Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức
1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của
BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :
Giải:
, bất đẳng thức này đúng do giả thiết
Đẳng thức xảy ra
2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Từ giả thiết . Ta có :
Đặt với ; có
P là hàm nghịch biến trong đoạn
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng
dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù
hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có:
Giải:
bất đẳng thức cần chứng minh đúng với .
Với , đpcm (1)
Ta có :

Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập
về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ
hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP
chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp
nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho .Tìm Min của:
Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1,
mâu thuẫn với đk
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài
toán.Khi a=3 thì và
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có
Khi đó kết hợp với đk ta có
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng
Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có
.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:
P= + + >=
Giải:
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng
.Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng
PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp
đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho
a=1 và b=9 ta được ngay:

Phương trình đã cho tương đương với :
Dạng IV)
Ví dụ 6:Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với:
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
Bài 1)
Bài 2)
Bài 3)
Bài 4)
Bài 5)
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ng y 20-02-2008à
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học
sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-
Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:

Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ
class="bi x0 y8b wc hd"

bất đẳng thức tên tuổi
| B i n y à à được '.boy148.' cho '.3.' điểm
1. BĐT Cô-si (AM-GM):
. Dấu bằng xảy ra khi
BĐT suy rộng: Cho là các số hữu tỉ dương mà
Cho dãy số không âm . Khi đó
2. BĐT Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý.
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
3. BĐT Svac-xơ:
Cho và là hai dãy số, trong đó với .
Khi đó
4. BĐT Trêbưsep:
Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm)
Ta có:
Dấu bằng có hoặc
Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp. Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé!
Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.
Khi đó
6. BĐT Nesbit:+3 biến: Cho . Khi đó
+4 biến: . Khi đó
+6 biến: . Khi đó
BĐT Minkowski:
Cho hai dãy số không âm và khi đó:
Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:
ĐỊ NH NGH Ĩ A GTLN,GTNN:
.M được gọi l giá trà ị lớn nhất của A nếu.


.ta thấy mỗi vế có 3 hang tử v ta có thà ể coi nó cùng “ bậc -1“ ta dung bđt
Cauchy
“p dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có;
cộng lại ta suy ra dpcm
dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi x=y=z.
Ví d ụ 4 : cho a,b,c dương.CMR:
.ta thấy rằng đây l dà ạng đặc trưng cho pp s i bà đt Cauchy hai lần
“p dụng bđt cauchy cho 3 số ta có:

dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi a=b=c.
Ví d ụ 5: tìm giá trị nhỏ nhất của M=
Ta có M+3=
=
“p dụng bdt Cauchy ta có:

Suy ra M+3
Suy ra M
M và ới a=b=c ta có
vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2.B Ấ T ĐẲ NG TH Ứ C BSC: mình ít s i bà đt n y là ắm lên ko r nhà .
*với 2n số
Ta có
dấu “=“ xảy ra khi v chà ỉ khi ( chú ý nếu thì
*VT l trà ị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP l tíchà modun.
*khi ta có tổng mà thì ta áp dụng bđt n yà .
Ví d ụ 1: CMR:

Ví d ụ 2:cho x,y v x+y=2 .Tìm GTLN cà ủa M=xy
Ta có y=2-x, v à
Sra M=x(2-x)=-x^2+2x,
M“=-2x+2
M“=0 tương đương x=1
BBT x | 0 1 2
M“| | + 0 - |
M | |0 >.1 >0|
vậy M đạt GTNL khi x=y=1 khi đó GTNL l 1.à
PH ƯƠ NG PH“P HÌNH H Ọ C :
*chú ý bđt về tam giác,quan hệ giữa cạnh huyền v cà ạnh góc vuông ,giữa đường
chéo và đường xiên,giữa cạnh v góc à đối diện.
*nhiều b i toán có dà ạng
Hay
Ta có thể l m bà ằng cách đặt toạ độ cho
Sao cho
rồi áp dụng bđt
ví d ụ 1: cho a+b=3 .CMR
đặt

