TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2001 – 2012
Biên soạn L
A
T
E
X
Mai Mẫn Tiệp
Email
[email protected]
Homepage
maimantiep.wordpress.com
Lưu hành nội bộ
Cần Thơ, 2013
VIETMATHS.NET
TỔNG HỢP ĐỀ THI
TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC
ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012
L
A
T
E
X by Mẫn Tiệp
∗
Ngày 5 tháng 12 năm 2013
Lưu ý

V
x y z d x d y dz
với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤z ≤ x y
Câu 2 (2,0 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y dl
với L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 −x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm A(0;1;0) đến B(1;0;1)
Câu 3 (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = 2x
3
+ 12x y −6y
2
+ 3
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

+ 4y

+ 4y = 2e
2x
(x
2

1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho miền D giới hạn bởi y = x
3
, y = x ≥0. Hãy
• Biểu diễn miền D
• Tính diện tích của D
• Tính I =
¨
D
(x
2
+ y
2
)d x d y
2
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.3 Giải tích, năm 2001
Câu 2 (1,5 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
C
(4x
2
−4y
2
)d x + (ln y −8x y )d y
với C = C
1
∪C
2


(0) = 15
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =

f ∈C [0,1] : |f (x )|< 6 ∀ x ∈[0,1]

∩

f ∈C [0,1] :
ˆ
1
0
f (x ) d x ≥5

không mở, không đóng trong C [0,1]
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
f (t ) =
ˆ
1
0
e
−[t −f (s)]
2
d s
có nghiệm duy nhất f ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
1.3 Giải tích, năm 2001
Câu 1 Cho hàm u( x , y ) = lnsin
x

2n
(2n + 1)
Câu 5 Cho T f =
ˆ
1
−1
t |t |f (t ) d t , với mọi f ∈ [−1;1]. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính,
liên tục từ [−1;1] vào . Tìm ||T ||
Câu 6 Cho D =

(x ; y ; z ) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ x y + y z + z x ≤1

. Chứng minh rằng D compăc trong

3
———————————HẾT———————————
3
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
1.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
1.4 Giải tích, năm 2002
Câu 1 Tính cực trị (nếu có) của f (x , y ) = y
2
x + 2x
2

2
d x
Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong 
2
với A =

(x ; y ) : x
2
+
3
2
x y + y
2
≤1

———————————HẾT———————————
1.5 Giải tích, năm 2003
Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂
n
→ trong đó D
là tập đóng giới nội. Áp dụng với f (x , y, z) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng
Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞

n=1
(2x + 1)
n
2n.3
n
Câu 3 Tính I =

nghiệm duy nhất y ∈[0;1]
Câu 6 Cho toán tử T : [−1;3] → với T f =
ˆ
3
−1
x (x −2)f (x ) d x , ∀ f ∈[−1; 3]
a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục
b) Tính ||T ||
Câu 7 Trên không gian [a ;b ],a < b đặt ||f ||
1
=
ˆ
b
a
|f (t )|d t , f ∈[a; b ]
a) Chứng minh rằng ||.||
1
là một chuẩn
b) Chứng mình rằng [a ;b ] với chuẩn ||.||
1
là không đầy đủ
———————————HẾT———————————
4
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.6 Giải tích, năm 2004
1.6 Giải tích, năm 2004
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: f (x , y ) = (x
2
+ y
2

hội tụ thì lim
n→∞
na
n
= 0
Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân: y

−4y

+ 3y = x
2
+ 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu
y (0) = 2, y

(0) = 10
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A =

f ∈[0;1],||f ||≤5 và
ˆ
1
0
f (x ) d x ≥2

là một tập mở
trong [0;1] với ||f ||= max
0≤t ≤1
|f (t )|
Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn:
x (t ) = 3t + 2
ˆ

∞

n=1
(−1)
n−1
(x −5)
n

n
Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3y

+ y

−4y = e
2x
(x −1)
Câu 6 Cho A =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x ≥0, x + y + z < 1

. Chứng minh rằng A không mở, không đóng
trong 
3
Câu 7 Đặt f (x ) = x
3
−2 và T x = x −
f (x )
f


trong đó L là nửa đường elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 với y ≤0, a > 0, b > 0
b) Cho D =

