Nguyễn Hồng Điệp
Bài tập
Hình học không gian
✬
✫
✩
✪
✬
✫
✩
✪
✬
✫ ✪
✩
✪
✞
✝
☎
✆
Nguyễn Hồng Điệp
Vĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang
www.MATHVN.com
mathvn.com
Lời mở đầu
• Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hình
không gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp để
giải chúng
1
. Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiều
nguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạn
cảm thấy cần thiết.

T
E
X yêu cầu người soạn định
nghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cách
trình bày tốt nhất. Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyên
nghiệp. Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiều
phần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do L
A
T
E
X.
• Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thời
gian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung mà
tác giả bắt đầu học cách sử dụng L
A
T
E
X và cảm thấy ngày càng hứng
thú.
Ngày 21 tháng 10 năm 2013.
1
Một số phương pháp được người biên soạn tài liệu này đưa ra, tự tác giả cũng
thấy còn nhiều hạn chế, mong được sự đóng góp thêm của các bạn.
2
Đáng lẽ phần Lời mở đầu không có chú thích cuối trang nhưng trong T
E
X
footnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ).
♥ Nguyễn Hồng Điệp 3
www.MATHVN.com

8 Đường thẳng song song mặt phẳng 29
8.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Hai đường thẳng song song 31
9.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10 Bài toán thiết diện 1 33
10.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11 Hai mặt phẳng song song 38
11.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12 Bài toán thiết diện 2 39
12.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
12.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
13 Hình lăng trụ - Hình hộp 41
14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 44
14.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 45
15.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
15.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 47
16.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
16.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
♥ Nguyễn Hồng Điệp 5

www.MATHVN.com
mathvn.com
1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
• Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : nếu kéo dài SA, SD
cũng chưa thấy giao điểm mới.
• Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD không
song song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cần
tìm. Khi ta nối SI, BI thì DC bị khuất.
A
B
C
D
I
S
Giải
Ta có:
S ∈ (SAD)
S ∈ (SBC)

⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm AD và BC
⇒

I ∈ AD
I ∈ BC
⇒

I ∈ (SAD)
I ∈ (SBC)
⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2)

– Kéo dài IJ cắt BD ở E (trong mp (BCD)), khi đó (IJK) “mở
rộng” thành (IJE).
– E ∈ BD ⇒ E ∈ (ABD)
– Gọi F là giao điểm IE và AD thì F là điểm cần tìm.
B
E
C
D
A
I
J
K
F
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.
Tìm thiết diện
3
tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp.
Phân tích
• AB kéo dài cắt CD ở E (trong mp(ABCD)). Lúc này (ABM) trở
thành (AEM).
• ME cắt SC và SD lần lượt tại K, H (trong mp(SCD)). Lúc này
(ABM) trở thành (HAE).
3
Thiết diện sẽ nói rõ hơn ở những phần sau
♥ Nguyễn Hồng Điệp 9
www.MATHVN.com
mathvn.com
1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
• Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB.
A

N ∈ (α) ∩ (β)

⇒ MN = (α) ∩ (β)
α
β
M
N
2.2 Bài tập
1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song song
DC và AB > CD). Tìm giao tuyến các mp:
(a) (SAB) và (ABCD).
(b) (SAD) và (SBC).
(c) (SAC) và (SBD).
2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi (AD > CD)
(a) Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau:
i. (SAC) và (SBD).
♥ Nguyễn Hồng Điệp 11
www.MATHVN.com
mathvn.com
2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
ii. (SBC) và (SCD).
iii. (SAD) và (SBC).
(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (SAN) và:
i. (ACD).
ii. (SCD).
(c) Gọi H là điểm thuộc SD (H nằm gần S), K là điểm thuộc SC
(K nằm gần C). Tìm giao tuyến của (AHK) và
i. (SCD).
ii. (ABCD).
iii. (SAB).

(b) (IAF) và (IEC)
8. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm cạnh AD. Cho M, N là hai
điểm tùy ý trên AB, AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AD và BC.
(a) Xác định giao tuyến (MBC) và (DNA)
(b) Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên AB và AC. Xác định
giao tuyến (MBC) và (IJD).
10. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD.
Gọi I, J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không
song CD
(a) Tìm giao tuyến (IJM) và (ACD); (IJM) và (ACD)
(b) Lấy N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt AB
tại L. Tìm giao tuyến của (MNJ) và (ABC).
11. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt
BD tại F
♥ Nguyễn Hồng Điệp 13
www.MATHVN.com
mathvn.com
2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
(a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD),
(SAC) và (SBD).
(b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với
AI =
1
2
IB, AJ =
3
2

(a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
(b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).
14 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
19. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm nằm trên cạnh SB.
(a) M là điểm nằm trên SA, P là điểm nằm trong (SBC). Tìm
giao tuyến của (MNP) với (SAC).
(b) M là điểm nằm trong mp(SAB), P là điểm nằm trong mp(SBC).
Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SAC).
20. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB BP.
Tìm giao tuyến của mp(MNP) với:
(a) mp(ABCD)
(b) mp(SBC)
(c) mp(SCD)
(d) mp(SAD)
21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao
tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và
(SCD).
3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
3.1 Phương pháp giải
 Trong (α) có sẵn đường thẳng b cắt a tại I thì giao điểm là I
I ∈ a ∩ b
b ⊂ (α)

