ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
LÊ KHÁNH LUẬN
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN
Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. TRẦN MINH THUYẾT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Mục lục
Danh sách ký hiệu 1
Mở đầu 2
1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Các ký hiệu và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé. . . . . . . . . 35
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến li ên kết với bài toán

Tập hợp các số nguyên không âm
R
+
= [0; 1) Tập hợp các số thực không âm
 = (0; 1)
Q
T
=   (0; T ), với T > 0
Ký hiệu về đa chỉ số
jj = 
1
+ 
2
+ ::: + 
N
Bậc của đa chỉ số  = (
1
; 
2
; :::; 
N
) 2 Z
N
+
! = 
1
!
2
!:::
N

@t
(x; t)
•u (t)  u
tt
(t) = u
00
(t) =
@
2
u
@t
2
(x; t)
u
x
(t)  ru (t) =
@u
@x
(x; t)
u
xx
(t)  u (t) =
@
2
u
@x
2
(x; t)
D
k

; :::; 
N
) 2 Z
N
+
1
Mở đầu
Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên hệ trực tiếp
với các bài toán xuất phát từ thực tiễn. Vào giữa thế kỷ XVIII, các công trình của những
nhà toán học như L. Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813)
và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng cho việc xây dựng phương trình đạo hàm riêng
như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến
nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai
trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứng
dụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực.
Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua lại với sự
phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác của
toán học. Chính nhu cầu ng hiên cứu một cách chặt chẽ các phương trình đạo hàm riêng
đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp
Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến.
Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói
riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một phương pháp chung
nào để giải tất cả các bài toán đó. Còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cầ n
tiếp tục khảo sát. Do các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở
nên phức tạp và đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số
kỹ thuật tính toán để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn
tại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm.
Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là "Sử dụng
các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến".
Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác hỗ trợ

(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
trong đó ; f; ~u
0
; ~u
1
là các hàm số cho trước.
Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến tính với một
sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin
liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về tính
compact. Trong đó, công cụ chính là phương pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo -
Galerkin. Phép giải xấp xỉ này thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toán
giá trị biên - ban đầu cho các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn
một cơ sở phù hợp fe
i
g trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệm
dạng u(x; t) =
P
i>1
u
i
(t)e
i
(x) của bài toán biên ban đầu. Từ đó, dẫn đến bài toán giá trị
biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân thường với ẩn hàm là u
i
(t); bài

<
>
>
>
:
u
tt

@
@x
((x; t; u)u
x
) = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1

Rabinowitz [70] đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho
u
xx
 u
tt
 2u
t
= "f(x; t; u; u
x
; u
t
); (3)
trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian.
Trong một bài báo của Caughey và Ellison [10], đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường
hợp trước đó để khảo sát sự tồn tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển
Mở đầu 5
cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục.
Trong [33], Lo ng, Định và Diễm đã nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến
u
tt
 u
xx
= f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "g(x; t; u; u
x
; u

(R
+
); f 2 C
N+1
([0; 1] R
+
R
3
); g 2 C
N
([0; 1] R
+
R
3
)
và một số điều kiện khác, xem [3 3].
Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có dạng tổng
quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình nghiên cứu, vì thực tế các
tính toán không dễ dàng. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tuyến tính hóa các số
hạng phi tuyến thường được sử dụng. Kỹ thuật này như sau. Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t)
thuộc một không gian hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để
có được một nghiệm duy nhất u 2 X của bài toán đối với  = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và
f = f(x; t; v; v
x
; v
t
) =
~
f(x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể giả sử rằng
u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán điểm bất động của toán

>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
[( (x; t; u) + "
1

1
(x; t; u)) u
x
] = f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "
2

; "
2
: Toàn bộ kết quả thu được cho bài toán
(6) đã tổng quát hóa kết quả trong [L1], chứa trường hợp  = (u); 
1
= 
1
(u); g
1
(t) = 0
như là một trường hợp riêng.
Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1)
1;3
liên kết với điều kiện
biên
u(0; t) = u(1; t) = 0;
và đã được công bố trong [L3], trong đó khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời
thiết lập một khai trển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé "
1
; :::"
p
, ứng với các hàm
; f có nhiễu dưới dạng  +
P
p
i=1
"
i

i

@x
((x; t)u
x
) + Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
= F (x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = P (t);
(1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t
(1; t)j
2
u
t
(1; t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t

0
; P
0
(0) =
~
P
1
;
(8)
trong đó (t) là hàm số cho trước và 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
là các hằng số cho trước, với 
2
1
4
2
< 0:
Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là An [1] cùng các cộng sự,
Mở đầu 7
Bergounioux [5] cùng các cộng sự, Cavalcanti ([11] – [16]) cùng các cộng sự, Định [21]