Suy ra
“p dụng bđt
Suy ra
Suy ra ( vì a+b=3)
Ví d ụ 2: cho a,b,c dương v ab + bc+ca=abc .C MR:à

từ đk ta sra
bđt tương đương
đặt


2.cho a,b>0.CMR:
3.CMR;
4.cho a,b >0,a+b=2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M=
B i 5: à
1.cho x,y>0 .CMR:
2.cho x,y,z,t >CMR:
3cho x,y,z .CMR
4.cho x,y,z,t trong đó tồng hai số lớn hơn 1 số .CMR:
5.cho x,y,y CMR:
B i 6 :tìm GTNN v GTLN nà à ếu có của
1.y=3sin x-4cos x+5
2.
3.m=x+y ( với
4. tìm GTNN n= ( với x+y = 2)
5.y= với -2<x<1
6.y= với
B i 7:cho à .CMR:
B i 8:cho n>1.CMR:à
B i 9;Cho x,y,u,v thoà ả .CMR:
(*)
B i 10:cho a,b,c,d nguyên dà ương v a<b<c,a<dà
(**)
B i 11: cho a,b,c l các sà à ố hũư tỉ dương v à đôi 1 lớn hơn số thứ 3.CMR
(**)
B i 12: so sánh 2 bià ểu thức sau:
v à (**)
với m>p>0
b i 13: cho a+bà .CMR ;
bai 14; cho p,q ko âm v p+q=1.CMR:à

8. Cho 4 số thực: thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của:

9. Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm Min của:

10. Cho 2 số thực không âm . Tìm Max v Min cà ủa biểu thức:
.

11.Cho 3 số thực dương thỏa mãn =1.
CMR:12. Cho 3 số thực dương . CMR:

A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG:
ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số:
Bài làm
.a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9}
.b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9}\{a}
.c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9}|{a,b}
d=!a,b,c. suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{\{a,b,c}
Áp dụng qui tắc nhân ta có :9.9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2:Cho các số {0,1,2,3,4,5,6}
a.Hỏi có bao nhiêu số tư nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số kia.
b.tính tổng các số ở câu a
Bài làm
a*Chọn 4 trong số 7 số tự nhiên trên {0,1,2 6} sau đó hoán vị chúng,ta có số tự
nhiên có 4 chữ số và đôi một khác nhau( trong này có cả những số mà a=0)
*Chọn a=0,sau đó chọn 3 trong số 6 số {1,2,3,4,5,6} ta có số tự nhiên có

e có 5 cách chọn {0,2,4,8}
Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9.10.10.4.5=18000 số thỏa yêu cầu đề bài
b.
a=!0
TH1: Chọn a là 1 trong các số {1,2,4,5,7,8} suy ra a có 6 cách chọn
d chia hết cho 3 có 4 cách chọn{0,3,6,9}
b =!a,d có 8 cách chọn
c=!a,b,d có 7 cách chọn
e=!a,b,c,d có 6 cách chọn
suy ra Th1 có 6.4.8.7.6=8064 số
Th2:
Chọn a trong các số {3,6,9} suy ra có 3 cách chọn a
d có 3 cách chọn {0,3,6,9}\{a}
b=!a,d có 8 cách chọn
c=!a,b,d có 7 cách chọn
d=!a,b,c có 6 cách chọn
vậy Th 2 có 3.3.8.7.6=3024
Áp dung qui tắc cộng ; ta có 8064+3024=11088 số thỏa yêu cầu đề bài.
BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC:
Cho giác giác n cạnh ,trong đó ko có 3 đỉnh nào thẳng hàng;
a.hỏi có bao nhiê tam giác tạo thành từ các đỉnh của da giác
b,Đa giác này có bao nhiê đừong chéo
c.Biết ko có 2 đừong chéo nào đồng qui tại 1 điểm.Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các
đừong chéo.
Bài làm
a.lấy 3 trong n đỉnh cua da giác n đỉnh ( n cânh thì có n đỉnh) ta đựoc 1 tam giác suy ra có
tam giác là tam giác
b.lấy 2 điểm bất kí ta đựoc 1 đừong chéo hoặc cạnh
vậy tổng số cạnh và đừong chéo là
suy ra số đừong chéo là đừong chéo