⇒ I ∈ a ∩ (α)
α

N
4
a nằm trong nhiều mặt phẳng, chọn (β) sao cho tìm giao điểm được dễ dàng.
16 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.2 Bài tập
3.2 Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với
AI =
1
2
IB, AJ =
3
2
JD. Tìm giao tuyến của IJ và (BCD).
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh
AB, BC và CD sao cho AI =
1
3
AB, BJ =
2
3
BC, CK =
4
5
CD.
Tìm giao tuyến của (IJK) với AD.
3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N lần lượt là trung điểm AC
và BC. Lấy K thuộc BD (K không là trung điểm BD). Tìm giao

SAD. Tìm giao tuyến cảu MG và (ABCD), (SAB).
12. Cho hình chóp SABCD
(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm của BM và (SCD)
(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là
trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của NG với các mp
(SCD), (SBD), (SAB).
13. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy I và lấy J, K lần lượt là
các điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và BCD. Gọi L là
giao điểm của JK và (ABC)
(a) Xác định điểm L
(b) Tìm giao tuyến (IJK) và các mặt của tứ diện ABCD.
14. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC).
Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, Glà trọng tâm tam
giác SBC
(a) Tìm giao điểm NG và (ABC)
(b) Tìm giao điểm NG với (SBM)
15. Trong mp(P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không
song song và ngoài (P) cho điểm S.
(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm BM và (SCD)
18 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG
(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với
các mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB).
4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
4.1 Phương pháp giải
• Thiết diện (hay mặt cắt) là phần chung của hình chóp với mặt
phẳng đang xét (cắt hình chóp bởi mặt phẳng).

D
C
A
N
I
M
B
1
D
1
C
1
A
1
N
1
I
1
M
1
B
2
D
2
C
2
A
2
N
2

giao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểm
SH. Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp.
6. Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểm
trong mp(SBC). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp.
20 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập
7. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là các
điểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC). Tìm thiết diện tạo bởi
(MNP) với hình chóp.
8. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB,
BD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp.
9. Cho hình chóp SABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.
Tìm thiết diện tạo bởi (ABM) và hình chóp.
10. Cho hình chóp SABCD. Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy các điểm
O, G, P tùy ý. Tìm thiết diện tạo bởi (GOP) và hình chóp.
11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M,
N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD. Tìm thiết diện tạo bởi
(MNE) và hình chóp.
12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M
là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện
tạo bởi (MGC) và hình chóp.
13. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H
là giao điểm các đường chéo đáy và M, N là trung điểm AH, BH.
Gọi M’, N’ là trung điểm SM, SN. Tìm thiết diện tạo bởi (AM’N’)
cắt hình chóp.
14. Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là
trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy, M
là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG. Tìm

19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần
lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (MNP).
20. Cho hình chóp SABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm
trong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC). Tìm thiết diện tạo
bởi (MNP) và hình chóp.
21. Cho hình chóp SABC, các điểm A’, B’, C’ nằm trên SA, SB, SC
nhưng không trùng với S, A, B, C. XÁc định thiết diện của hình
chóp khi cắt bởi mặt (A’B’C’).
22 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
22. Cho hình chóp SABC D. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
SCD
(a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)
(b) Tìm giao điểm của BM và (SAC)
(c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB).
23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, E
là trung điểm của AB, Bc, SD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt
hình chóp.
24. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M
là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện
tạo bởi (MGC) cắt hình chóp.
25. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G
là trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy,
M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG.
Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp.
5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
5.1 Phương pháp giải

là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB
ở M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA tại P và Q
(a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm BP và EQ.
Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng.
(b) Giả sử K là giao điểm An và DM, L là giao điểm BQ và EP.
Chứng minh S, K, L thẳng hàng.
6. Cho tứ diện OABC. Trên OA, OB, OC lấy A’, B’, C’ khác O sau
cho các đường thẳng sau đây cắt nhau: BC cắt B’C’ tại I, CA cắt
C’A’ tại J, AB cắt A’B’ tại H. Chứng minh I, J, H thẳng hàng.
24 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
7. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm
S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ABCD. Trên đoạn SO lấy
điểm I. Một đường thẳng đi qua I cắt SA, SC của tam giác SAC
tại A’ và C’. Một đường thẳng khác đi qua I cắt SB, SD của tam
giác SBD B’, D’. Giả sử A’B’ cắt AB tại M, C’D’ cắt CD tại N,
A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H. Chứng minh M, N, H,
K thẳng hàng.
8. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm
S. Giả sử C’, D’ là các điểm trên SD, SC sao cho hai đường thẳng
AD’ và BC’ cắt nhau tại M. Giả sử A’, B’ là hai điểm trên SA,
SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại N. Chứng
minh M, N, S thẳng hàng.
9. Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Trên MA, MB, MC, MD lấy A’, B’, C’, D’. Gọi
I là giao điểm AC’ và A’C, K là giao điểm của BD’ và B’D. Chứng
minh I, K, M thẳng hàng.
6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui