TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ NGA
XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN
CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG
DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Ở THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S DƢƠNG THỊ HÀ
HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô
giáo trong tổ phương pháp giảng dạy, cùng sự đóng góp ý kiến của các


Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Nga
MỤC LỤC
A. Mở đầu 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
B. Nội dung 3
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 3
1.1. Cơ sở lí luận 3
1.1.1. Nguyên lí giáo dục trong dạy học toán 3
1.1.1.1. Nội dung nguyên lí 3
1.1.1.2. Phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục trong môn
toán 6
1.1.2. Quan điểm đổi mới môn toán trong nhà trường phổ thông 8
1.1.2.1. Tăng cường một số yếu tố của giải tích toán học 8
1.1.2.2. Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng
toán học 9
1.1.2.3. Sử dụng hợp lí ngôn ngữ tập hợp và logic toán học 11
1.2. Cơ sở thực tiễn 12
1.2.1. Thực trạng liên hệ kiến thức môn toán với thục tiễn góp
phân hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn toán ở

2.4.3 Bài tập luyện tập 40
2.5. Chủ đề đạo hàm 42
2.5.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm 42
2.5.2. Ví dụ 43
2.5.3. Bài tập luyện tập 45
2.6. Kết luận chương 2 47
KẾT LUẬN CHUNG 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
1
A. MỞ ĐẦU

1. L í do chọn đề tài
Lịch sử của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài người,
những khái niệm được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực
tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và nhu cầu khám phá của con người. Một số khái
niệm được đưa ra như một cầu nối hay là công cụ tính toán vô cùng quan
trọng trong thực tiễn.
Người xưa đã từng nói: “học phải đi đôi với hành”, “học rộng điều
gì không bằng biết phần cốt yếu của điều ấy, biết phần cốt yếu của điều
ấy không bằng thực hành điều ấy – Chu Hy”.
Sự vận dụng vừa là mục đích vừa cần thiết trên các phương diện
đối với người học. Những gì toán học được áp dụng ngày nay rất phổ
biến trong cuộc sống hàng ngày đặc biệt là mối liên hệ giữa toán học và
thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình
thành tri thức toán học cho học sinh. Học sinh cần được bồi dưỡng năng
lực toán học hóa trong các tình huống thực tiễn, sử dụng các kiến thức đã
học ứng dụng vào thực tiễn. Qua nghiên cứu chương trình sách giáo
khoa, bản thân tôi nhận thấy có một số bài toán liên quan đến việc ứng
dụng trong thực tiễn và tôi muốn cung cấp thêm một số bài toán cũng có
nội dung ứng dụng trong thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
3
B. NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Nguyên lí giáo dục trong dạy học Toán
1.1.1.1.Nội dung nguyên lí
Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải
xây dựng số phần tử của tập hợp. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có
thể đếm trực tiếp số phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số
phần tử của một tập hợp là rất lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi
hoặc phải tính toán xem khả năng này có xảy ra hay không? Ngoài ra cần
phải biết tách những vật đã được đếm ra khỏi những vật khác, phân biệt
chúng với nhau, loại ra tất cả các tính chất khác của vật và phải biết
thành lập sự tương ứng một giữa nhiều phần tử của các nhóm đồ vật
khác nhau. Nhưng những khả năng này không phải do bẩm sinh và
không phải tự nó thấm vào nhận thức của con người, nó là sản phẩm của
sự phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy con người, xuất phát từ hoạt
động thực tiễn của họ.
Ăng-ghen đã chỉ ra rằng những khái niệm toán học ban đầu – khái
niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học được con người trừu tượng
hoá từ trong thế giới hiện thực do những nhu cầu thực tiễn của con
người, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con người, do tư duy
thuần tuý. Những ngón tay, ngón chân, những hón đá nhỏ, nhờ đó người
ta học đếm, những đối tượng có hình dạng khác nhau mà người ta so

