TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LƯƠNG VĂN TỤY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 5 câu trong 1 trang giấy
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình:
2 2 2
5 5 5
8
( , , )
( ) ( ) ( ) 960
x y z
x y z
x y y z z x

+ + =

∈

− + − + − =


¡
.
Câu 2 ( 4 điểm): Cho dãy số
( )
n
a

90BAC
≠
) có H là trực tâm và M là trung điểm
của BC. P là một điểm thuộc đường thẳng HM, đường tròn (K) đường kính AP cắt AC,
AB lần lượt tại E, F khác A. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại E, F của (K) cắt nhau trên
trung trực BC.
Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số
:f
→
¡ ¡
thỏa mãn:
1 1
( ( )) ( ) ( ) , ,
2 2
f x xy f y f x f y x y
  
+ + = + + ∀ ∈
 ÷ ÷
  
¡
.
Câu 5 ( 4 điểm): Gọi
1 2

n
a a a
với
{ }
2;0
i

∈

− + − + − =


¡

Đặt
5 5 5
P ( ) ( ) ( )x y y z z x
= − + − + −
.
Do vai trò của x, y, z trong biểu thức
P
như nhau, không mất tính tổng quát,
có thể giả sử
x y z
≤ ≤
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
( ) 2 0 ( ) 2( ) 16 4z x y z x x y z z x
+ + ≥ ⇔ − ≤ + + = ⇔ − ≤
Bổ đề: Cho
, 0a b
≥
. Khi đó:
5
5 5
4

.
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
2, 0, 2x y z= − = =
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-2;0;2) và các hoán vị của nó.
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu 2 ( 4 điểm): Cho dãy số
( )
n
a
xác định như sau:
1 2
2
1 1 2 1
5, 6
( 1)(2 1) (( 1) 1)(( ) 2 1), 2
n n n n
a a
a a a a n a n n a n n
+ −
= − = −


= + + + − + + + + ∀ ≥


Chứng minh rằng nếu với mỗi số tự nhiên n có số nguyên tố p là ước của

. Vì vậy,
2 , 1
n
a n∀ >
.
Ta có:

1 1 1
1 1
(( 1) ) ( 1) , 2
( 1) 1 ( 1)( ( 1) ) 1
n n n n n n n
n n n n
a a B n b n a nB n B n
n a n a nB n B
+ − −
+ −
= + + + = + + + ∀ ≥
⇒ + + = + + + + +
2 2
1 1
( 1) 1 ( ) ( 1)
n n n n
b n a n n B n B
+ −
⇒ = + + + + + +
2 2 2
1 1
( 1) . ( ) . ( 1)
n n n n n n n n

1 1 1
1 1
( 1) 2( 1)
4 4
1
( 1)
2 2 4
n n n n n n n
n
n n n n n n
B n B a B n B a nB
n a
B n B B B nB a
+ + + −
+ − −
− + + = − + + +
 
= − + + + = − +
 
 
Suy ra:

( ) ( )
( )
2
2
1 2 1 2
2
1
1 1

p B p nB a
−
⇒ + −
.
Vậy tồn tại số nguyên m thỏa mãn
2
5p m
−
(đpcm).
1đ
1đ
Câu 3 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC(
·
0
90BAC
≠
) có H là trực tâm và M là trung điểm
của BC. P là một điểm thuộc đường thẳng HM, đường tròn (K) đường kính AP cắt AC,
AB lần lượt tại E, F khác A. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại E, F của (K) cắt nhau trên
trung trực BC.
Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến với (K) tại E, F. Y, Z theo thứ tự là giao
điểm của CH, BH và CA,
AB. (N) là đường tròn
đường kính AH, S là
giao điểm thứ hai của
(K) và (N). Có hai
trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1. P trùng
với H. Dễ thấy
,E Y F Z

Từ (3), (4) suy ra:
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )(mod )
( , ) (S ,SH) 0(mod )
TM AH TM FZ FZ AH
SM SZ AZ AH
SH SZ Z
π
π
≡ +
≡ +
≡ + ≡
Vậy
TM AH BC
⊥
P
.
Nói cách khác, tiếp tuyến tại E, F của (K) cắt nhau trên trung trực BC.
1đ
Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số
:f
→
¡ ¡
thỏa mãn:
1 1
( ( )) ( ) ( ) , ,
2 2
f x xy f y f x f y x y
  
+ + = + + ∀ ∈

f f− + = ⇒ − = −
Ta sẽ chứng minh:
1
( ) 0 1
2
f x x+ = ⇔ = −
.
Thật vậy, giả sử tồn tại
1a ≠ −
sao cho
1
( )
2
f a
−
=
.
Trong (1) chọn
y a=
ta có:
1
( ) 0,
2
f ax x x+ − = ∀ ∈¡
.
Mâu thuẫn vì
f
không là hàm hằng. Do đó ta có:
1a = −
.

1 1 1 2 2
f y f y f y
f y f y f f y
y y y
 
− − − − − −
 ÷
 
 ÷+ + = + +
 ÷
+ + +
 
 ÷
 ÷
 
1
( )
1 1 1
2
( ) 0, 1
1 2 2 2
f y
f f y f y
y
 
 
− −
 ÷
 ÷
−

− − − −
 ÷
 ÷⇒ = − ∀ ≠ − ⇔ = − ∀ ≠ −
+ +
 ÷
 ÷
 
⇒ = + ∀ ≠ −
Do
1
( 1)
2
f − = −
nên
1
( ) ,
2
f x x x= + ∀ ∈¡
.
Thử lại ta có hàm số cần tìm là
1
( ) ,
2
f x x x= + ∀ ∈¡
.
1đ
Câu 5 ( 4 điểm): Gọi
1 2

n

2
x
là số phần tử ở xâu K ( K ở vị trí thứ hai trong (*)) ,
2
1x
≥
.
…
Gọi
2k
x
là số phần tử ở xâu K ( K ở vị trí cuối trong (*)) ,
2
1
k
x
≥
Ta có :
1 2 2
30
k
x x x
+ + + =
.
Theo bài toán chia kẹo Euler : Số xâu có độ dài 30 và chứa k xâu OLIMPIC
trong trường hợp 1 là
2 1
29
k
C

1đ
Người ra đề: Nguyễn Trường Sơn
ĐT: 0974 515 696