Lời nói đầu
Trong phong trào thi đua phát huy sáng kiến, chắc hẳn ai cũng biết có
nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề cha cao, tuổi đời
còn rất trẻ nhng do suy nghĩ, tìm tòi đã có những sáng kiến tiết kiệm cho
nhà Nớc hàng chục tỉ đồng. Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo. Trong
dạy học toán cũng vậy, chúng ta không chỉ dạy cho học sinh y nh trong
sách, hoặc chỉ cho học sinh làm một số bài tập lấy ra từ một cuốn sách
nào đó. Nh thế cha đủ, khi dạy hoặc học đến một phần nào đó ta phải suy
nghĩ tìm tòi, suy rộng ra vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và
trên cơ sở liên quan đó có thể rút ra những điều bổ ích.
Trong dạy và học toán nó cũng giống nh trong đời sống nói chung, có
những vấn đề tởng chừng nh đã quá quen thuộc, ta tởng nh chúng đã quá
tõ ràng không có gì đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực ra trong đó vẫn
chứa đựng những vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ vẫn còn nhiều điều đáng
chú ý, đáng nghiên cứu. Thí dụ nh trong chơng trình đại số cấp THCS có
gì quen thuộc hơn " Bảy hằng đẳng thức" !?. ứng dụng của nó là không
nhỏ. Tuy nhiên có những ứng dụng của nó mà ta cha may may nghĩ tới,
cũng có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng của
nó.
Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu một ứng dụng của
hai hằng đẳng thức đầu tiên dó là
" S dng hng ng thc (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
gii phng

cũng cha có tài liêu nào giới thiệu cho giáo viên và HS các phơng pháp
biến đổi để ứng dụng hai HĐT này vào giải phơng trình, trong lúc đó ch-
ơng trình toán THCS, giải phơng trình lại là một dạng toán cơ bản và khó,
thờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có
rất nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa
về phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc hai
Trong đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
thì việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả. Chính
vì lẽ đó tôi đã rút ra đợc một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai
hằng đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục
vụ cho công tác giảng dạy của mình.
Sau nhiều năm đa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc
sử dụng HĐT (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
vào giải phơng trình có rất nhiều u

Trong chơng trình toán THCS, các bài toán giải phơng trình ( hoặc bài
toán tìm x, y, a, b,) lại là một dạng toán cơ bản thờng đã có thuật toán
giải, nhng cũng có bài toán giải phơng trình nếu không đợc trang bị một
số phơng pháp giải thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc tìm lời giải,
đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có rất
nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa về
phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc haiTrong

3
đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
thì việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả. Chính vì lẽ đó
tôi đã rút ra đợc một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai hằng
đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho
công tác giảng dạy của mình.
Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B

năng giải các PT đơn giản hơn.
Iv/ các biện pháp đã tiến hành
Đề tài " Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải ph-
ơng trình " đợc nghiên cứu dựa trên những dạng bài tập thờng gặp,
thông qua tìm tòi sáng tạo bản thân tôi đã vận dụng và hớng dẫn học

4
sinh khối 8;9 vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút ra dạng
toàn cơ bản sau:
Dạng 1: Phơng trình quy về dạng
(A

B)
2
= 0

(A

B) = 0
Dạng 2: Phơng trình quy về dạng
(A








=
=
=
0
0
0
FE
DC
BA
Dạng 4. Nghiệm nguyên quy về dạng
(A

B)
2

p với A,B là các số nguyên và p nguyên dơng.

Dạng 1:Phơng trình quy về dạng
(A

B)
2
= 0

4
+ x
2
- 2) + 1 = 0


( x
4
+ x
2
)
2
- 2(x
4
+ x
2
) + 1 = 0


( x
4
+ x
2
- 1)
2
= 0


x
4

=
2
51
< 0 ( loại vì không
thoả mãn điều kiện t > 0 ). Lúc này do đặt x
2
= t nên ta có x
2
=
2
51+


x =


2
51+
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
=
2
51+
; x
2
= -
2

- 20










1
4
2
2
x
x
= 0 (2)
Lời giải: Điều kiện x

1
Đặt






+








+

1
2
x
x
=
1
2

+
x
x


2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )


2x
2
- 6x + 4 = x
2
+ 3x + 2


3
+x
(3)
Lời giải: Điều kiện: x
1
.
Thêm và bớt x ở vế trái của (3) để xuất hiện hằng đẳng thức, lúc đó (3)

x+1 + x
2
- x + 1 - 2
)1)(1(
2
++ xxx
= 0

(
1+x
)
2
- 2
)1)(1(
2
++ xxx
+ (
1
2
+ xx
)
2

= 2 ( thảo mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của PT(3) là:
{ }
2;0
Dạng 2
Phơng trình quy về dạng
(A