axy 
có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện
tích của một tam giác với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước
5
cạnh đó, giữa quãng đường đi được với thời gian chuyển động đều khi
cho trước vận tốc, giữa hiệu điện thế với cường độ dòng điện khi cho
trước điện trở
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính toàn bộ. Muốn thấy
rõ ứng dụng của Toán học nhiều khi không thể xét từng khái niệm, từng
định lí riêng lẻ mà phải xem xét toàn bộ một lí thuyết, toàn bộ một lĩnh
vực.
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính nhiều tầng. Như ta
đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những
bình diện khác nhau: có những khái niệm Toán học là kết quả của sự
trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau, có những khái
niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật
chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu tượng
hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Do vậy, từ Toán học tới
thực tế nhiều khi phải trải qua nhiều tầng. Ứng dụng của một lĩnh vực
Toán học được thể hiện có khi không trực tiếp ở ngay trong thực tế mà ở
một lĩnh vực khác gần thực tế. Giải phương trình là một lĩnh vực gần
thực tế, ứng dụng của nó đã được thấy rõ ràng. Khảo sát hàm số có khi
giúp ta giải phương trình, như vậy, khảo sát hàm số cũng là có ứng dụng
thực tế.
“Toán học luôn đồng hành với mọi lĩnh vực của đời sống. Khi
chúng ta có được niềm đam mê, tình yêu với toán học thì dạy hay học
đều tốt hơn”, “Trước những băn khoăn về việc làm thế nào để vượt qua
cái khô khan của Toán học cũng như vai trò của nó trong đời sống con
người. Rõ ràng toán học không hề khô khan mà luôn đồng hành, gần gũi
với mọi lĩnh vực của đời sống, ngay cả những lĩnh vực không liên quan

khoa học, công nghệ, của các ngành kinh tế quốc dân,… đã thực sự thừa
nhận như một chìa khóa của sự phát triển. Muốn nắm được công cụ,
không thể bằng cách nào khác ngoài sự tập luyện, vận dụng thường
xuyên những phương pháp thích hợp.
Chúng ta cần dạy theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững tri
thức, kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy, chúng ta
cần tổ chức cho học sinh học Toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, được thực hiện độc lập hay trong
giao lưu.
Dạy Toán trong hoạt động và bằng hoạt động của học sinh góp
phần thực hiện nguyên lí “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. Thật vậy, thực hiện hoạt
động cũng là “hành” theo nghĩa rộng và là một điều kiện để lao động sản
xuất và hoạt động xã hội.
Cách dạy như trên xuất phát từ quan điểm cho rằng con người phát
triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Tinh thần cơ
bản của cách làm này là xuất phát từ một nội dung dạy học toán, ta xác
định những hoạt động liên hệ với nó, phân tách chúng thành những hoạt
động thành phần rồi căn cứ vào mục tiêu dạy học mà lựa chọn ra một số
hoạt động và hoạt động thành phần thích hợp, dựa vào đó tổ chức cho
học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động này với tư cách là chủ
thể được gợi động cơ, được hướng đích, có ý thức về phương pháp hoạt
động và trải nghiệm thành công.
Cần đặc biệt chú ý tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri
thức, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo, phát triển những phương thức tư
duy và hoạt động cần thiết và thường dùng trong thực tiễn như tri thức
8
về vectơ, tọa độ, kỹ năng và kỹ xảo tính toán, tư duy thuật giải, tư duy
thống kê…
- Tăng cường vận dụng và thực hành Toán học

