbert
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ỊP - M hoặc p=c) cùng
với một ánh xạ từ X vào tập số thực M, kí hiệu
là ■ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) |jc >0, X = 0 X = ế? (M hiệu phần tử không là 0 );
2) (v*ex) (Va
a
3) (v.x,;yex) II*+ y
Số X gọi là chuẩn của véctơ X. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X . Các tiên đề 1),2),3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ :
Trên không gian vectorM*, có
+
(1.1)
;x = (x
v
x
2
, ,x
k
)e№.

ịx ị =Ậx, x )
Khi đó, Vx,_y e X , ta có bất đẳng thức Schwarz :
MI*
1.1.4. Không gian Hỉlbert
Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi H^0 gồm những phần tà X,Y,Z , nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
(1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
X
(2) H được trang bị một tích vô hướng ( v)(3) H là không gian Banach với
chuẩn X = ẬĨ~XJ,\/X G H.
Ví dụ:
•
Không gian R* là không gian vector thực K chiều.
Ta có R
K
cùng vói hệ thức (3) thỏa mãn hệ tiên đề về tích vô hướng.
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
= Ậ^xj = ịỵ/ĩ,Vx = ( x
1
,x
2
, .,x
k
)eM
k
Vậy không gian vector thực R* cùng với tích vô hướng (3) là một không
gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.4. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian
Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử X,Y &H gọi

1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn
1.2.2.1. TOÁN TỬ TUYỂN TÍNH BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Định nghĩa 1.2.2. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và y. Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng
số c > 0 sao cho:
AX <c X ,VxeX.
Y X
Định nghĩa 1.2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng
số c > 0 nhỏ nhất
(4) Cho phần tử X e H và dãy các phần tử ( y hội tụ tói y e H
1
hiệu là
r 9
* Tính chât của chuân của toán tử:
(1) (v*ex) ,
(2) (Vff>0)(3*
e
ex), (|| A||
Định lý 1.2.1. Định lý chuẩn của toán tử
Cho toán tử tuyến tính A, từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn thì:
Ax
1.2.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Định lý 1.2.2
(F.RỈesz). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H
đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng /(*)=(* , aJ,\ /xeH trong đó phần
tử aeH được xác định duy nhất bởi
phiếm hàm f và f = a .
Định lý 1.2.3. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L
> 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Toán tử liên họp B thường kí hiệu là Ẩ*.
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian
Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu: A* = A . Hay nói cách khác nếu
A là toán tử tự liên họp thì:
[Ax ,y) = (*, Ay}, Vx ,y e H.
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.5. Toán tử tuyển tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó là tự liên hợp khỉ và chỉ khi tích vổ hướng (Ax,jc) là số thực đối
với mọi XGH.
Định lý 1.2.6. Neu A là toán tử liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó, thì
A =sup(Ax,Jt).
H
=1
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm (X Ịcfí gọi là hôi tu
yếu tới điểm xeH, nếu với moi điểm y €H limíx ,y) = (jc,y).
n->00 \
n
/\ ỉ
Kí hiệu X —^
eu
> y.
Định lý 1.2.7. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm (X ) c= H hội tụ yểu khi và
chỉ khỉ dãy đó thỏa mãn các điều kiện:
1) Dãy điểm (x ) bị chặn theo chuẩn trong không gian H .
2) Dãy số (x = hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp
nơi trong không gian H.
Định nghĩa 1.2.7. Cho không gian Hilbert H. Tập T CZH gọi là tập compact
yếu trong không gian H, nếu mọi dãy YÔ hạn )
<=

nào đấy, thì Ầ
0
gọi là giá trị riêng của toán tử Ả, ;t
0
gọi là
vectơ riêng của toán tử A tương ứng vói giá trị riêng Ẫ
0
. Trong
trường hợp này hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược R
Ẳ
1
của toán TỬA
Ắ
=A-ẲI, do đó phương trình (1.4) không có nghiệm duy nhất.
Rõ ràng sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.4) phụ thuộc vào sự tồn tại
nghiệm của toán tử R
Ắ
. Toán tử R
Ằ
gọi là toán tử giải hay giải thức của toán
tử A.
Định nghĩa 1.3.1. số /teP gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của
toán tử A , nếu tồn tại toán tử R
X
xác định và bị chặn trên toàn không gian X .
số Ẳ gọi là giá trị phổ hay điểm phổ của toán tử A, nếu số Ẳ không là giá trị
chính quy của toán tửẤ.
Định nghĩa 1.3.2. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của
toán tử A.
Định nghĩa 1.3.3. Tập tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là PHỔ ĐIỂM

>
Định lý 1.3.5. Số Ả là giá trị chính quy của toán tử tự liên hợp A khỉ và
chỉ khi tồn tại hằng sổ dương a sao cho:
| ( A - / ư ) | > a X , Vx&H .
Hệ quả 1.3.1. Sơ Ẵ thuộc phổ của toán tử tự liên hợp khi và chỉ khỉ tồn tại
dãy (x )cz H, X =l(n = l,2, ) sao cho:
A , X
Ả n
Định lý 1.3.6. Mọi số phức Ẳ = a + bi với 0 đều là giá trị chính quy của
toán tử tự liên hợp A.
Đ ị n h l ý 1 . 3 . 7 . Phổ của toán tử tự liên hợp A tác dụng trong không gian
Hilbert H là khác rỗng.
Định lý 1.3.8. (Cấu trúc phổ của toán tử tự liên họp). Phổ của
toán tử tự liên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert H nằm trong đoạn
ịm,M~ịcủa trục thực, trong đó:
M = inf ỊAX,X^J,M = sup .
II
x
II
= 1
I
X
I = 1
1.3.3. Phổ của toán tử compact
Định lý 1.3.9. Giả sử H là không gian Hilbert và Ae là toán tử liên hợp
compact khác không thì phổ của toán tử A là không rỗng và tồn tại một giá
trị riêng Ằ của A sao cho Ằ = A .
Định lý 1.3.10. Giả sử rằng T G B( H ) là compact, và chọn Ằ^o. N eu
T
Ằ

Khi đó với AgR , như chứng minh trên Q~
L
được xác định bởi:
Vì điểm kì dị tại X — Ă, toán tử ngược <2/ không được xác định trên toàn bộ
không gian Ứ (m) . Tuy nhiên có thể nhận thấy rằng không gian
con u = Ị/ gL
2
(r|3£> 0,Vjee[/t -€,Ẫ + €~ị = của là
trù mật trong Ứ (m).
Từ đó ta kết luận được rằng <2/được xác định trên toàn bộ không gian
Vì vậy từ u gữỊổ;
1
] suy ra <2/được xác định trù mật và không bị chặn, do đó Ẳ
€ Ơ ỊÒ) VA el.
Do các tập phổ là rời nhau nên = c \ R, Ơ (<2) = 0, cr (ổ) =R,
<7,(G)=0.
Ví du 2.1.2 Trong không gian Hilbert H, cho {E ) là một cơ sở trực chuẩn, xét
toán tử
Xác định T vàcr(r).
Bài giải:
T được gọi là toán tử dịch chuyển
Phân tích T
Ẵ
-T-ẲI suy ra
2
\k=1 y
+00 +00
J'f
i
k

=0 và A
K Ỉ
= ẰA
K
=
0 suy ra Jt = 0 và T
0
=T là đơn ánh, do
vậy với Ă = 0 không phải là giá trị
riêng.
2) Nếu Ầ^O ứiì
= 0
a
í

-
~
a
í
-
ì

*

Ằ
T
X
X = T
X
a

K
E
K
G //.
* = 1
Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình-
Y, biến đổi tiếp phương trình trên ta
được
__b
L
1 Ẵ
- I _ Ỉ I ,
Từ đó ta có: X , —
2 Ẵ Ẳ
Chon y = E
Ì
ta đươc: X = ,X - =
—\R
1 1
Ả
2
Ầ
2
(
4 0 0
ì 2 + 0 0 2
+ 0 0
T
X
2

k
Suy
k >
Tập cr(r) là tập đóng, vì vậy ta có ơ ị r )
n =
0
•
Suy ra <r(r) = j ẲEC Ẵ <l| và
= | ẮeC /l >l|.
Ví du 2.1.3
Trong z
2
xét toán tử
(*
1 5
*
2
,*
3
)i->
,ụx
ỉ
+x
2
))Ậx
ỉ
+x
2
+x
ĩ

X
1
-
0
Khi
' 4"
class="bi x3d y189 w31 h2e"
Do đó T bị
chặn
1 ,
N
<^x
ì
+ x „ + +
X =2"
l
y
X =2
n
~
ỉ
y -2
n
~
z
y
„VneN.
n
* n
* n — 1