B)
2
= (C

D)
2





=
=
)( DCBA
DCBA
Ví dụ 4 : Giải phơng trình: x
4
= 24x + 32 (4)
Lời giải: Thêm 4x
2
+ 4 vào hai vế của phơng trình (4) ta đợc:
x



==+
=
)(082
)(042
2
2
iixx
ixx
Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = 1
5
.
Phơng trình (ii) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của PT (4) là:
{
51+
; 1+
5
}
Dạng 3
Phơng trình quy về dạng

7
(A
B
)
2
+ (C
D

Lời giải: Điều kiện x
2
; y
3
; z
5
PT(5)

x-2-2
2x
+1 +y - 3 - 4
3

y
+ 4 + z - 5 - 6
5z
+ 9 = 0

(
2x
- 1)
2
+ (
3

y
- 2)
2
+ (
5z




=
=
=
35
23
12
z
y
x








=
=
=
95
43
12
z
y
x


- 2xy + x + y - 10 = 0 (6)
Lời giải: PT(6)

2( x
2
+ y
2
) -2xy + x + y - 10 = 0


2( x + y )
2
- 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0


2( x + y )
2
- 6xy + x + y - 10 = 0
Đặt S
1
= x + y ; S
2
= xy thì ta có phơng trình:
2S
1
2
- 6S
2
+ S
1


S
2



4
2
1
S
Do đó
6
1
( 2S
1
2
+ S
1
- 10)


4
2
1
S

8
S
1
2

( 2S
1
2
+ S
1
- 10) là một số nguyên thì ta chỉ chọn đợc:



=
=
3
4
2
1
S
S

hoặc



=
=
0
2
2
1
S
S

THCS. Vỡ vy ó gõy rt nhiu khú khn cho vic ỏnh giỏ hiu qu ca
ti. Tụi ó ngh ra cỏch ra bi kim tra( khụng a vo ỏnh giỏ hc tp
ca hc sinh, m ch dựng ỏnh giỏ hiu qu ca ti) trong ú c lng
ghộp cỏc bi tp l cỏc dng toỏn gii phng trỡnh ó nờu trong ti.
Bng thng kờ im kim tra khi cha s dng ti lp 9
nm hc 2008-2009
Bng 1
im 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S hc sinh t c 0 1 3 3 7 10 6 3 1 1 0
T l (%) 0 2.8 8. 8. 21.6 28 16. 8. 2. 2. 0

9
4 4 8 4 8 8
Điểm trung bình
của lớp ( sĩ số: 35)
x
_
=
35
1.91.83.76.610.57.43.33.21.1 ++++++++
= 4,8
Từ bảng 1 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp chỉ đạt 4,8 điểm.
Số học sinh đạt điểm thấp còn nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm dưới trung bình.
Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 9
năm học 2009-2010:
Bảng 2
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số học sinh đạt được 0 0 0 1 4 15 7 3 1 1 0
Tỉ lệ (%) 0 0 0 3.1 12.4 46.9 22.1 9.3 3.1 3.1 0
Điểm trung bình

- Dựa vào bảng 3 ta có thể thấy rõ hiệu quả của việc sử dụng đề tài:
- Loại giỏi tăng: 0.3%.
- Loại khá tăng: 1.2%.
- Loại trung bình tăng: 24.2%.

10
- Loi yu gim: 14.5%
- Loi kộm gim: 8.1%
- c bit im trung bỡnh chung ca c lp ó tng 1.6 im.
Kết luận
Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng trình bày
4 dạng bài giả phơng trình bằng cách sử dụng HĐT (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
. Mỗi dạng toán nh vậy có ít nhất là hai ví dụ minh hoạ cơ bản.
Có những ví dụ tôi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện
so sánh và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng
tự.
Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trớc hết chúng ta cần
cung cấp cho học sinh một cách tuờng minh các khái niêm mới mẻ mà
trong chơng trình SGK cha đề cập tới . Đồng thời mỗi dạng toán nh vậy

11
cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen

5/ Sách " Toán nâng cao THCS " của tác giả Phan Văn Đức
do NXB Đại học quốc gia TPHCM xuất bản
MC LC
Ni dung Trang
Li núi u 3
Lớ do chn ti . 5
Ni dung ti 7
Kt lun 17
Ti liu tam kho 19

13

14