(x ; y ) : x
2
+ y
2
≤2y

, tính tích phân kép
I =
¨
D
(x + y )
2
d x d y
Câu 2 .
a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân
A =


f ∈[0;2] :
ˆ
1
0
f (x ) d x < 5

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈[0; 2]
f (t ) = 30t + 3 + 5
ˆ
2
0
e
−[t −f (s)]
2
d s
———————————HẾT———————————
1.9 Giải tích, năm 2006
Câu 1 Tính tích phân
I =
ˆ
2
0
ˆ

4−y
2
0
(4 −x
2

a) y

+ 4y

+ 4y = 2e
2x
(x
2
+ 2x + 10)
b) (x
2
+ y
2
+ x ) d x + y d y = 0
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong [0;3]. với
A =

f ∈[0;3] : |f (x )|< 7 ∀ x ∈[0;3]

∩

f ∈[0;3] :
ˆ
2
1
f (x ) d x < 5

Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f

(t ) = 4t +3+ 5 cos[f (t )]

)d x + (ln y −4x y )d y
với L là đường nối hai điểm A(−1;1) và B(4; e )
Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = (x −2)ln x y
7
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

−6y

+ 9y = e
2x
(x
2
+ 5)
Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C [0,1] của tập hợp
A =

f ∈C [0,1] :
ˆ
1
0
f (t )d t ≥4 : f (0) = f (1) = 0

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với λ ∈

0,
1

C
(x
2
+ y
2
)(x d x + y d y )
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
(x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
(x
2
− y
2
)
Hãy
• Tính diện tích của miền D
• Tính tích phân I =
¨
D
x y d x d y
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = x
3
+ y

e
−[t −f (s)]
3
d s có nghiệm duy nhất
f ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
8
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường loại hai dọc theo C là các cạnh của tam giác nối các đỉnh
O (0; 0), A(2;0), B (0;2)
I =
ˆ
C
x
2
y (y d x + x d y )
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
D =

(x ; y )|π
2
≤ x
2
+ y
2
≤4π
2


Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình y

= x +
1
2
cos(x y (x)) ; y (0) = 0 có nghiệm duy
nhất y ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y − x y và tập D =

(x , y ) ∈R
2
: 0 ≤ y ≤1, y ≤ x ≤

2y − y
2

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D
b) Tính tích phân I =
¨
D
f (x , y ) d x d y
Câu 2 Tính tích phân đường: I =
ˆ
(3,2)
(−2,1)
e
x −y

Câu 4 Cho không gian metric (X ,d ) và A ⊂X . Đặt diam(A) = sup
x ,y ∈A
d (x, y )
Chứng minh nếu A là tập compact thì tồn tại a,b ∈ A sao cho diam(A) = d (a, b )
Câu 5 Chứng minh A =

f ∈C
[0,1]
: max
x ∈[0,1]
f (x ) ≤1

là tập đóng
Câu 6 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi A x (t ) = x (t ) + x (1 −t ) với x ∈C
[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
———————————HẾT———————————
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x, y ), z > 0, xác định bởi phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2

+ z
2
= a
2
(a > 0) và z = 0. Tích
phân mặt lấy theo phía ngoài của S
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân

y +
2
x
2

d x +

x −
3
y
2

d y = 0, y (1) = 1
b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình
y

+ 3y

+ 2y = x (e
−x
−e


là tập compact
Câu 7 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi A x (t ) = 2
t
.x (t ) với x ∈C
[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
———————————HẾT———————————
10
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2 Đề thi môn Đại số
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01
Câu 1 Cho G là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của G
là một nhóm con của G . Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao?
Câu 2 Giải phương trình sau trong 
488
68x −60 = 620
Câu 3 Trong [x ], xét hai đa thức
f (x ) = (x −1)(x
2
+ 1) và g (x ) = x
3n
−x
2n
+ x

Câu 5 Trong không gian 
3
cho các véctơ
u
1
= (1,1,2); u
2
= (0,1,1); u
3
= (0,1,2);
và toán tử tuyến tính f (x , y , z ) = (x − y + z, 2x −3y , 2x − y + 4z )
a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )
b) Chứng minh B = (u
1
; u
2
; u
3
) là một cơ sở của 
3
và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =


2 2 1
1 3 1
1 2 2


a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A

+ 7x
5
+ 10x
4
−35x
3
−120x
2
−108x −16
a) Viết khai triển Taylor của f (x ) tại x
0
= −2
b) Phân tích f (x ) thành tích các đa thức bất khả qui trên 
Câu 4 Trong không gian R
4
cho các vectơ
u
1
= (1,2,1,−3), u
2
= (2,3,−2,5), u
3
= (1,1,0,2);
v
1
= (2,3,−1,5), v
2
= (1,2,−2,3), u
3
= (5,8,−5,13)

