BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THỊ HỒNG THANH
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
Lời nói đầu 2
1 Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở 5
1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập
mở 16
2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô lập của ánh
xạ đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở . . . . . . . . . 29
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
1
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn do có nhiều ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Vì thế, ngay từ khi ra đời hình học
Fractal đã nhanh chóng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
toán học. Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiều

Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu về hệ hàm lặp, điều kiện tập mở và
các điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Với mục đích
trên nội dung luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở
Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các khái niệm
cơ bản cần dùng trong toàn luận văn. Mục 1.1 trình bày định nghĩa ánh
xạ đồng dạng, hệ hàm lặp, tập fractal và tập tự đồng dạng. Mục 1.2 trình
bày định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff.
Điều kiện tập mở được trình bày trong Mục 1.3.
Chương 2. Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều
kiện tập mở
Chương này, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn. Trong
Mục 2.1, chúng tôi trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ
đo Hausdorff dương. Mục 2.2 trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập
mở và sự cô lập của ánh xạ đồng nhất. Mục 2.3 trình bày một số điều kiện
dẫn đến một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ dạy tác giả những kiến
thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân
3
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm
khoa Sư phạm Toán học và quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích của
khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt
là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp
đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những

1.1.2 Mệnh đề ([8]). Cho f : D −→ D. Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng
5
khi và chỉ khi f có thể biểu diễn được dưới dạng
f(x) = c × R × x + b,
trong đó c ∈ (0, 1) là tỷ số co của f, b ∈ R
n
và R là ma trận trực giao cấp
n.
1.1.3 Định nghĩa ([8]). Một họ hữu hạn các ánh xạ co {f
1
, . . . , f
m
} trên
D được gọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D.
Cho A là một tập trong không gian mêtric (X, d). Với mỗi điểm x ∈ X
ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}, trong đó d(x, y) là khoảng cách từ
x đến y với mọi y ∈ X.
Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu A
δ
= {x ∈ X : d(x, A) ≤ δ}
được gọi là δ−bao của A.
1.1.4 Định lý ([8]). Cho D là tập compact khác rỗng trong R
n
. Gọi K là
lớp các tập con compact, khác rỗng của D. Khi đó, hàm
d
H
: K × K −→ R
(A, B) −→ d
H

} trên D. Ta xác định
6
ánh xạ
f : K −→ K
E −→ f(E) =
m

i=1
f
i
(E). (1.2)
Khi đó, f là ánh xạ co.
Từ Định lí 1.1.4 và Mệnh đề 1.1.6, ta có định lí sau.
1.1.7 Định lý ([6]). Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} và f là ánh xạ được
xác định bởi công thức (1.2). Khi đó, tồn tại duy nhất tập F ∈ K sao cho
f(F ) = F. Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho f
i
(E) ⊂ E (1 ≤ i ≤ m)
thì F =
∞

i=1
f
i
(E), với f
i

2
. Đó là
7
f
1
(x, y) =

1
2
x;
1
2
y

;
f
2
(x, y) =

1
2
x +
1
2
;
1
2
y

;

1
= [0,
1
3
] ∪[
2
3
, 1].
Tiếp tục cách làm tương tự đối với tập F
1
, bỏ đi tập I
2
= [
1
3
2
,
2
3
2
] ∪
[
7
3
2
,
8
3
2
] và giữ lại tập

mãi. Tập còn lại sau cả quá trình đó là tập Cantor.
Ta chứng minh được tập Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp
{f
1
, f
2
} trên R xác định bởi
f
1
(x) =
1
3
x;
f
2
(x) =
1
3
x +
2
3
.
3. Bụi Cantor
Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có
độ dài cạnh là
1
4
, giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác. Cứ
tiếp tục như thế cho đến bước thứ k ta có 4
k

2
(x, y) =

x
4
+
3
4
;
y
4
+
1
4

;
f
3
(x, y) =

x
4
+
1
2
;
y
4
+
3

n
∈ C thì
n

i=1
A
i
∈ C.
Nếu C thỏa mãn i), ii) và điều kiện
iii’) Nếu A
1
, A
2
, . . . ∈ C thì
∞

i=1
A
i
∈ C
thì C được gọi là σ-đại số trên X.
Cặp (X, C) với C là σ-đại số được gọi là không gian đo được. Tập A ∈ C
được gọi là tập đo được.
1.2.2 Định nghĩa ([8]). Giả sử C là một σ - đại số trên X. Khi đó, hàm
tập µ : C → R được gọi là độ đo nếu
i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
ii) µ(∅) = 0;
9
iii) µ là σ- cộng tính, nghĩa là nếu
A

i) µ
∗
(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
ii) µ
∗
(∅) = 0;
iii) µ
∗
là σ-dưới cộng tính, nghĩa là nếu
A
i
∈ C (i = 1, 2, . . .),
∞

i=1
A
i
∈ C
thì
µ
∗
(
∞

i=1
A
i
) ≤
∞


(A) = inf{
∞

i=1
µ(A
i
) :

A
i
⊃ A, A
i
∈ C}
10
thì µ
∗
là một độ đo ngoài trên ℘(X) và µ
∗
(A) = µ(A), với mọi A ∈ C.
1.2.6 Định nghĩa ([8]). Giả sử µ là một độ đo trên R
n
.
i) Giá của độ đo µ ký hiệu sptµ là tập đóng bé nhất sao cho
µ(R
n
\sptµ) = 0.
ii) Cho A ⊂ R
n
ta nói µ là độ đo trên A nếu sptµ ⊂ A.
iii) Giả sử µ là một độ đo trên tập con bị chặn của R

i
} được gọi là một δ−phủ của F .
1.2.8 Nhận xét ([8]). Với F ⊂ R
n
, s ≥ 0 và δ > 0 ta đặt
H
s
δ
(F ) = inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i
} là δ −phủ F

. (1.3)
Khi đó, H
s
δ
(F ) là hàm nghịch biến theo δ, nghĩa là,
nếu δ
1
≤ δ
2

1
− phủ F }.
11
Suy ra
inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i
} là δ
2
− phủ F

≤ inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i

s
δ
(F ).
1.2.9 Định lý ([8]). Giả sử C là họ các tập con của R
n
, với mỗi s ≥ 0
hàm tập H
s
: C −→ R
n
xác định bởi
H
s
(F ) = lim
δ→0
H
s
δ
(F ) với mọi F ∈ C
là một độ đo ngoài trên C.
1.2.10 Định nghĩa ([8]). Độ đo sinh bởi độ đo ngoài H
s
được gọi là
độ đo Hausdorff trên σ−đại số L các tập con H
s
−đo được của R
n
. Tập
F ⊂ R
n

tại duy nhất một giá trị s
F
∈ R
+
để
12
i) H
s
(F ) = 0 với mọi s > s
F
,
ii) H
s
(F ) = +∞ với mọi s < s
F
.
1.2.14 Định nghĩa ([8]). Cho F ⊂ R
n
, số s
F
∈ [0; +∞] trong Hệ quả
1.2.13 được gọi là chiều Hausdorff của F và ký hiệu là dim
H
F .
1.2.15 Nhận xét ([8]). Cho F ⊂ R
n
. Khi đó,
i) dim
H
F = inf{s: H

i
} (tính ổn định đếm được);
iii) dim
H
F = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ R
n
;
iv) Nếu F là tập mở trong R
n
, F = ∅ thì dim
H
F = n;
v) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong R
n
thì dim
H
F = m.
Một độ đo thường dùng để nghiên cứu trong hình học fractal có tên gọi
là sự phân bố khối lượng, khái niệm này thường được mô tả một cách trực
quan như sau.
1.2.17 Nhận xét ([8]). Lấy ε
0
= {E} với E là tập Borel trong R
n
. Với
k = 1, 2, . . . ta ký hiệu ε
k
là tập hợp các tập con Borel rời nhau của E sao
cho mỗi U ∈ ε
k

U
i
j
∈ ε
2
= {U
i
1
, . . . , U
i
k
, . . . , U
m
1
, . . . , U
m
n
}
các giá trị sao cho

U
i
j
∈ε
2
µ(U
i
j
) =
m

j
∈ε
2
µ(U
i
j
) = µ(E).
Khi đó, ta có thể mở rộng µ để trở thành một độ đo trên đại số các tập
con của R
n
và gán µ(R
n
) = µ(F ) ta được µ(R
n
) ∈ (0; +∞) và sptµ = E.
Do đó, µ là một sự phân bố khối lượng trên E.
1.2.18 Định lý ([8]). (Nguyên lý về sự phân bố khối lượng) Cho F là
một tập compact, khác rỗng trong R
n
và µ là một sự phân bố khối lượng
trên F. Nếu với mỗi s ≥ 0 tồn tại c > 0 và δ > 0 sao cho µ(U) ≤ c|U|
s
với mọi U mà |U| ≤ δ thì H
s
(F ) ≥
µ(F )
c
.
Chứng minh. Giả sử {U
i

≥
µ(F )
c
với mọi {Ui} là δ−phủ F .
Dẫn đến H
s
δ
(F ) ≥
µ(F )
c
, nên H
s
(F ) ≥
µ(F )
c
.
1.3 Điều kiện tập mở
1.3.1 Định nghĩa ([8]). i) Ta nói rằng hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} trên R
n
thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC – Open Set Condition) nếu tồn tại tập
14
mở V khác rỗng trong R
n
sao cho












m

i=1
f
i
(V ) ⊂ V ;
f
i
(V ) ∩f
j
(V ) = ∅, với mọi i = j;
V ∩ F = ∅.
1.3.2 Nhận xét. Nếu hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} thỏa mãn SOSC thì nó
cũng thỏa mãn OSC.
1.3.3 Định lý ([8]). Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f


i=1
c
s
i
= 1
được gọi là chiều tự đồng dạng của tập tự đồng dạng sinh ra từ hệ hàm
lặp đó.
15
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để một hệ
hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ hàm
lặp thỏa mãn các điều kiện đó.
2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo
Hausdorff dương
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một hệ
hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa vào độ đo Hausdorff của tập bất
biến sinh bởi hệ hàm lặp đó. Các kết quả này do A. Chief và K. J. Falconer
đưa ra trong tài liệu [1] và [8].
Trước hết ta cần bổ đề sau.
2.1.1 Bổ đề ([8]). Giả sử {V
i
} là họ các tập mở rời nhau trong R
n
sao
cho mỗi tập V
i
đều chứa một hình cầu bán kính a

nằm trong hình cầu B
i
(x
i
, a
2
r) có
bán kính a
2
r, tâm x
i
nào đó trong R
n
. Do đó, V
i
cũng nằm trong hình cầu
B
i
(x
1
, a
2
r). Suy ra, | V
i
|≤ 2a
2
r (trong đó |A| kí hiệu là đường kính của
tập A).
Đặt d
∗

2
)r,
tâm x
0
.
Mặt khác, V
i
chứa hình cầu B

i
(x

i
, a
1
r) có bán kính a
1
r, tâm x

i
trong
R
n
.
Mà V
i
⊂ V
i
, nên B


i
,a
1
r)
và V
B

(x
0
,(1+2a
2
)r)
lần lượt là thể tích của hình cầu B

i
(x

i
, a
1
r)
và hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r). Khi đó,
V
B

)r)).
Giả sử có q tập
V
i
có giao với hình cầu B(x
0
, r). Khi đó, có q hình cầu
B

i
(x

i
, a
1
r) nằm trong hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r) . Suy ra, tổng thể tích
của q hình cầu B

i
(x

i
, a
1

2
)r]
n
.
Vậy, ta có q ≤ (1 + 2a
2
)
n
a
−n
1
.
Dựa vào bổ đề trên, ta chứng minh được kết quả sau.
2.1.2 Định lý ([8]). Trong R
n
, cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} gồm các
ánh xạ đồng dạng thỏa mãn OSC và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp đó,
nghĩa là F =
m

i=1
f
i
(F ). Khi đó, 0 < H
s
(F ) < +∞ với s = dim

, . . . , i
k
) ∈ I
k
, ta kí hiệu
f
i
= f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
,
A
i
= f
i
(A) = f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
(A),
c
i
= c
i
1

gồm những dãy trong I với k số đầu là i
1
, . . . , i
k
. Ta xây dựng một sự
phân bố khối lượng µ trên I xác định bởi µ(I
i
1
, ,i
k
) = (c
i
1
. . . c
i
k
)
s
= c
s
i
.
Vì
(c
i
1
. . . c
i
k
)

suy ra
µ(I
i
1
, ,i
k
) =
m

i=1
µ(I
i
1
, ,i
k
,i
).
Khi đó, µ là một sự phân bố khối lượng trên các tập con của I với µ(I) = 1.
Từ đó ta thiết lập một sự phân bố khối lượng trên F như sau:
Với mỗi tập con A của F, đặt

µ(A) = {(i
1
, i
2
, . . .): x
i
1
,i
2

i
1
, ,i
k
với mỗi dãy hữu hạn
(i
1
, . . . , i
k
) ∈ J
k
. Gọi B là hình cầu bất kỳ có bán kính r < 1. Ta ước
lượng

µ(B) bằng cách xét các tập V
i
1
, ,i
k
có đường kính có thể so sánh
được với đường kính của B và của F ∩ B.
Tiếp theo, ta rút gọn mỗi dãy vô hạn (i
1
, i
2
, . . .) ∈ I từ chỉ số thứ k
sao cho
( min
1≤i≤m
c

1
, ,i
k
,1
, . . . , V
i
1
, ,i
k
,m
cũng không
giao nhau. Do đó, lớp các tập mở {V
i
1
, ,i
k
: (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q} là không giao
nhau. Hơn nữa, ta có
F ⊂

Q
F
i
1
, ,i
k

1
. . . c
i
k
a
1
và V
i
1
, ,i
k
lại được chứa
trong hình cầu bán kính c
i
1
. . . c
i
k
a
2
. Do đó, nhờ (2.1) ta có V
i
1
, ,i
k
chứa
hình cầu bán kính ( min
1≤i≤m
c
i

1
. Khi
đó,

µ(B) =

µ(F ∩B) = µ{(i
1
, i
2
. . .): x
i
1
,i
2

∈ F ∩ B} ≤ µ(

Q
1
I
i
1
, ,i
k
)
(vì nếu x
i
1
,x

k


≤

Q
1
µ(I
i
1
, ,i
k
)
=

Q
1
(c
i
1
. . . c
i
k
)
s
≤

Q
1
r

i
= c
i
1
. . . c
i
k
. Ta có,
F =
m

i
1
=1
f
i
1
(F ) =
m

i
1
=1
f
i
1

m

i


i
k
=1
f
i
k
(F )

=

i∈I
k
F
i
.
Mặt khác, ta có
|F
i
| = |f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
(F )|
= c
i
1
. . . c

Vì vậy, họ {F
i
} với i ∈ I
k
là một δ−phủ của F . Ta có,

i∈I
k
|F
i
|
s
=

i∈I
k
c
s
i
|F |
s
=

m

i
1
=1
c
s

Do đó, |F |
s
< +∞. Điều này dẫn đến H
s
(F ) < +∞. (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) ta suy ra 0 < H
s
(F ) < +∞.
2.1.3 Bổ đề [4]. Với bất kì hai số tự nhiên s, t > 1, tồn tại một số tự
nhiên R(s, t) = n sao cho nếu ta tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ bậc
20
n bởi hai màu xanh và đỏ thì luôn tồn tại một đồ thị con đầy đủ k
m
được
tô màu xanh hoặc một đồ thị con đầy đủ k
n
được tô màu đỏ và
R(m, n) ≤


m −1
m + n − 2


.
2.1.4 Định lý ([1]). Cho tập F ⊂ R
n
và dim
H
F = s. Khi đó, nếu

},
trong đó c
i
= c
i
1
. . . c
i
n
và c
i
1
i
n−1
= c
i
1
. . . c
i
n−1
. Khi đó, ta có
F =

i∈I
b
F
i
, với F
i
= f

i=1
|U
i
|
α
≤ (1 + x
α
)H
α
(F ) với α = dim
H
F.
Đặt δ = D (F, U
c
) = inf{d(x, y) : x ∈ F, y ∈ U
c
} với U
c
là phần bù của
U.
Ta chứng minh rằng, với mọi i, j ∈ I
b
sao cho c
j
> xc
i
thì
d(F
i
, F

i
(U). Dẫn đến,
H
α
(F )c
α
i
(1 + x
α
) < H
α
(F )(c
α
i
+ c
α
j
) = H
α
(F
i
) + H
α
(F
j
)
= H
α
(F
i

),
điều này là mâu thuẫn.
(2) Lấy ε ∈ (0,
1
3
), với mỗi x ∈ F , ta kí hiệu U(ε, x) là hình cầu mở
tâm x có bán kính ε và đặt U(ε, F ) =

x∈F
U(ε, x). Khi đó, với mỗi k ∈ I
b
,
ta đặt
G
k
= U(εc
k
, F
k
), I(k) = {i ∈ I
|G
k
|
: F
i
∩ G
k
= ∅}
và γ = sup #I(k) (với #A kí hiệu là lực lượng của tập hợp A).
Không mất tính tổng quát ta giả sử |F | đủ bé để |G

(y)) ≥ δc
i
. (∗)
Cho điểm z ∈ F sao cho d(y, z) < δ
c
min
3
, ta có
d(f
i
(y), f
i
(z)) < c
i
δ
3
và d(f
j
(y), f
j
(z)) < r
i
δ
c
min
3
,
vì vậy, (∗) đúng cho z với
δ
3

min
3
22
(trong đó d = |G
k
|).
Sử dụng Bổ đề 2.1.3, ta cố định điểm z ∈ Z và xét I ⊂ I(k) sao cho với
2 phần tử của I thì z thỏa mãn bất đẳng thức trên. Ta chỉ cần chỉ ra rằng
#I bị chặn bởi một hằng số không phụ thuộc k. Trước hết, ta xét các tập
U(δd
c
min
6
, f
i
(z)), i ∈ I, rời nhau và được chứa trong U(|F
i
|+δd
c
min
6
, G
k
).
Điều này kéo theo (sử dụng tính chất của độ đo Lebesgue)
#I ≤
(d + 2c
i
|F | + δd
c

∩ G
k
, điều này kéo theo
∅ = f
j
(F
i
∩ G
k
) = f
j
(F
i
) ∩f
j
(G
k
)
= F
ji
∩ f
j
(U(r
k
, F
k
))
= F
ji
∩ G

, với G
∗
i
= U(ε
r
i
2
, F
i
)
thì ta có F
k
⊂ G
∗
k
⊂ U và U là tập mở. Khi đó, với mỗi i thì
f
i
(U) =

j∈J
f
i
(G
∗
jk
) =

j∈J
G

sao cho
d(y, y
1
) < ε
r
iik
2
và d(y, y
2
) < ε
r
jk
2
.
Khi đó,
d(y
1
, y
2
) < εr
iik
.
Do đó, D(K
iik
, K
j
) < εr
iik
, điều này mâu thuẫn với (3). Vậy
f

n
= {i = i
1
i
2
. . . i
n
: i
j
∈

},

∗
=

n≥0

n
,

N
= {i = i
1
i
2
. . . : i
j
∈
