skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác
trong một số bài tập về đờng tròn chơng ii hình học 9

A. Đặt vấn đề
Để thực hiện mục tiêu giáo dục hiện nay, nhằm nâng cao chất lợng, hiệu quả
của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày càng đợc nâng
cao. Vì vậy nhiệm vụ của thày và trò là phải dạy và học nh thế nào để đạt hiệu
quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng
trong trờng phổ thông. Dạy Toán tức là dạy phơng pháp suy luận, học Toán là rèn
luyện khả năng t duy lôgic. Giải toán luôn là một hoạt động bổ ích và hấp dẫn.
Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bớc năng lực t duy
toán học, hình thành và hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, giúp các em có thể học tốt các
môn tự nhiên khác cũng nh vận dụng hiệu quả kiến thức toán học vào thực tế đời
sống.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ. Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh ( ngời học toán ) những kỹ năng tính toán
cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng
pháp luận khoa học .
Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải
bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng hợp
lý các phơng pháp dạy học, từ đó góp phần hình thành và phát triển t duy của học
sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất
đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán.
***
Trong chơng II: Đờng tròn - Hình học 9 THCS có một số bài toán mà
muốn giải đợc nó một cách nhẹ nhàng thì học sinh phải sử dụng đợc tính chất về
góc ngoài của một tam giác.
Một số năm dạy bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi của trờng tham gia kì thi
học sinh giỏi các cấp và dạy học sinh ôn thi vào trung học phổ thông, cũng nh
tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi của một số huyện, tỉnh khác tôi nhận thấy:

Chứng minh bốn điểm B, E, F, O cùng thuộc một đờng tròn.
Kết quả: Không có học sinh nào giải đợc bài toán trên.
Vấn đề đặt ra ở đây là phải hớng dẫn cho học sinh biết cách sử dụng tính chất
góc ngoài của tam giác vào giải bài tập dạng này của chơng II: Đờng tròn
II. Các phơng pháp nghiên cứu:

1. Đối với giáo viên:
+ Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh hoạ cho việc sử dụng tính
chất góc ngoài của tam giác vào bài tập cụ thể.
+ Tổ chức cho học sinh đợc học bồi dỡng để triển khai đề tài.
+ Sử dụng các phơng pháp:
. Phơng pháp điều tra.
. Phơng pháp thống kê.
. Phơng pháp so sánh đối chứng.
. Phơng pháp phân tích, tổng hợp.
2. Đối với học sinh:
+ Làm các bài tập giáo viên giao để xem mình vớng mắc ở đâu.
+ Sau khi đợc giới thiệu các cách làm thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào các
bài toán cùng loại.
+ Nắm chắc các kiến thức cơ bản và các phơng pháp chứng minh hình học khác
để phụ trợ cho việc chứng minh, tính toán.
III. Nội dung của kinh nghiệm

1. Cơ sở lí thuyết:
* Học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau:
+ Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề
6


skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác

Khi cha có kiến thức về góc nội tiếp, việc
ã
ã
chứng minh BOC
khá khó khăn
= 2.BAC

C

F

đối với HS, nhng nếu biết cách sử dụng
tính chất góc ngoài của một tam giác thì
sẽ chứng minh dễ dàng.

M
B

Giải:
Kẻ đờng kính AM của (O)
ã
ã
OA = OB OAB cân tại O OAB
(1)
= OBA
ã
ã
ã
ã
Vì BOM

)

ã
ã
BOC
= 2.BAC
= 2.45 0 = 90 0
7


skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác
trong một số bài tập về đờng tròn chơng ii hình học 9
ã
BE AC (Theo GT) BEC
= 90 0
ã
CF AB (Theo GT) BFC
= 90 0
ã
ã
ã
BOC
= BEC
= BFC
= 90 0
5 điểm O, E, B, F, C cùng thuộc đờng tròn đờng kính BC
4 điểm B, E, F, O cùng thuộc một đờng tròn.

