Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Mục lục
1 Mở đầu 3
1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Phạm vi của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Điểm mới của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Một số kiến thức lý thyết 5
2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp . . . . . . . 5
2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Định lí cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . 8
2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.5 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.6 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . 12
3 Các bài toán 13
3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước . . 13
3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước . . . . . . 13
3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng
góc cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sử
dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán. Đây còn là một tài liệu tham khảo
cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân
chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.
1.3 Phạm vi của đề tài
Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp
toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ở
cấp 2 như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình
vuông, định lý Thales, tiếp tuyến của đường tròn, góc nội tiếp,
3
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
1.4 Điểm mới của đề tài
Chúng ta thường thấy bài toán toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi đại học các năm
trước, các để thi thử đại học của các trường. Tuy nhiên đó là các bài toán riêng lẻ trong một
đề thi tổng hợp. Tài liệu hệ thống hoá các dạng bài, các phương pháp giải rất hiếm. Điểm
mới của chuyên đề là cố gắng phân loại (chỉ tương đối) các bài toán. Một điểm mới nữa là
trước khi giải bài toán, chúng tôi phân tích các tính chất hình học để định hướng việc tìm
lời giải. Việc này theo chúng tôi nghĩ là cần thiết, việc phân tích này sẽ giúp cho học sinh
biết tại sao ta lại giải như vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng từng loại giả thiết về tính chất
hình học khi giải bài toán khác.
4
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Chương 2
Một số kiến thức lý thyết
Phần này nhắc lại cho học sinh một số kiến thức lí thuyết hình phẳng ở cấp 2 và kiến thức
phương pháp phương pháp toạ độ trong mặt phẳng hình học lớp 10.
2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn
2.1.1 Định lý Thales
A
B

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
B
C
A
M
N
P
G
• Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng qua đỉnh và trung điểm của cạnh
đối diện.
• Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
• Cho tam giác ABC có tr ung tuyến AM và trọng tâm G thì
−→
AG =
2
3
−→
AM
2. Trực tâm:
B
C
A
H
• Đường cao của tam giác là đường thẳng qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối
diện.
• Giao điểm 3 đường cao gọi là trực tâm của tam giác.
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp:
B
C
A

2
.
• Nếu gọi K là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC thì khoảng
cách từ K đến 3 cạnh của tam giác bằng nhau. Khi đó K là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3
cạnh của tam giác đó.
2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
B
C
A
H
• Định lí Pitago:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
• Nếu biết 2 cạnh góc vuông thì có thể tính được đường cao AH bởi công thức:
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC

Hoán vị 3 đỉnh A,B,C ta có công thức cho các góc còn lại.
2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến
B
C
A
M
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, ta có:
AM
2
=
2.AB
2
+ 2.AC
2
−BC
2
4
2.1.6 Định lí sin
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, ta có
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
= 2R
Trong đó a = BC,b = CA,c = AB. Tỉ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2 lần bán kính
đường tròn ngoại tiếp.

; a
2
) và
−→
b = (b
1
; b
2
.
−→
a =
−→
b ⇔

a
1
= b
1
a
2
= b
2
2. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng:
• Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng là hai đường thẳng song song
hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ
−→
a và
−→
b (với

;
y
A
+ y
B
2

4. Trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
), C(x
C
; y
C
). Trung
tâm của tam giác ABC là
G

x
A
+ x
B
+ x
C
3

−→
b . Khi đó góc

AOB gọi là góc giữa hai vectơ
−→
a và
−→
b kí hiệu là

−→
a ;
−→
b

.
Nhận xét 0
◦
≤

−→
a ;
−→
b

≤ 180
◦
.
2. Định nghĩa tích vô hướng:
−→
a .

1
; a
2
),
−→
b = (b
1
; b
2
). Tích vô hướng của
−→
a và
−→
b được tính bởi
−→
a .
−→
b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
4. Độ dài của vectơ
−→
a = (a
1
; a

B
−x
A
; y
B
−y
A
)
• Độ dài đoạn thẳng AB là
AB =



−→
AB



=

(x
B
−x
A
)
2
+ (y
B
−y
A

qua điểm M(x
0
; y
0
), có một vectơ pháp tuyến
−→
n = (A; B) =
−→
0 là
10
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A(x −x
0
) + B(y −y
0
) = 0
Chú ý: Vectơ chỉ phương
−→
u và vectơ pháp tuyến
−→
n của cùng một đường thẳng vuông
góc nhau, khi đó
−→
u .
−→
n = 0. Nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
−→
u = (a; b)
thì nó có một vectơ pháp tuyến là
−→

1
; v
2
) được tính bởi
công thức
cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v


−→
u


.


−→
v


=
u
1

−→
AB và
−→
AC.
cos A = cos

−→
AB;
−→
AC

=
−→
AB.
−→
AC



−→
AB



.



−→
AC

2
= 0 có vectơ
pháp tuyến lần lượt là
−→
n
1
= (A
1
; B
1
),
−→
n
2
= (A
2
; B
2
). Khi đó góc α tạo bởi ∆
1
và
∆
2
được tính bởi công thức
cos α =


−→
n
1

|

A
2
1
+ B
2
1
.

A
2
2
+ B
2
2
11
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
2.2.6 Phương trình đường tròn
• Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là
x −a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
• Phương trình đường tròn còn có dạng
x
2
+ y

Chương 3
Các bài toán
3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng
Trước khi giải quyết bài toán cụ thể liên quan đến việc sử dụng định lý Thales ta tìm hiểu 2
kĩ thuật tìm toạ độ điểm sau đây.
3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước
A
BM
Cho trước 2 điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) phân biệt và số k = 1. Nếu M là điểm trên đường
thẳng AB thoả
−→
MA = k
−→
MB thì ta có thể tìm được toạ độ điểm M . Thật vậy, giả sử M(x
M
; y
M
).
−→
MA = k
−→
MB ⇔

−k.x
B
1 −k
y
M
=
y
A
−k.y
B
1 −k
3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước
Tổng quát hoá kĩ thuật ở trên ta có kĩ thuật “tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
cho trước”. Nếu trong đẳng thức vectơ cho trước chỉ còn duy nhất một điểm M chưa biết
toạ độ (các điểm khác có mặt trong đẳng thức này đã biết toạ độ) thì ta có thể tìm được toạ
độ điểm M.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có
M(3;−1) là trung điểm AB. Trọng tâm các tam giác ABC và ABD lần lượt là G(2; 1) và
H(4; 0). Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành.
A B
C
D
H(4; 0)
M(3;−1)
G(2; 1)
Phân tích. Có toạ độ các điểm M,G, điểm C thuộc đường thẳng MG, đã biết tỉ số
MG
MC
=
1

−3 = 3(2 −3)
y
C
+ 1 = 3(1 + 1)
⇔

x
C
= 0
y
C
= 5
Suy ra C(0; 5).
Tương tự, gọi D(x
D
; y
D
). Vì H là trọng tâm tam giác ABD nên
−−→
MD = 3
−−→
MH. Do đó

x
D
−3 = 3(4 −3)
y
D
+ 1 = 3(0 + 1)
⇔

. Suy ra
−→
MB =
3
2
−→
HG. Gọi
B(x
B
; y
B
) ta có

x
B
−3 =
3
2
(2 −4)
y
B
+ 1 =
3
2
(1 −0)
⇔

x
B
= 0

; 3)
E
F
Phân tích. Ta sẽ sử dụng những đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cho sẵn toạ độ là
M,H,G để tìm dần dần toạ độ những điểm khác. Gọi E là giao điểm của MH với BC thì
có thể chứng minh được M là tr ung điểm của EH. Từ đó tìm được toạ độ E. Gọi F là giao
điểm của GH và BC thì có thể tính được tỉ số
FG
FH
. Từ đó có thể tìm được toạ độ của F. Ta
14
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
viết được phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm đã tìm được toạ độ là E và F. Điểm
B là hình chiếu vuông góc của H lên BC nên tìm được toạ độ của B. Muốn tìm toạ độ D
phải tìm toạ độ của I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. Muốn tìm I thì cần
tìm A mà M là trung điểm của AB nên có thể tìm được A.
Lời giải. Gọi E là giao điểm của MH và BC. Xét MAH và MBE có: MA = MB;

AMH =

BME (đối đỉnh);

MAH =

MBE (so le trong). Suy ra MAH = MBE (góc -
cạnh - góc). Suy ra MH = M E hay M là trung điểm HE. Từ đó ta có E(−6; 1).
Gọi F là giao điểm của GH và BC. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC =
2
3
CI. Mà