tạo tiền đề cho các ứng dụng ngoài Toán học. Đồng thời làm rõ tính
nhiều tầng của mối quan hệ nhờ đó học sinh nắm được mạch tri thức
Toán. Muốn vậy, trong dạy học giáo viên nên chú ý đến các ứng dụng
của giải tích trong các phân môn khác của Toán học .
Những yếu tố giải tích có nhiều ứng dụng rộng rãi trong Toán học,
trong khoa học công nghệ và trong đời sống thực tiễn. Những yếu tố này
lại còn có tác dụng tinh giản việc trình bày nhiều nội dung Toán học phổ
thông. Chẳng hạn tích phân làm cho việc chứng minh nhiều công thức
tính thể tích trở thành ngắn gọn.
Ngoài đạo hàm từ lâu đã là một nội dung truyền thống của nhà
trường phổ thông Việt Nam, trong chương trình hiện nay còn có cả
nguyên hàm và tích phân. Dựa vào đó, ta đã bỏ cách chứng minh dài
dòng của nhiều công thức tính thể tích, thay bằng cách chứng minh ngắn
gọn có sử dụng tích phân, làm rõ hiệu lực của các yếu tố giải tích.
Nguyên hàm và tích phân có mặt trong chương trình phổ thông chỉ
với tư cách là những kiến thức thực hành, là công cụ tính toán để sử
dụng trong hình học, vật lí và kĩ thuật.
1.1.2.2. Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán
học
Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học
là góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành,
nhà trường gắn liền với đời sống.
10
Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá
chặt chẽ về lí thuyết. Ở bậc phổ thông học sinh cần phải được cung cấp
những kiến thức cần thiết cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt
các môn học. Khi học đến phần thống kê, học sinh nắm bắt được kiến
thức và ứng dụng đối với cuộc sống. Cần làm cho học sinh biết ứng dụng
những tri thức và phương pháp toán học và những môn học trong nhà
trường, chẳng hạn vận dụng vectơ để biểu thị lực, vận dụng tính gần

hành tính toán được lưu ý suốt chương trình sao cho hình thành được ý
thức và kỹ năng tính trên số nhanh, đúng, theo quy tắc tính gần đúng,
không dụng cụ và có dụng cụ: bảng số, máy tính bỏ túi,… kỹ năng đo và
vẽ đồ thị, biểu đồ.
Tóm lại tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng toán thực tế
cho học sinh có ý thức và khả năng vận dụng toán học là mục tiêu xuyên
suốt, một nhiệm vụ quan trọng, một khâu cơ bản trong quá trình dạy học
toán ở trường phổ thông. Nó phản ánh được tinh thần đổi mới nội dung
và PPDH phù hợp với xu thế chung của giáo dục toán học trên thế giới.
1.1.2.3. Sử dụng hợp lí ngôn ngữ tập hợp và logic toán
Toán học hiện đại được xây dựng trên nền tảng của lí thuyết tập
hợp và logic toán. Lí thuyết tập hợp và logic toán còn giúp cho việc trình
bày các tri thức toán học ở trường phổ thông được chính xác, rõ ràng và
nhất quán hơn.
Ở nước ta, người ta không đưa lí thuyết tập hợp và logic toán vào
nhà trường với tư cách là nền tảng của giáo trình Toán phổ thông. Chẳng
hạn, “hai tam giác bằng nhau” không phải là hai tập hợp điểm bằng nhau
theo nghĩa của quan hệ bằng nhau trong lí thuyết tập hợp. Tinh thần của
12
chương trình là khai thác phương diện ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và
logic toán để người học có khả năng hiểu và sử dụng những thuật ngữ
thông dụng về tập hợp và logic toán: phần tử, tập con, tập rỗng, giao,
hợp, bù, phủ định, kéo theo, tương đương,…
1.2.Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Thực trạng liên hệ kiến thức môn Toán với thực hiện trong dạy
học Toán ở các trường phổ thông của nước ta
Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học nói chung và trong
dạy học bộ môn Toán nói riêng ở trường phổ thông luôn được coi là một
vấn đề quan trọng, cần thiết. Để nhận xét có căn cứ, có cơ sở và thể hiện
tính cụ thể, trước hết chúng ta điểm qua những ứng dụng Toán học. Vấn

hầu như các ứng dụng Toán học vào thực tiễn đều không được đề cập
đến.
+ Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường phổ thông, học sinh cũng
ít được rèn luyện các bài toán có nội dung thực tiễn.
Trong chương trình và SGK Toán hiện hành, nhất là trong chương
trình đại số và Giải Tích THPT, có nhiều chủ đề có nhiều lợi thế trong
việc lồng ghép những bài toán mang màu sắc thực tế chẳng hạn phương
trình, hệ phương trình, cấp số cộng, cấp số nhân, tích phân,… Những
chủ đề có lợi thế này có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện cho
học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Cụ thể:
1) Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao:
- Chương 1: các ví dụ hầu như đều có nội dung ứng dụng trong
thực tiễn, có 9 bài tập.
14
- Chương 2: có 5 bài tập.
- Chương 3: có 3 bài tập.
- Chương 4: có 1 ví dụ và 5 bài tập.
- Chương 5: hầu hết các ví dụ và bài toán ở chương này đều có nội
dung ứng dụng thưc tiễn.
- Chương 6: có 2 bài.
2) Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao:
- Chương 1: 2 bài đọc thêm, mục em có biết, 1 bài toán mở đầu ở
§2,có 5 bài tập.
- Chương 2: hầu hết các ví dụ và bài tập về xác suất thống kê đều
có nội dung ứng dụng thực tiễn.
- Chương 3: bài đọc thêm, 1 ví dụ, 1 hoạt động, 1 bài toán mở đầu
ở §4, 2 bài tập.
- Chương 4: có 1 bài.
- Chương 5: 1 ví dụ mở đầu ở §1, 6 bài tập.
3) Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 nâng cao:

trường phổ thông nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng
yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều
kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.
Hiện nay, thế giới đã bước vào kỉ nguyên kinh tế tri thức và toàn
cầu hóa cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc
biệt là lĩnh vực công nghệ kĩ thuật cao. Còn nước ta, vào tháng 4 năm
2006, diễn ra Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ 10; ngày 07 tháng 11 năm
2006 Việt Nam trở thành thành viên chính thức của Tổ chức Thương mại
Thế giới (WTO) và ngày 17 tháng 11 năm 2006 khai mạc Diễn đàn Hợp
16
tác. Để theo kịp với những chuyển biến to lớn trên về tình hình kinh tế
và chính trị xã hội của nước ta cũng như trên thế giới trong giai đoạn này
– một giai đoạn mà cạnh tranh quốc tế là cạnh tranh về con người. Nền
giáo dục phải có sứ mệnh làm sao đào tạo ra những thế hệ con người
Việt Nam có đủ sức mạnh trí tuệ và nhân cách để đưa nước ta hội nhập
thành công và cạnh tranh thắng lợi trong môi trường toàn cầu. Muốn
vậy, nền giáo dục cũng phải có những thay đổi về mục tiêu, nhiệm vụ và
phương pháp dạy học. Trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của
Đảng, một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề
ra là: “Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện và học theo hướng
“chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa”. Phát huy trí sáng tạo, khả năng
vận dụng, thực hành của người học. Đề cao trách nhiệm của gia đình,
nhà trường và xã hội” .
Mục đích của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn:
- Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện một số tri
thức và kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh.
- Tăng cường liên hệ với thực tiễn giúp hình thành và phát triển
thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh.
- Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện và phát triển
các năng lực trí tuệ.

đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ)
đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những
điều kiện vững chắc như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong
việc nắm vững một cách sáng tạo với tư cách là một môn học, đặc biệt
18
nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”.
Năng lực toán học có liên quan trực tiếp đến những đặc điểm tâm
lí các nhân mà trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ. Những
điều kiện tâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạt
động, chẳng hạn như: khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến
thức kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học. Việc rèn luyện cho học
sinh y thức liên hệ với thực tiễn mà đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toán
học vào giải quyết một số thành tố trong cấu trúc năng lực toán học cho
học sinh. Điều này có nghĩa là, giải những bài toán thực tiễn sẽ tạo điều
kiện cho học sinh khái quát dễ dàng hơn, góp phần phát triển năng lực
này. Qua đó ta thấy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến
thức Toán học vào thực tiễn là một yếu tố quan trọng trong việc phát
triển năng lực Toán học ở học sinh.
Tóm lại: Khai thác các bài toán có ứng dụng trong thực tế sẽ làm
đậm nét hơn những ứng dụng còn ẩn tàng, còn mờ nhạt của những nội
dung toán học truyền thống vốn đã có trong chương trình và SGK. Một
trong những biện pháp thích hợp trong điều kiện nay là lựa chọn, xây
dựng một hệ thống các bài tập có nội dung liên môn hoặc gắn với thực
tế, gần gũi và quen thuộc trong sản xuất, đời sống, đưa vào bài giảng ở
những thời điểm thích hợp trong quá trình dạy toán.
1.3. Kết luận chƣơng 1
Lý luận và thực tiễn trong hoạt động dạy học toán cần kết hợp các
phương pháp giáo dục nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư
duy sáng tạo của người học. Cần bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê