ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (vòng 2)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
Câu 1:
1. Cộng hai phương trình (1) và (2) theo vế, ta có: x
3
+ y
3
+ txy + y - x = 1 + y - x + xy + 7
 x
3
+ y
3
+ 6xy - 8 = 0  (x + y)
3
- 3xy(x + y) + 6xy - 2
3
= 0
 (x + y - 2)[(x + y)
2
+ 2(x + y) + 4] - 3xy(x + y - 2) = 0
 (x + y - 2)[x
2
- xy + y
2
+ 2(x + y) + 4] = 0
 x + y - 2 = 0 hoặc x
2
- xy + y
2
+ 2(x + y) + 4 = 0

2
+ 8(x + y) + 16 = 0
 (x + y)
2
+ 8(x + y) + 16 + 3(x - y)
2
= 0
 (x + y + 2)
2
+ 3(x - y)
2
= 0
 (x + y + 2)
2
= 3(x - y)
2

 x = y = -1.
Thay vào (1) không thỏa.
2. Giải phương trình:
2
x 3 1 x 3 x 1 1 x      
(1).
Điều kiện : - 1 ≤ x ≤ 1.
Phương trình (1) được viết lại là:
     
  
2
2
2













Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0.
Câu 2:
1. Trước hết ta chứng minh mọi s ố chính phương khi chia cho 3 chỉ c ó t h ể dư 0 hoặc 1.
Suy ra: Tổng hai số chính phương chia hết cho 3 khi và chỉ k h i c ả hai số cùng chia hết cho 3.
(1)  6 x
2
+ 9y
2
- 20412 = x
2
+ y
2
 3(2x
2
+ 3y
2
- 6804) = x
2


Thay vào (2), ta có:
   
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
3 2.9x 3.9y 6804 9x 9y 3 2x 3y 756 x y        
(3)
22
1 1 2 1 2
22
11
22
1 1 2
12
x 3 x 3x x 9x
x y 3
y 3 y 3y
y 9y



    

















Thay vào (4), ta có:
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 2.9x 3.9y 84 6x 9y 28 6x 9y 28 x y 5x 8y 28            
(5)
3
2
3
22
3 3 3
2
3
3
y0
y0
8y 28 y 3,5 y 1
y1
y1






    



Với y
3
= -1 thay vào (5) 
3
22
33
3
x2
5x 8 28 x 4
x2


    



Suy ra: (x
3
; y
3
)  {(2; 1), (2; -1), (-2; 1); (-2; -1)}.
Vì
1 2 3
1 2 3

2
  
. Khi x = y =
1
2
thì
P 17
.
Vậy GTNN của P là
17
.
Câu 3:
1. Chứng minh M, N, Q thẳng hàng.
Các tứ giác AMEQ, ANFQ, AMCB, ANBC nội t i ếp nên ta có:




QEA QMA NMA NCA EQ/ /FC   
.
Tương tự: FQ // EB  Tứ giác EPFQ là hình bình hành. Suy ra:
 

EQF EOF BPC
.
Ta lại c ó :





Suy ra: A, Q, P thẳng hàng.
Gọi giao của AP với BC là K.
Ta có:






IHJ BHC BPC FPE IHJ FPE    
Mà


0
IHJ IAJ 180




00
FPE IAJ 180 FPE FAE 180     
Suy ra: FPEA nội t i ếp.







EFP EAP EAQ EMQ EMN BMN BCN EF/ /BC      


      
   
   
1 2 k
1 2 k k 1 n
1 2 k k 1 n
k 1 n
1
a a a
a a a a a 0
2
1
a a a a a 1
a a
2




    


      



       



192
12
x
xx
0
2013 2013 2013
x
xx
0
2013 2013 2013

   




   


Á p d ụng bài toán trên, ta có:
192
1
192 1
x
x
2 2013
xx
2013 2013 192 96
    
(điều phải c h ứng minh)