3
= 2(x
F
−
4
3
)
4 = 2(y
F
−3)
⇔

x
F
= 2
y
F
= 5
Suy ra F(2;5).
Đường thẳng BC qua E(−6; 1) có vectơ chỉ phương
−→
EF = (8; 4) nên có vectơ pháp tuyến
(1; −2). Phương trình của BC là BC : x −2y + 8 = 0. Đường thẳng d qua H vuông góc với
BC có phương trình d : 2x + y + 1 = 0. B(x; y) là giao điểm của BC và d nên ta có hệ

x −2y + 8 = 0
2x + y + 1 = 0
⇔

x = −2

)
y
I
−3 =
1
4
.(−6)
⇔

x
I
= 0
y
I
=
3
2
Suy ra I(0;
3
2
). Vì I là trung điểm BD nên tìm được D(2; 0). Vậy B(−2; 3) và D(2; 0). 
3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác
Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thông thường là sử dụng 2 góc bằng nhau. Cách này
thường thu được những phương tr ình phức tạp, giải được nhiều nghiệm và phải tìm cách
loại nghiệm. Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng như sau:
15
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
M
N

−→
AG = 2
−−→
GM tìm được M. Vì G là trọng
tâm tam giác ABC, áp dụng công thức toạ độ trọng tâm ta tìm được toạ độ điểm C.
Lời giải.
−→
BG = (5;0). Gọi N(x
N
; y
N
) là trung điểm AC. Vì
−→
BG = 2
−→
GN nên

5 = 2(x
N
−1)
0 = 2(y
N
−1)
⇔

x
N
=
7
2

EN = (
5
2
; 7) làm vectơ chỉ phương, hay có một vectơ pháp tuyến là
−→
n = (14; −5). Từ
đó phương trình AC là AC : 14x −5y −44 = 0. Vì A là giao điểm của d : x −y −1 = 0
và AC : 14x −5y −44 = 0 nên tìm được A(
39
9
;
30
9
). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
C(x
C
; y
C
) thoả

39
9
−4 + x
C
= 3
30
9
+ 1 + y
C
= 3

C
D(5; 3)
H(
17
5
; −
1
5
)
N
M(0;1)
K
Phân tích. Đường thẳng AH qua H và vuông góc với HD nên ta viết được phương trình
AH. Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên M A = MH. Kết
hợp A thuộc đường thẳng DH và MA = MH tìm được toạ độ điểm A. Ta viết được phương
tr ình đường phân giác AD. Gọi N là điểm đối xứng với M qua phân giác AD thì ta tìm được
toạ độ N. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua 2 điểm A và N. Đường thẳng BC
qua hai điểm D và H nên viết được phương trình BC. Vì C là giao điểm của hai đường thẳng
AC và BC nên tìm được toạ độ của C.
Lời giải. Dành cho độc giả.
3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một
đường thẳng góc cho sẵn
Bài 5. Cho đường thẳng d : 3x −2y+1 = 0 và điểm A(2;4). Viết phương trình đường thẳng
∆ biết ∆ đi qua A và tạo với d một góc 45
◦
.
17
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
d

⇔
√
2|3a −2b| =

13(a
2
+ b
2
)
⇔2(9a
2
−12ab + 4b
2
) = 13(a
2
+ b
2
)
⇔5a
2
−24ab −5b
2
= 0 (2)
Nếu b = 0 thì a = 0 khi đó
−→
n = (0; 0) không thể là vectơ pháp tuyến. Do đó b = 0. Chia 2
vế của phương trình (2) cho b
2
ta được
5

= −
1
5
hay a = −
1
5
b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là
−
1
5
bx + by +
2
5
b −4b = 0
⇔−x + 5y −18 = 0
Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là 5x + y −14 = 0 hoặc −x + 5y −18 = 0. 
18
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn
3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm
đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng
CD, biết rằng M(1; 2), N(2; −1). (Đề thi đại học khối A năm 2014).
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc có
sẵn.
A
B
C
D
M(1;2)

hướng nên ta có
−−→
ME =
4
3
−−→
MN. Gọi E(x
E
; y
E
) ta có:

x
E
−1 =
4
3
(2 −1)
y
E
−2 =
4
3
(−1 −2)
⇔

x
E
=
7

r
2
. Tam giác FCE vuông tại C nên EF =
√
FC
2
+ EC
2
=
r
√
10
6
.
Đặt α =

FEC thì cos α =
EC
EF
=
1
√
10
.
Gọi
−→
n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD (với a
2
+ b
2