Bài toán 2:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy


ã
đờng tròn ta phải chứng minh DOE
= 90 0 .
Thực hiện cách làm tơng tự nh ở ví dụ 1 ta
cũng
chứng
minh
đợc
ã
ã
DOE
= 2.DFE
= 2.45 0 = 90 0

F

Giải:
ã
ã
a) Kẻ OM AE,ON AF OMA
= ONA
= 90 0
ã
ã
ã
Tứ giác AMON có OMA
= ONA
= MAN
= 90 0 AMON là hình chữ nhật (1)

Xét OME(M
OM = ON(Theo (4))
OME = ONF ME = NF(5)
Từ (3) và (5) AM + ME = AN + NF AE = AF AEF cân tại A.
ã
b) Vì AEF vuông cân tại A (C/minh trên) DFE
= 450
Kẻ đờng kính FI của đờng tròn (O)
ã
ã
OD = OF (bán kính của (O)) ODF cân tại O OFD
= ODF
ã
ã
ã
ã
Vì DOI
là góc ngoài của tam giác ODF DOI
= OFD
+ ODF
ã
ã
ã
ã
DOI
= OFD
+ OFD
= 2.OFD(6)
ã
ã

M

MA.MD = MN.MO
chứng minh:
MA.MD = ME.MF
+ Việc chứng minh MA.MD = MN.MO
không khó khăn.
E
+ Để chứng minh MA.MD = ME.MF cần
D
phải chứng minh đợc hai tam giác MAF và
MED đồng dạng với nhau, muốn vậy phải
N
ã
ã
chứng minh đợc AFM
.
= EDM
Bài toán 3:
Nếu đã học chơng III: Góc với đờng tròn,
A Cho (O; R) cóO hai đờng kính
B AB và EF vuông góc với nhau. D là một điểm
thì việc chứng minh hai góc trên bằng nhau
thuộc cung AE nhỏ; M là giao điểm của AD và OE; N là giao điểm của OE và
không khó, nhng ở chơng II thì muốn
DB. Chứng minh rằng: MA.MD = ME.MF
MN.MO.
chứng=minh
hai góc trên bằng nhau phải sử
dụng đợc tính chất về góc ngoài của tam

OD =OF(= R) ODF cân tại O OFD
= ODF
ã
ã
ã
ã
Vì KOF
là góc ngoài của ODF KOF
= ODF
+ OFD
ã
ã
ã
ã
KOF
= ODF
+ ODF
= 2.ODF
ã
ã
Chứng minh tơng tự ta có: KOB
= 2.ODB

(

ã
ã
ã
ã
KOF

ã
MDE
= MDN
EDB
= 90 0 45 0 = 450 (2)
10


skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác
trong một số bài tập về đờng tròn chơng ii hình học 9
OA = OE(= R)
ã
AOF vuông cân tại O AFO
ã
= 45 0 (3)
0
AOF = 90 (Theo GT)
ã
ã
Từ (2) và (3) AFM
(4)
= MDE
Xét MAF và MED có:
ã
AMF
: góc chung

ã
ã
= MDE(Theo


I

O
R

B

F

C

H
M

ã
tính đợc AD và BC ta cần tính đợc BAC
và
ã
, việc này đơn giản nếu sử dụng tính chất
BOC
góc ngoài của một tam giác

Giải:
+) Gọi O và I lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp và tâm đờng tròn nội tiếp tam
giác ABC; D, E, F lần lợt là các tiếp điểm của ( I ) với AB, AC, BC.
1
1
1
1

à = 60 0 DAI
ã
3A
= 30 0
ã
à = 90 0 ) : AD = DI.cot gDAI
Trong DAI(D
= r.cot g30 0 = r 3
+) Kẻ đờng kính AM của (O).
ã
ã
OA = OB (= R) OAB cân tại O OAB
= OBA
ã
ã
ã
ã
ã
ã
Vì BOM
là góc ngoài của OAB BOM
= OAB
+ OBA
BOM
= 2.OAB(1)
ã
ã
Chứng minh tơng tự: COM
= 2.OAC(2)
ã

Cho (O; R) đờng kính AB, C là một điểm thuộc bán kính OA. Trong nửa mặt
ã
ã
phẳng bờ AB vẽ hai tia Cx và Cy sao cho ACx
= BCy
= 30 0 . Các tia Cx và Cy cắt
(O; R) thứ tự tại hai điểm D và G. Qua điểm C vẽ dây DE của (O; R).
a) Chứng minh rằng CEG là tam giác đều;
b) Biết R = 8cm, không dùng bảng số và máy tính, hãy tính DG.
* Phân tích:
Khi đã chứng minh đợc CEG đều ở
ã
câu a) ta sẽ có DEG
= 60 0 . Để tính đợc

G

M
N
H

D
A

B

O

C
K

ã
ã
HCO
= KCO(Theo
(1))

CO:cạnh chung

OH = OK(2)
HCO = KCO
CH = CK(3)
à = 90 0 ) và OKE(K
à = 90 0 ) có:
Xét OHG(H
OH = OK(Theo (2))

OG=OE(=R)
OHG = OKE HG = KE(4)
Từ (3) và (4) CH + HG = CK + KE CG = CE
CGE cân tại C (5)
ã
ã
ã
ECG
= ECB
+ BCG
= 30 0 + 30 0 = 60 0 (6)
Từ (5) và (6) CGE là tam giác đều.
b) Kẻ đờng kính EM
ã

DOM
+ GOM
= 2 OED
+ OEG

)

ã
ã
DOG
= 2.CEG
ã
Vì CEG là tam giác đều (C/minh trên) CEG
= 60 0
ã
DOG
= 2.60 0 = 120 0
+) Kẻ đờng cao ON của tam giác cân ODG
ã
DG
DOG
ã
ND = NG =
và NOD
=
= 60 0
2
2
R 3
à = 90 0 ) : DN = DO.sin DON

đơn giản hơn.

B

H
E

A

Giải:

(

+) OA 2 + OB 2 = R 2 + R 2 = 2R 2 ; AB 2 = R 2

)

2

= 2R 2

OA 2 + OB 2 = AB 2 OAB vuông tại O (Theo định lí Pytago đảo)
ã
AOB
= 90 0
+) Kẻ OH AC HA = HC =

ã
AC R 3
AOC

= OCB
ã
ã
ã
ã
Vì COF
là góc ngoài của BOC COF
= OBC
+ OCB
ã
ã
ã
ã
(1)
COF
= OBC
+ OBC
= 2.OBC
ã
ã
Chứng minh tơng tự ta có: AOF
(2)
= 2.OBA
ã
ã
ã
ã
+ AOF
= 2 OBC
+ OBA

14


skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác
trong một số bài tập về đờng tròn chơng ii hình học 9
ã
ã
ã
Trong ABC : ABC
+ ACB
+ BAC
= 180 0

(

)

ã
ã
ã
BAC
= 180 0 ACB
+ ABC
= 180 0 ( 60 0 + 450 ) = 750

3. Một số bài tập cùng loại:
Bài 1:
Cho (O; R), dây AB = R 2 . C là một điểm trên cung lớn AB sao cho ABC
có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của ABC ; các đờng thẳng AH và BH cắt (O)
lần lợt tại M và N.

dụng các cách làm khá phức tạp. Mặt khác, thông qua chuyên đề này học sinh
còn nắm vững các kiến thức cơ bản khác của hình học đồng thời rèn kĩ năng phân
tích, suy luận hợp lí, phát triển t duy sáng tạo.
Kiểm tra các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi của trờng năm học 2009 2010 với hai bài tập 1 và 2 nêu ở trên thì kết quả thu đợc là rất tốt: Tất cả các em
đều làm tốt. Ngoài ra, trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 2010 thì các em trong đội tuyển đi thi đều đạt kết quả cao.
IV. Bài học kinh nghiệm:
Bồi dỡng học sinh giỏi là một công việc đòi hỏi cả trò và thày phải đầu t về
kiến thức và thời gian. Để có đợc chất lợng học sinh giỏi tốt thì nhân tố học sinh
quyết định cơ bản nhng vai trò của thày trong công việc này cũng vô cùng quan
trọng, thày phải có kiến thức vững vàng, hớng dẫn cho học sinh các phơng pháp
học tập tích cực, phơng pháp tự học, tự nghiên cứu các tài liệu tham khảo; thày
phải giúp đợc học sinh phân loại các đợc các dạng bài tập, hớng dẫn thông qua
các ví dụ để học sinh nắm đợc bản chất của phơng pháp từ đó động viên, khuyến
khích các em làm các bài tập cùng loại, tìm tòi các cách giải khác nhau cho một
bài toán, biết phát triển bài toán, lật ngợc vấn đề để tạo ra các bài toán mới.
Kiến thức dùng để làm các bài tập trong chơng II: Đờng tròn-Hình học 9 đa
dạng và phong phú, vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản,
trọng tâm từ đó biết phân tích tìm tòi lời giải khoa học và hiệu quả.
Cụ thể hơn, qua thực tế giảng dạy tôi thấy để thực hiện một cách có hiệu
quả kinh nghiệm này cần phải có các điều kiện sau:
1. Về phía giáo viên :
* Cần đầu t chuẩn bị kỹ bài, sắp xếp hệ thống câu hỏi thật lô gíc.
* Cần chịu khó nghiên cứu tìm tòi, su tầm các bài toán hay để mở rộng vốn
kiến thức.
* Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề gây sự tò mò hứng thú cho học
sinh để phát huy trí lực cho các em.
* Khi gặp các tình huống có vấn đề cần xử lý linh hoạt, phải thờng xuyên
16



C. Kết luận
17


skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác
trong một số bài tập về đờng tròn chơng ii hình học 9
Kinh nghiệm: Sử dụng tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng
của hai góc trong không kề với nó trong một số bài tập về đờng tròn, chơng II -Hình học 9 đã phần nào giúp học sinh có thêm vốn kiến thức trong việc giải các
bài tập hình học. Ngoài ra nó cũng giúp học sinh mà chủ yếu là học sinh giỏi
phát huy đợc tính sáng tạo, linh hoạt trong học tập để từ đó nâng cao kết quả học
tập, phát triển t duy.
Trên đây là một vài vấn đề mà tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Cho
dù phơng pháp nêu trên cha hẳn đã mẫu mực và đầy đủ, nhng dù sao nó cũng
giúp học sinh phần nào bớt đi khó khăn trong việc giải một số bài toán về đờng
tròn trong chơng II, hình học 9. Các em có tiến bộ, yêu thích môn Toán hơn,
trình bày mẫu mực và chặt chẽ hơn. Các em tự tin hơn trong việc tìm tòi, lĩnh hội
kiến thức, tạo niềm say mê, sáng tạo và hứng thú. Từ đó thúc đẩy phong trào học
tập của trờng ngày càng tiến bộ. Bản thân tôi cũng cảm thấy tự tin hơn, thoải mái
hơn và giảm đi đợc phần nào sự băn khoăn, trăn trở khi dạy toán.
Đề tài về sử dụng tính chất góc ngoài của một tam giác đã đợc khá nhiều sách
và tác giả đề cập, song với lòng say mê bộ môn và mong muốn đợc học hỏi để
nâng cao trình độ bản thân, làm giảm bới khó khăn cho học trò tôi viết bản kinh
nghiệm này. Trong quá trình viết đề tài, do điều kiện thời gian và trình độ có hạn,
đề tài có thể còn cha sâu sắc, cha đày đủ hoặc còn thiếu sót. Tôi rất mong nhận
đợc các ý kiến đóng góp quý báu của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Tài liệu tham khảo
18


6

I. Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu vấn đề.

6

II. Các phơng pháp nghiên cứu.

6

III. Nội dung của kinh nghiệm.

6

IV. Bài học kinh nghiệm.

16

V. Phạm vi áp dụng của kinh nghiệm.

17

VI. Những vấn đề còn tiếp tục nghiên cứu

17

C. Kết luận.

18