SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
Đ Ề THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
MÔN THI: TOÁN
(Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức:
xxx
xx
xx
xx
x
x
P
+
+
−
−
−
+
+
=
2
122
( )
.1;0 ≠> xx
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi
223−=x
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) Chứng minh HAM = HBO
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
2
3
1
1
1
1
1
1
222
≥
+
+
+
+
+ cba
Hết
Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………………
SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN CHUNG

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1a
2 2 1 1x x x x x
P
x x x x x

0,5
2 2 2 2 2
2
x x x
x x
+ + +
= + =
0,25
1b
Ta có
3 2 2 2 1x x= − ⇒ = −
0,25
Thay vào biểu thức
( )
2
2 2 1 2
2 1
P = − + +
−
0,25
Tính được kết quả
4 2 2P = +
0,25
1c
Đưa được
7 7
2 2 2
x
P
x x

x

=

=


= + + ⇔ − + ⇔ ⇔


=
=



0,25
2a
Khi
1m
= −
ta có phương trình
2
2 8 0x x+ − =
0,5
Giải phương trình ta được hai nghiệm:
1 2
2; 4x x= = −
0,5
2b
Tính được

Giả sử
( )
2
1 2
x x=
thay vào (2) ta được
( )
2
2 1
1; 1x m x m= − = −
0,25
Thay hai nghiệm
1 2
;x x
vào (1) ta được
( ) ( )
2
2
0
1 1 2 3 0
3
m
m m m m m
m
=

− + − = ⇔ − = ⇔

=


, phương trình trở thành:
( )
( )
3 2 2
1
2 3 1 0 1 2 1 0
1
2
t
t t t t t
t
=


− + = ⇔ − − − = ⇔

=

0,25
Trường hợp:
1t
=
ta có
2
2 9x x= +
(vô nghiệm)
0,25
Trường hợp:
1
2


(hoặc
·
· ·
·
;AFF AHE AHE ABC= =
suy ra
·
·
AFE ABC=
)
0,25
Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 0,25
Từ tỷ số đồng dạng
AE AF
AC AB
=
ta có AE.AB = AC.AF
0,25
4b Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. 0,25
Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25
Suy ra
OHM OFM
∆ = ∆
(c.c.c) 0,25
Từ đó
·
0
90MFO =
, MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

·
HBO HAM MHK= =
, suy ra BO // HK
0,25
Mà
HK AM⊥
, suy ra
BO AM
⊥
, suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25
5 Giả sử
a b c≥ ≥
, từ giả thiết suy ra
1ab ≥
. Ta có bất đẳng thức sau:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
1
1 1 2
0
1 1 1
1 1 1
a b ab
a b ab
a b ab
− −



hay
3 3a b c abc+ + ≥ ≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
1a b c= = =
0,25
Cho các số dương
, ,a b c
thỏa mãn
3a b c
+ + =
.Chứng minh rằng:
2 2 2
3
2
3 3 3
ab bc ca
c a b
+ + ≤
+ + +
5
Ta có
( )
2
3
3
a b c
ab bc ca ab bc ca

 
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0,25