3
cho các vectơ
u
1
= (1,1,2); u
2
= (0,1,1); u
3
= (0,1,2);
v
1
= (2,9,−3); v
2
= (0,3,−3); u
3
= (1,7,−4);
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính f trên 
3
thỏa mãn f (u
k
) = v
k
với
mọi k = 1,2,3 và xác định biểu thức của f
b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =


3 2 1
0 2 0

12
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
A. Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 Trong không gian vectơ M (2,2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên R , cho
E =

M =

a 0
b a + b

;a , b ∈R

và H = Sp

v
1
=

1 0
1 2

, v
2
=

0 1
1 0

2
(x ) và phép biến đổi tuyến tính
T : P
2
(x ) → P
2
(x ) xác định bởi T (1) = 3 + 2x + x
2
, T (x ) = 2, T (x
2
) = 2x
2
a) Tìm KerT và ImT
b) Biết  = {1;1 + x ;1 + x
2
} là cơ sở của P
2
(x ). Tìm ma trận của T đối với cơ sở , từ đó tìm
đa thức p ∈ P
2
(x ) sao cho [T (p)]

=


4
2
1



là một nhóm cyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau
Câu 5 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị, và P là một ideal của X . Chứng minh rằng X /P là
miền nguyên khi và chỉ khi P là ideal nguyên tố
Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong [x ]
f (x ) = x
4
+ 5x
3
−2x
2
−6x + 3
———————————HẾT———————————
13
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3 Đề thi môn Phương pháp
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1
Câu 1 .
a) Theo R. Marzano, khi dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực hiện theo các bước nào?
Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau trong chương trình Hình học 10
b) Cho bài toán: “Trong mặt phẳng O x y , cho 4 điểm A(2;2), B(4;4), C (1;a
2
) và D (−1;a). Tìm
a sao cho tứ giác ABC D là một hình bình hành”
Một học sinh giải như sau:
“ABC D là hình bình hành ⇔
−→
AB =
−−→
D C

x
2
−16 = 0 ⇔

x −3 = 0

x −16 = 0
(2) ⇔

x = 3
x = ±4
14
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP 3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03
Câu 2 .
a) Hãy nêu các ý nghĩa khác nhau của khái niệm hàm số
b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “giá trị của hàm số”, “giới hạn
của hàm số”, và “hàm số liên tục”
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Giải phương trình:

8 + x = 4 −

x ”
Câu 4 Vận dụng quan điểm hàm số giải bài toán sau đây: “Giải hệ phương trình



(x
6

x

x + 1 −1
< 3 ”
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho bài toán: “Trong tập số thực, chứng minh rằng phương trình (ẩn x ):
4x
x
2
+ 1
=
(a + 1)(a −1) −a + 4

a (a −1) + 2
vô nghiệm với mọi a ”
Hãy giải và khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số
———————————HẾT———————————
15
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02
Câu 1 Nếu dạy học một định lí toán học có khâu nêu giả thuyết thì quá trình dạy học cần được tổ
chức như thế nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau đây
“Nếu a ,b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì b =
a + c
2
”
Câu 2 .
a) Trong quá trình dạy học khái niệm toán học, trong những khâu nào giáo viên có thể yêu cầu học
sinh thực hiện hành động so sánh?

+ a +
1
a
2
+ a + 1
≤1 (2)
(2) ⇔a
2
+ a + 1 +
1
a
2
+ a + 1
≤2
⇔(a
2
+ a)
2
≤0 vô lí
Vậy (1) đúng với mọi a ”
Hãy nêu nhận xét về lời giải trên
———————————HẾT———————————
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03
Câu 1 .
a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng cho dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạy
học theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh
b) Hãy dạy học định lý sau đây:
“Cho cấp số cộng (u
n
). Đặt S


0 và

n vuông góc với vectơ
chỉ phương của ∆” (Hình Học 10)
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Trong tập số thực, giải bất phương trình:
8
x
+ 2
x
−11 + 2
5

x −1
5

x −1 −1
≥1”
Câu 4 Cho bài toán: “Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thực α
3
2
=
1
2

sin
4
α + cos
4

2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Đề thi môn Phương pháp 14
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17
VIETMATHS.NETVIETMATHS.NET