10.
√
a
2
+ b
2
⇔|3a + b| =

a
2
+ b
2
⇔9a
2
+ 6ab + b
2
= a
2
+ b
2
⇔8a
2
+ 6ab = 0
⇔

a = 0
a = −
3b
4
• Trường hợp a = 0 thì b = 0 thế vào (1) ta có phương trình của C D là

là M và N, nghĩa là tính IM và IM. Sau đó đặt ẩn cho toạ độ điểm I đi giải hệ phương trình.
Tuy nhiên, cần biết cạnh của hình vuông thì mới tính được IM và IN. Việc tính cạnh của
hình vuông buộc phải dùng đến độ dài cho sẵn MN. Ta sẽ đưa đoạn MN vào một tam giác
nào đó rồi áp dụng định lý cosin để tính cạnh hình vuông. Tam giác được chọn là IMN
(hoặc AMN đều được).
Lời giải. Gọi I là tr ung điểm CD. Ta có MN =
√
10. Đặt cạnh hình vuông là r. Tam giác
IMN có IM = r, IN =
1
4
BD =
r
√
2
4
,

MIN = 45
◦
. Áp dụng định lý cosin trong tam giác
IMN ta có
MN
2
= IM
2
+ IN
2
−2.IM.IN.cos45
◦

IM
2
= 16
IN
2
= 2
⇔

(x
0
−1)
2
+ (y
0
−2)
2
= 16
(x
0
−2)
2
+ (y
0
+ 1)
2
= 2
⇔

x
2

−4y
0
= 11
2x
0
−6y
0
= 14
⇔

(7 + 3y
0
)
2
+ y
2
0
−2(7 + 3y
0
) −4y
0
= 11
x
0
= 7 + 3y
0
⇔

10y
2

= −
6
5
• Trường hợp x
0
= 1; y
0
= −2 ta có I(1; −2) và
−→
IM = (0; 4). Đường thẳng CD qua I
nhận
−→
IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình y + 2 = 0.
• Trường hợp x
0
=
17
5
; y
0
= −
6
5
ta có I(
17
5
; −
6
5
) và

cần tìm thêm toạ độ một điểm nào đó (khác D) trên đường thẳng BC. Để sử dụng giả thiết
đề cho phương trình hai đường thẳng AB và d thì ta nên tìm điểm B hoặc giao điểm E của
d với BC; không nên tìm toạ độ điểm C vì không có thêm giả thiết gì liên quan đến C.
Còn giả thiết D(1; −1) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC chưa
được dùng. Khi sử dụng tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung kết hợp với giả
thiết phân giác ta có thể chứng minh được tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc đường
trung trực ∆ của AD. Vì viết được phương trình của ∆ nên tìm được E chính là giao điểm
của d và ∆. Vậy BC là đường thẳng đi qua hai điểm D và E.
Lời giải. Đặt d : x + 2y −7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x + 2y −9 = 0 và d nên A(x; y) thoả mãn:

x + 2y −7 = 0
3x + 2y −9 = 0
⇔

x = 1
y = 3
Suy ra A(1; 3).
Ta có

EAB =

ACB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó). Ta
lại có

BAD =

CAD (AD là phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC). Suy ra

ADE =

n = (2; −4) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình BC : x −2y −3 = 0.
Vậy BC : x −2y −3 = 0. 
3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam
giác vuông
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 2x. Tam
giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của (C) trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao
kẻ từ A là H(2; 0). Tìm toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện
tích tam giác ABC bằng
2
√
3
. (Đề thi thử lần 1 năm 2015 tạp chí Toán học và tuổi trẻ).
A
B
C
I(1;0)
H(2; 0)
Phân tích. Đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và bán kính R = 1. Trước tiên ta chứng minh AB
là đường kính của (C). Để tìm toạ độ điểm B ta tính khoảng cách từ B đến 2 điểm cho sẵn
là I và H. Thứ nhất, IB = R = 1. Thứ hai, để tính BH phải sử dụng giả thiết diện tích tam
giác ABC và hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH. Có diện tích tam
giác ABC và có AB = 2R = 2 nên tính được AC. Dùng hệ thức lượng AB
2
= BH.BC, trong
đó BC có thể tính được nhờ định lý Pitago nên ta tính được BH. Đặt ẩn cho toạ độ điểm H

AB
2
+ AC
2
=
4
√
3
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có
AB
2
= BH.BC ⇒ BH =
AB
2
BC
=
4
4
√
3
=
√
3 (4)
Gọi H(x
0
; y
0
). Từ (3) và (4): IB = 1 và HB =
√

0
+ y
2
0
−2x
0
= 0
x
2
0
+ y
2
0
−4x
0
= −1
⇔

x
0
=
1
2
y
2
0
=
3
4
⇔

Vì B có tung độ dương nên B(
1
2
;
√
3
2
). 
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x −y = 0. Đường tròn
(C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến của (C)
tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). (Đề thi
đại học khối A năm 2013, câu 7b).
25