LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS.
Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và các thầy cô trong Khoa Vật lý đã
giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình
học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên
tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn
thành luận văn.

Hà nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả Đỗ Ngọc Thịnh BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ NGỌC THỊNH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không
trùng lặp với các đề tài khác.

Tác giả Đỗ Ngọc Thịnh
1
M U

Kim loi l loi vt rn cú tớnh dn in tt, dn in vo khng t 10
6

n 10
8

1

m
-1
. ú l vỡ trong kim loi cú cha rt nhiu electron cú th chuyn

Nhóm lợng tử và đại số biến dạng đợc khảo sát thuận lợi trong hình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên
cứu nhóm lợng tử và đại số biến dạng đợc kích thích thêm bởi sự quan tâm
ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose -
Einstein và thống kê Fermi - Dirac nh thống kê para Bose, para - Fermi, thống
kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với t cách là các thống kê mở rộng [7, 8,
9, 10]. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số
biến dạng.
Trong quỏ trỡnh hc tp, tụi ó nhn thc c vic nghiờn cu tớnh cht
t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi l mt vic cú ý ngha khoa
hc trong nhiu lnh vc ca khoa hc k thut v i sng. Vỡ vy tôi đã chọn
đề tài Nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong
kim loi.
Mục đích của đề tài là nghiờn cu mt cỏch cú h thng, y v cỏc
thuyt nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi c c in v lng t;
Nghiờn cu cỏc tớnh cht t ca khớ in t t do. Xây dựng phõn b Fermi -
Dirac bin dng bằng phơng pháp lí thuyết trờng lợng tử. p dng phõn b
Fermi - Dirac bin dng -q kho sỏt h khớ in t t do trong kim loi, tớnh
nhit dung v cm t ca khớ in t t do; S dng phn mm toỏn hc tớnh
nhit dung i vi mt s kim loi c th, thụng qua vic bin lun tham s bin
dng q cho kt qu lý thuyt phự hp tt vi kt qu thc nghim.
Cỏc phng phỏp chớnh ca ti l phng phỏp gii tớch toỏn hc,
phng phỏp lý thuyt trng lng t v cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt
lý cht rn.
3
Chương 1
LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO

)
- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động
có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là
d
v
,
tuy vậy:

d
v
<<
T
v

Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó đã
có trước đó.
1.1.2. Lý thuyết Lorentz
Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem
như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động
nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với

4
chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết
là yếu không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao
gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo định luật
phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann.

.
2
4)(

=


0
2
.v










0
2
22
3
2

2
4)( dvevv
kT
m
dvvf
kT
mv






m
kT
v
T
3
(1.4)
Động năng trung bình của một phân tử khí:

kT
mv
E
T
đ
2
3
2
2


Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là
bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi electron có
năng lượng là


R
dT
dE
C
el
2
3

(1.7)
Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung
ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:

RTNkT
ion
33 

(1.8)

R
dT
d
C
ion
ion
3

(1.9)
Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt
dung của điện tử:


cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin được coi là các hạt đồng nhất.
Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa. Thực
ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất
là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất
dù đã đánh dấu chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt
được các hạt đồng nhất.
Theo thuyết lượng tử:
- Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,

- meson, K-meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức
năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị
các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein.
- Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron,
proton, neutron, positron thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng
lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau).
Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ Fermion là đối
xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu.
Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac.
1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển
động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx.
Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng

2
2
ˆ
2
1
2
ˆ

x
ˆ
và toán tử xung lượng
x
p
ˆ
bằng toán tử tọa độ và xung
lượng chính tắc mới
pq
ˆ
,
ˆ
,

dx
d
m
i
pp
xmqx
x



ˆˆ
ˆˆ
(1.12)
Hệ thức giao hoán giữa
p
ˆ


i
dx
d
xm
m
i
dx
d
xm
m
i
m
m
i

(1.13)
Từ (1.12) suy ra

2
22
2
2
22
2
ˆˆ
ˆ


 
 
aaip
aaq
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ








(1.16)
Khi đó

   
aaiaaip
ˆˆ
2
.
ˆˆ
2
ˆ
8

 
2
ˆˆˆˆˆˆ
2
2 
 aaaaaa



Thay
22
ˆ
,
ˆ
qp
vào (1.15) ta được

   









2
ˆˆ
2(
4
ˆ

 aaaaaaaaH



Dựa vào (1.13) ta xét
 
pqqpqp
ˆˆˆˆˆ
,
ˆ


=
  
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
22
ˆˆˆˆ
22
aaaaiaaaai 



1
ˆˆˆˆ
1
ˆˆˆˆ




aaaa
aaaa

Hay:
 
1
ˆ
,
ˆ


aa
(1.17)
Ta cũng có:

   






ˆ
,
ˆ

.

 
 
 




aaaaaaaaaaaaNaaNaN
aaaaaaaaaaaaNaaNaN
ˆ
)
ˆˆˆˆ
(
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ

ˆ
như sau:

nnnN 
ˆ
(1.20)
Từ (1.20) ta có:
0
ˆˆ
ˆ


nn
naan
nn
nNn
n
(1.21)
Vì
 

 0
2
rdrnn
n



Mà
aaN

n
là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng n, thì
na
ˆ
cũng là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng (n-1),

na
2
ˆ
cũng là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng (n-2),

na
p
ˆ
là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng (n-p)
Và
na


aaN
ˆˆ
,
ˆ
 
nannannananNanaN
nNananaN
NaaaN
ˆ
1
ˆˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ


10
Vậy
 
   
nannanan
nanana
222
2
ˆ
2
ˆˆ
1
ˆˆ
1
ˆ



Vậy
na
2
ˆ
là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng (n-2).
Chứng minh tương tự ta được
na
p
ˆ

na

ˆ
là hàm riêng của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng (n +1).
Ta có:
 
2
ˆˆˆ
,
ˆ

 aaaNnannaN
22
ˆ
)2(
ˆ
ˆ



Điều này chứng tỏ
na
2
ˆ

Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình
00
ˆ
a11
Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử
N
ˆ
thì chuỗi các số không âm
(n-1), (n-2), (n-3) cũng là trị riêng của toán tử
N
ˆ
. Chuỗi này giảm dần nên
phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để
0
ˆ
min
na
.
Nếu
0
ˆ
min
na
thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng n
min
- 1< n
min


a
tỉ lệ với trị riêng
2
của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng n=2.

00
ˆ


n
a
tỉ lệ với trị riêng
n
của toán tử
N
ˆ
ứng với trị riêng n.
Từ công thức (1.18) ta có:







2

2
1
2
1
ˆˆ
(1.25)
Từ (1.24) và (1.25) suy ra:









2
1
nE
n
(1.26)
Nên:
0
là vector riêng của toán tử
H
ˆ
ứng với trị riêng


2

ứng với trị riêng









2
1
nE
n
.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn
với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau
luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng


.

12
Trạng thái
0
ứng với mức năng lượng thấp nhất là E
0
.
Trạng thái
1

hay thêm hai lượng tử năng lượng


vào trạng thái
0

Nếu lấy gốc năng lượng là
2
0


E
thì
.

nE
n


Ta có thể coi
0
là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.

1
là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.

n
là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng.
Toán tử
N

, do đó

a
ˆ
được
đoán nhận là toán tử ‘‘sinh’’ lượng tử năng lượng, hay

a
ˆ
gọi là toán tử ‘‘sinh’’
hạt.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng


.
Cuối cùng, ta đi tính các hệ số
nNn
ˆ
trong các hệ thức

0
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
n
an
nna


(1.29)
Vì

aa
ˆ
,
ˆ
là các vector Hermite nên:
-
naannNnn
nan
nan
n
n
ˆˆ
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
*
*







1
111
ˆˆ
2
*




n
nn
nn
nnnaan



Coi
n

là số thực nên:
1 n
n

.

11
ˆ
0

nn!!
1
n
n



Vậy ta có các công thức sau:

na
n
n
nnna
nnna
n





ˆ
!
1
11
ˆ
1
ˆ

,
ˆ
111
ˆ
1
ˆ










Dạng ma trận của các toán tử
Naa
ˆ
,
ˆ
,
ˆ

là:
 






















1 000

300
020
001
000
ˆ
n
a

 



ˆ

và toán tử số hạt
bbN
ˆˆ
ˆ


.
Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất
), ,(
21,,,,
21
Nkkk
xxx
N

có thể lựa chọn
là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng
 
1
x
k

của từng hạt Fermion

   
 



Nkkk
Nkkk
Nkkk
xxx
xxx
xxx
N
NNN



(1.32)
Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng
)0(

.

15

)()0(
ˆ
xb
kk



(1.33)
Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái
)0(

 



v
kkkv
v
kkk
xxxPbbb )()()()1(
!3
1
)0(
ˆˆˆ
321
321321

)()()()()()(
!3
1
231321
321321
xxxxxx
kkkkkk



NN
)() ()()1(
!
1
)0(
ˆ

ˆˆ
21
2121

(1.34)
Khi hoán vị
ji
kk ,
thì tổng (1.34) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta có:

)0(
ˆ

ˆˆˆˆ
)0(
ˆ

ˆˆˆˆ
21
,
21
,


k
b
ˆ
nên

 
0
ˆ
,
ˆ
,

k
k
bb
(1.36)
Khi
,
kk 
ta thấy:
0
ˆˆˆˆ


kkkk
bbbb

Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n
1
hạt ở trạng thái k

n
k
n
ks
bbbnnn


(1.37)
Với: N = n
1
+n
2
+ n
s

Chú ý rằng

 








0
ˆ
ˆˆ
k

k
n
lk
bb
b
bb
l
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
khi
kln
n
l
l


,1
0

Suy ra:
   
kk
nl
kk
n
kk
bnbb



ˆ
lên hàm sóng của hệ N hạt
Fermion
), ,(
21 s
nnn

ta có
     
)0(
ˆ

ˆˆˆ
), ,(
ˆ
2
2
1
1
21

s
s
n
k
n
k
n
kksk
bbbbnnnb

k
nnn
bbbbb



       
)0(
ˆ

ˆ

ˆˆ
)1()1(
1

2
2
1
1
121

s
s
k
k
n

Vậy
), ,(
ˆ
21 sk
nnnb 

)), 1, (,()1()1(
21 skk
v
nnnnn
k

(1.39)
Tương tự, cho toán tử
k
b
ˆ
tác dụng lên hàm sóng
), ,(
21 s
nnn

và dựa vào định
nghĩa sau

), 1, ,(
ˆ
), 0, ,(
ˆ
2121 sksk

n

thỏa mãn điều kiện
 
00

k
n

.
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:

   
k
v
skskk
v
skskk
v
skskk
skksk
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnb
nnnnbnnnn
kk
k
)1(), , ,(), , ,()1(
), , ,(, )1(1, ,()1(1)1(
), , ,()), 1, (,(

ˆ
21 sk
nnnb
), 1, ,,()1(
21 skk
v
nnnnn
k


(1.42)
Toán tử
kkk
bbN
ˆˆ
ˆ


là toán tử số hạt và n
k
=0 ;1 (do nguyên lý loại trừ Pauli).

), , ,(
ˆˆ
), , ,(
ˆ
2121 skkkskk
nnnnbbnnnnN 




Vì n
k
=0 ;1 nên
kk
nn 
2

Suy ra:
), , ,(), , ,(
ˆ
2121 skksk
nnnnnnnnnN


(1.43)
Sử dụng các công thức (1.41),(1.42) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử
kk
bb
ˆ
,
ˆ


tuân theo hệ thức phản giao hoán sau

   
 
klkl
klkl

FNHTr
F
ˆˆ
exp
ˆ
.
ˆˆ
exp
ˆ





(1.45)
trong đó

: Thế hóa học

H
ˆ
: Toán tử Hamiltonian của hệ

kT
1


với k: Là hằng số Boltzmann
T: Nhiệt độ của hệ.
Chọn gốc tính năng lượng là


nnfnNf )()
ˆ
( 

Ta tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là

   
   
NHTr
NNHTr
bbN
ˆˆ
exp
ˆ
.
ˆˆ
exp
ˆˆ
ˆ






(1.46)
Ta có:
   
 

1
0
.
ˆ
.
ˆ
.   
 
 
N
eTrNHTr
ˆ
ˆˆ
exp



   
 









ee
e
N

Đây chính là công thức xác định số hạt trung bình trong một trạng thái lượng
tử, nên ta có thể viết

1
1
)()(
)(



kT
e
fn


(1.47)
Đây chính là hàm phân bố Fermi - Dirac. Ý nghĩa của phân bố này là nó biểu
diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng

tại nhiệt độ T
Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này.
a) Tại T=0
0

)(
)(
F
F





Vậy khác với lý thuyết cổ điển, ngay cả tại T=0
0
K cũng có thể có trường hợp
tất cả các điện tử cùng nằm trên một mức năng lượng. Ở nhiệt độ 0
0
K, các điện
tử phân bố rất đặc biệt, mỗi một trạng thái ứng với mức năng lượng
F


đều
chứa một electron, còn các trạng thái
F


đều bỏ trống. Nếu kể đến spin thì
ứng với mỗi mức năng lượng sẽ có hai trạng thái lượng tử riêng biệt
2

s
. Khí



cho đến tận nhiệt độ phòng nên thực tế trong phân bố
Fermi - Dirac người ta thường dùng luôn
F

thay cho

và viết:

1
1
)(
)(



kT
F
e
f



- Khi

1)(

f
F

exp)(
đối với các mức cao
hơn nhiều so với mức Fermi thì xác suất lấp đầy giảm theo hàm exp (đây
chính là phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển).
- Khi

F

ta có vùng nhạy cảm.

20
88,0)(2
12,0)(2
2
1
)(






fkT
fkT
f
F
F
F

Có thể nói rằng, trong một vùng chuyển tiếp có độ rộng chỉ cỡ

5 0
K.
1.2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
1.2.3.1 Cách tình gần đúng đơn giản
Nhiệt dung của khí điện tử tự do lượng tử tuân theo định luật:

21

TC
el
V
~

Ta có thể rút ra định luật này từ nguyên lý loại trừ Pauli một cách đơn giản như
sau
- Nguyên lý Pauli làm cho ngay cả tại 0
0
K các điện tử cũng không phải
cùng nằm trên mức năng lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các
mức năng lượng liền nhau từ mức thấp nhất đến một mức cao nhất nào đó
gọi là mức Fermi (
)
F

.
- Khi tăng nhiệt đô, không phải tất cả các điện tử đều có thể thay đổi năng
lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các
mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các điện tử nằm ở các mức
năng lượng gần
F


3)(.2
2

(1.48)
Chú ý rằng theo công thức này
TC
el
V
~
, và như vậy đã khác xa công thức tính
el
V
C
theo lý thuyết cổ điển, vì lý thuyết cổ điển cho kết quả
constC
el
V

, không
phụ thuộc vào nhiệt độ. Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là:

Nk
T
CNkT
el
V
2
3
2

). Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn
(thông thường cỡ 10
22
- 10
24
/cm
3
). Khí electron tự do trong kim loại tuân theo
phân bố Fermi - Dirac. Do đó số electron trung bình trong một trạng thái lượng
tử bằng:

1
1
)()(
)(



kT
e
fn



Thế hóa học

phụ thuộc vào nhiệt độ T. Khi T

0 thì
.

.2
4
).(
)(




m
Vg

)(

g
là bội suy biến của mỗi mức năng lượng

.
Vì mỗi mức năng lượng

ứng với hai trạng thái
2
1
s
nên
212)(

sg

N
kT





0
2/1
32
2/3
1
2
)2.(




d
e
mV
kT

(1.50)

23
Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T là:







0
2/3
32
2/3
1
2
)2.(




d
e
mV
kT

(1.51)
Đặt
 
32
2/3
2
2.


2/3
1




d
e
E
kT
(1.53)
Xét các tích phân:





0
1
)(



d
e
F
I
kT
P
(1.54)













d
e
F
I
P
1
)( 









1
1
1





ee

Khi đó I
P
có dạng: