HÌNH HỌC
11
GV: PHAN NHẬT NAM
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN
A
I(-1; 0)
O
D(1; 0)

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
I . Các ký hiệu và thuật ngữ của phép biến hình :
1. Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là
f
thì ta viết
')( MMf 
khi đó M’ được gọi là ảnh
của M qua phép biến hình
f
.
2. Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và
f

là phép đồng nhất.
4. Phép giời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Giải sử
f
là một phép biến hình tùy ý :
Nếu
''MN M N
thì
f
là một phép dời hình:
Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho phép biến hình
f
:

a. Chứng minh
f
là phép dời hình.
b. Tìm ảnh của đường thẳng
: 2 5 0xy   
qua phép dời hình
f

c. Tìm ảnh của đường tròn
   
22
( ): 1 2 2C x y   
qua phép dời hình

: M(x; y)
M’(x’; y’) =
:
M’=
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com Ta có:
 
11
' 3; 1M x y
,
 
22
' 3; 1N x y

       
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
' ' ( 3) ( 3) ( 1) ( 1)M N x x y y x x y y MN            

Do đó
f
là một phép dời hình
 
dfcm

b. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của

qua phép dời hình
f
là
': 2 4 0xy   

Cách 2: (Sử dụng tính chất của đường thẳng)
Chọn 2 điểm phân biệt M(5; 0), N(1; 2) thuộc đường thẳng
: 2 5 0xy   
khi đó ta có:
Gọi
' ( ) 'f    
đi qua hai điểm M’(2; 1) và N’(-2; 3)

'(2;1) '
21
': ': 2 4 0
42
' ' (4; 2)
M
xy
xy
co VTCP N M




        

' 3 ' 3
' 3; ' 1
' 1 ' 1
x x x x
M x y
y y y y
   

   

   


Vì
2 2 2 2
( ) ( ' 3 1) ( ' 1 2) 2 ( ' 4) ( ' 3) 2M C x y x y            22
' ( '):( 4) ( 3) 2M C x y     

Cách 2: (Sử dụng tính chất đường tròn)
Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính
2R Gọi C’(I’,R’) là ảnh của (C) qua phép dời hình
f
khi đó ta có:
' ( )I f I

   

   


Vì
2 2 2 2
( ' 3) ( ' 1) ( 3) ( 1)
( ) 1 ' ( '): 1
3 2 3 2
x y x y
M E M E
   
       

Vậy ảnh của (E) qua phép dời hình
f
là
22
( 3) ( 1)
( '): 1
32
xy
E



5. Tính chất của phép dời hình:
a. Định lý : Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số
khoảng cách của chúng. Biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.

f
.
Từ đó xét xem
f
có phải là phép dời hình không.
ĐS: A’(4; 3) , B(-4; -4), C(-7; -7).
f
: Không phải là phép dời hình.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

Đây có phải là phép dời hình không? Vì sao?
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

:
M’=
:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

( ): 1 2 4C x y   

ĐS:
   
22
( '): 2 3 4C x y   

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

a. Chứng minh rằng
f
là phép dời hình.
b. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0
c. Tìm ảnh của đường tròn
   
22
( ): 3 1 2C x y   

d. Tìm ảnh của parabol
2
( ): 4P y x

ĐS: d’: x – 2y – 2 = 0,
   
22
( '): 2 1 2C x y   
,
   
2
( '): 2 4 1P y x  

rồi
g
(tức là tìm
 
'A f g A


)

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Cơ sở lý thuyết :
1. Định nghĩa :


byy
axx
'
'

3. Tính chất của phép tịnh tiến :
i. Định lý : Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tức là :
v
T
: M M’
N N’

MN = M’N’
{ hơn nữa khi đó ta có :
''NMMN 
}
ii. Hệ quả :
 Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của
chúng.
 Phép tịnh tiến theo vectơ
v
biến :
 Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
 Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.
 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó
ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}.
B. Các dạng toán thường gặp :
I. Các bài toán tọa độ :
1. Xác định pt ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ



Phương pháp 2:
 Chọn hai điểm M(x
0
; y
0
) , N(x
1
; y
1
) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x
0
’ ; y
0
’) và N’(x
1
’ ; y
1
’) là ảnh của M và N qua phép tịnh tiến
v
T
.
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’
''
'
''
'
:)'(

v
T
.
 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R :
   
2
2
0
2
0
'':)'( RyyxxC 

3. Xác định pt ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ
);( bav
:
 Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H):
0),( yxf
.
 Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến
v
T

)';'(
'
'
byaxM
byy
axx



1
94
xy


d. Viết phương trình ảnh của (H) :
22
1
16 9
xy


Giải:
a. Gọi
( ; )M x y a
. Xét tịnh tiến

M’(x’ ; y’)
: M(x ; y)
a
a’
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Theo biểu thức tọa độ ta có:
' 1 ' 1
( ' 1; ' 2)
' 2 ' 2
x x x x
M x y

) {vì b cùng phương với
 
1; 2u 
}
b.
     
22
' 1 ' 2 4 ' 1 ' 2 1 0x y x y        
hay (C’):
22
6x 5 10 0x y y    

c.
       
2 2 2 2
' 1 ' 2 1 2
1 ( '): 1
9 4 9 4
x y x y
E
   
    

d.
       
2 2 2 2
' 1 ' 2 1 2
1 ( '): 1
16 9 16 9
x y x y


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Lại có A là trung điểm của A’A”
'"A A AA

Do đó :
' " " ' 'A A AA CC C C B B   

Theo định nghĩa phé tịnh tiến ta có:

Mà
'BB
T
là phép dời hình nên ta có
A’B’C’CA và ABCC”A” là các ngũ giác bằng nhau
' ' ' " "A B C CA ABCC A
SS

Lại có :
' ' ' ' ' ' '
" " ' ' ' '
" " " '
BB A A BB C C A B C CA ABC
ACC A BB A A BB C C
ACC A ABCC A ABC
S S S S
S S S

Do đó: ABCM là hình bình hành
00
180 30BCM ABC   
(vì
0
150ABC 
)
Lại có:
0 0 0
360 ( ) 60 30BCD A B D MCD      

Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta có:

2 2 2
2 . cos 36 6MD CM CD CM CD MCD MD     
cm.
Ta có:
2 2 2
144MC MD DC MDC    
vuông tại M
00
60 30MDC MDA   

A
A”
A’
C”
C
C’
B’

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com

DMA
cân tại M (vì
00
60 30MAD MAB  
)

0
0
6
6
.sin 6.sin120
63
63
sin30
sin sin sin
BC MA MD
BC cm
AD DM DM AMD
AD
AD cm
AMD MAD MAD
  





I cố định
gt ADB
vuông tại D

22
AB a
ID IA IB   

Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm I và
bán kính
2
a
R 
bỏ đi hai điểm A và B ((C):cố định)
 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
'AA b
AB a


'AA CD
là hình bình hành

'DC AA
(với
'AA
cố
định) . Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

 Gọi d là trung trực của AB

d cố định (vì A, B cố định)
theo giả thiết ta có
DA DB


D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)
 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
'AA b
AB a


'AA CD
là hình bình hành

'DC AA
(với
'AA
cố định) . Từ đó theo định
nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’.
Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng
 
'
'
AA
d T d
,bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB

Lại có A chạy trên đường tròn (O,R) nên điểm H chạy trên (O’,R).( với
'
' ( )
BC
O T O
)
Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm
'
' ( )
BC
O T O
(tức là
OO' 'BC
)và bán kính R.
H
: A
(O, R)
(O’,R)
.
A
B
B’
C
H
O
O’
B
A’
A
D


0
' 90OIO 
I chạy trên đường tròn (K)
Với (K) là đường tròn cố định (vì (K)có đường kính OO’ cố định)
a. Ta có: OI’H’H là hình chữ nhât (vì có 3 góc vuông)
1
''
2
OI HH MN  
mà theo giả thiết ta lại có
1
2
AQ MN

'AQ OI  
AOI’Q là hình bình hành
'I Q OA

Lại có hai điểm O và A cố định nên
OA
cố định ,
Do đó ta có phép tịnh tiến sau: Lại có điểm I’ chạy trên đường trong (K)
nên điểm Q chạy trên đường tròn
 
( ') ( )
OA

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
(với tâm K’ được xác định bởi đẳng thức
'KK OA
và bán kính
'
2
OO
R 
)
b. Hoàn toàn tương tự câu a ta có
Quỹ tích của P là đường tròn tâm
 
'
( ") ( )
OA
K T K

(với K” được xác định bởi đẳng thức
"'KK O A
và có bán kính
'
2
OO
R 
)
Kinh nghiệm:
Thông qua 2 ví dụ trên ta thấy : với bài toán quỹ tích trong phép
tịnh tiến thì quan trọng nhất là ta phải dựng được một hình bình hành có
một cạnh cố định và hai điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ
tích và một điểm cho trước quỹ tích hoặc có tìm cũng rất đơn giản)




Do đó ta có: BHDA’ là hình bình hành


I là trung điểm HA’

OI là đường trung bình của
'AHA

2AH OI
(1)


2
2 2 1AH OI R  


quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A bán kính
2
21R 

Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC
.
.
A
B
A
’

2
, 2 1AR
nến C sẽ chạy trên đường tròn


2
', 2 1AR

Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ (đối xứng A qua O) và bán kính
2
21R 

3. Dựng hình :
 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ
v
không đổi cho trước sao cho khi thực hiện
phép tịnh tiến theo vectơ
v
ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.
 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ
v
để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng .
Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) {với
'RR
} và đường thẳng

.
Hãy dựng đường thẳng d song song với

và chắn đường tròn (O) , (O’)

(O,R)
(I, R)
B’
B

A
A’ PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
Mà A, B thuộc (O,R) nên A’, B’ thuộc (I,R)
Cách dựng :
Dựng tia
'Ox O K
(với k là hình chiếu của O’ lên

)
Gọi
'I Ox O K

Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R
Gọi
   
', ' ', ' ( , )A B O R I R



( vì IO // d)
Biện luận:
Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (O’,R’)cắt nhau.
Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình.
A
(O,R)
(I, R)
B
B’
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(-3; 4) qua phép tịnh tiến
v
T
trong các trường hợp sau
a.
 
2;1v 
b.
 
3; 2v 

0u 
biến A thành G.
Tìm G’ là ảnh của G qua phép tịnh tiến đó.
HD: G là trọng tâm của
 
; 1;3
33
A B C A B C
x x x y y y
ABC G G
   

   

   
4; 3
u
G T A u AG    
.

 
' 1 4 ' 5
'( '; ') '( 5; 6)
' 3 3 ' 6
u
xx
T G G x y G

b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
   
22
1 2 4xy   
Tìm phương trình của
đường tròn (C’) là ảnh của (C) thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip
 

v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol
 

2
: 16P y x
Tìm phương trình của
parabol (P’) là ảnh của (P) thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v

22
( 1)BD x y  
AC BD
AC AB BD AD
AD AB
  2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) .1x y x y x y        
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1x y x y x x x y        

A
I(-1; 0)
O
D(1; 0)

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com

ĐS:
       
' \ , ( ) \ ,
AD
C C M N T C P Q


(Dễ thấy (C’) có tâm A và bán kính
2R AD
)
Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi
1 2 3
,,A A A
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Gọi
1 2 3
,,O O O
và
1 2 3
,,I I I
Tương ứng là tâm đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp của
1 1 1 1 1 1
,,ABC BC A CAB  

HD:
1 1 1 1
2
: , ,
AB

: ; ;
MN
T M N B B B AC A A A AD

Khi đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp
11
A B CD   
1 1 1 1 1 1
A B CD BC AD AB CD BC BB AD AA         

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm
trong tam giác MBD và
MBC MDC
. Chứng minh rằng :
AMD BMC

HD:
: '; ; ; ' ; '
BA
T M M B A C D BMC AM D MBC M AD


Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến đó.
HD: Xét phép tịnh tiến:
AB
T
(Với
Ad
,
'Bd
). Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’
Bài 22: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’).
Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (O;R) và (O’;R’). có bao nhiêu phép tịnh tiến như vậy.
HD: Nếu R = R’ thì có duy nhất một phép tịnh tiến
'OO
T
biến (O;R) và (O’;R’).
Nếu
'RR
thì không có phép dời hình nào biến (O;R) và (O’;R’). kể cả phép tịnh tiến PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com
Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn (C).
Tìm quỹ tích trung điểm M của BC.
HD: Xét phép tịnh tiến :
1
2
AB
T


PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com
Bài 26: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q .
Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN + QM nhỏ nhất .
HD: Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi .
cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :
- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo
D'C U QQ
.Khi đó MN=QQ’ ,
suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng
- Các bước thực hiện :
+/ Tìm Q’ sao cho :
D'C U QQ

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Bài 27: Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi
AB DM
và
CBM CDM

Chứng minh rằng
ACD BCM

HD: Xét phép tịnh tiến
AB
T