, (8) liên kết với một điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được
khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [5].
Từ (8), biểu diễn P (t) theo 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
; (t); u
tt
(0; t) và sau đó lấy tích phân từng
phần, ta thu được
P (t) = g(t) + (t)u(0; t) +
Z
t
0
k (t; s) u (0; s) ds;
(10)
g(t) =

~
P
0
 (0)~u

(0)
i
e
t
sin !t;
(11)
k (t; s) = 2([
0
(s) + (s)] e
(ts)
cos(!(t s))
+ [
00
(s) + 2
0
(s) + (
2
 !
2
)(s)] e
(ts)
sin(!(ts))
!
;
(12)
với  =
1
2

1

Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (7) dưới
một số điều kiện cho trước. Trong phần 2, gọi u

1
là nghiệm yếu của bài toán (7) ứng với
mỗi 
1
> 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm u

1
khi 
1
! 0
+
: Phần còn lại
chỉ ra được một cách khai triển tiệm cận của nghiệm u

1
theo tham số bé 
1
; đến cấp N;
theo nghĩa là có các hàm u
0
; u
1
; :::; u
N
độc lập với 
1
sao cho ta có một đánh giá dạng

1

P
N
i=0

i
1
u
0
i



L
1
(0;T ;L
2
)
 C
T

(N+1)1
2(1)
1
;
với C
T
là hằng số độc lập với 
1

t
) = F (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
 (0; t) u
x
(0; t) = g
0
(t) +
Z
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds;
 (1; t) u
x
(1; t) = g
1
(t) +
Z
t
0
k
1
(t  s) u (1; s) ds;
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1

Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng
của bài toán (14)
1;4
liên kết hợp với các điều kiện biên
u
x
(0; t) = g
0
(t) + h
0
u (0; t) +
Z
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds; (15)
u (1; t) = 0; (16)
với   1; ~u
0
= ~u
1
 0 và f (u; u
t
) = Ku + u
t
với K > 0;  > 0 là các hằng số cho
trước, và g
0
; k

1
> 0 là các hằng số cho
trước và g
0
; k
0
là các hàm cho trước. Sau đó, tổng quát hóa kết quả của [5] đã được đưa
ra bởi Long, Định và Diễm [34], cho bài toán (14)
1;4
; (15) và (17) trong trường hợp của
f (u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
; trong đó K;  > 0; p; q > 2 và (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
:
Gần đây trong [55], Ngọc, Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định

; k
0
; k
1
; ; F ): Phần 3 nghiên
cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo 2 tham số bé K; ; tương ứng với
f(u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
:
Một phần kết quả của Chương 3 sẽ đã được gửi đăng trong [L4].
Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công bố trong các
bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết quả trên đã được báo cáo
trong các hội nghị:
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008.
- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2, Hà Nội, 23-25/12/2005.
- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 3, Hà Nội, 23-25/12/2010.
- Hội nghị Khoa họ c lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán-Tin
học, 30/11/2006.
- Hội nghị Khoa học lần 7, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán - Tin
học, 26/11/2010.
- Hội nghị Khoa học lần 8, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán - Tin
Mở đầu 10

() ; 1  p  1; m = 0; 1; ::::
Chi tiết về không gian trên có thể xem trong Brézis [3], Lions [28]. Chú ý thêm rằng,
ta không viết  đi kèm theo các ký hiệu không gian hàm nếu  = (0; 1) ; nhưng nếu
cần phân biệt với miền khác với  = (0; 1) thì sẽ viết rõ, chẳng hạn như W
m;p
(0; T ) ;
L
p
(0; T ) ; H
m
(0; T ) ; W
m;p
(Q
T
) ; L
p
(Q
T
) ; H
m
(Q
T
) ::::
Chuẩn trong L
2
được ký hiệu kk: Ta ký hiệu h; i là tích vô hướng trong L
2
hoặc tích
đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm.
Không gian L

ku (t)k
p
X
dt

1=p
; nếu 1  p < 1;
esssup
0<t<T
ku (t)k
X
; nếu p = 1:
Bổ đề về tính compact của Lions
Giả sử X
0
; X; X
1
là ba không gian Banach sao cho X
0
,! X ,! X
1
với các phép nhúng
liên tục.
Với 1  p
0
; p
1
 1 và 0 < T < 1, ta ký hiệu
W = fv 2 L
p

:
Khi đó W là một không gian Banach. Hiển nhiên W ,! L
p
0
(0; T ; X) : Hơn nữa, nếu
(i) X
0
, X
1
phản xạ;
(ii) phép nhúng X
0
,! X là compact,
(18)
và nếu 1 < p
0
; p
1
< 1; khi đó ta có kết quả sau
Định lý 01. (Lions, [28], p.57 – 59). Phép nhúng W ,! L
p
0
(0; T ; X) là compact.
Bổ đề về hội tụ yếu
Định lý 02. (Lions, [28], p.12). Cho Q là một tập mở, bị chặn của R
N
và g, g
m
2
L

 = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
; jj = 
1
+ 
2
; ! = 
1
!
2
!;
;  2 Z
2
+
;    () 
i
 
i
8i = 1; 2;
~" = ("
1
; "
2
) 2 R
2

; 1  jj  N: Khi đó
0
@
X
1jjN
u

~"

1
A
m
=
X
mjjmN
T
(m)

[u]~"

; (21)
trong đó các hệ số T
(m)

[u] phụ thuộc vào họ u = fu

: 1  jj  Ng được xác định bởi
T
(m)


:   ; 1  j  j  N; m 1  jj  (m  1) Ng:
(23)
Chứng minh của bổ đề 03 có thể tìm thấy trong [38]:
Trong trường hợp lũy thừa của một đa thức theo một biến " ta có
Bổ đề 04. Giả sử m; N 2 N; u = (u
1
; :::; u
N
) 2 R
N
: Khi đó

N
X
i=1
u
i
"
i
!
m
=
mN
X
i=m
P
[m]
i
[u]"
i

1
1
:::u

N
N
; m  i  mN;
A
(m)
i
(N) = f 2 Z
N
+
: jj = m;
P
N
j=1
j
j
= ig:
(25)
Việc chứng minh bổ đề này không khó, ta bỏ qua chi tiết.
Mở đầu 13
Ta cũng sẽ dùng bổ đề đánh giá sau đây mà chứng minh không khó khăn.
Bổ đề 05. Cho dãy số thực f
m
g thỏa mãn

0
= 0; 0  

p
0
"
p
0
b
p
0
; 8a; b  0; 8" > 0; p
0
=
p
p  1
; p > 1; (29)


jaj
p2
a  jbj
p2
b


 (p  1) M
p2
ja  bj 8a; b 2 [M; M]; 8M > 0; 8p  2; (30)
8p  2; 9C
p
> 0 :


@
@x
( (x; t; u) u
x
) = f (x; t; u; u
x
; u
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t) ; u (1; t) = g
1
(t);
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
(1.1.1)
trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0

([0; 1]) là compact và
kvk
C
0
([0;1])
 kv
x
k; 8v 2 V: (1.2.1)
Chứng minh bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Brézis [3], Lions [28]. 
Giả sử rằng ~u
0
2 H
2
; ~u
1
2 H
1
; g
0
; g
1
2 C
3
(R
+
) ; f 2 C
1
([0; 1]  R
+
 R

@x
( (x; t; v + ') v
x
) =
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
v
x
(0; t) = v (1; t) = 0;
v (x; 0) = ~v
0
(x) ; v
t
(x; 0) = ~v
1
(x) ;
(1.2.2)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>

(t)  g
00
1
(t) + g
0
(t) D
1
 (x; t; v + ')
+ g
0
(t) (v
x
+ g
0
(t)) D
3
 (x; t; v + ') ;
~v
0
(x) = ~u
0
(x)  (x  1) g
0
(0)  g
1
(0) ;
~v
1
(x) = ~u
1

1
(1) = g
0
1
(0):
Ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1
) ~v
0
2 V \H
2
; ~v
1
2 V;
(H
2
)  2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ;  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1]  R
+
 R;
(H
3
)
~

hv
tt
(t) ; wi+ h (x; t; v + ') v
x
; w
x
i = h
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = ~v
0
; v
t
(0) = ~v
1
:
(1.2.4)
Cố định T

> 0; với mỗi M > 0; đặt
M

= k'k
C
1
([0;1][0;T




~
f



C
1
(A

(M))
; (1.2.6)
A

(M) =

(x; t; u; v; w) 2 [0; 1]  [0; T

]  R
3
: juj; jvj; jwj  M

:
Với mỗi T 2 (0; T

] và M > 0; ta đặt
8
>

k
L
1
(0;T ;V )
; kv
tt
k
L
2
(Q
T
)
 Mg;
W
1
(M; T ) = fv 2 W (M; T ) : v
tt
2 L
1
(0; T ; L
2
)g;
(1.2.7)
trong đó Q
T
=   (0; T ) :
Ngoài ra, với f 2 C
k
([0; 1]  R
+

f = D

1
1
:::D

5
5
f;  = (
1
; :::; 
5
) 2 Z
5
+
;
jj = 
1
+ ::: + 
5
= k; D
(0;:::;0)
f = f:
Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.4) như sau:
Chọn số hạng đầu v
0
 ~v
0
:
Giả sử

m
(0) = ~v
1
;
(1.2.9)
trong đó
8
<
:

m
(t) =  (x; t; 
m
(x; t)) ; 
m
(x; t) = v
m1
(x; t) + ' (x; t) ;
F
m
(t) =
~
f

x; t; v
m1
(t) ; rv
m1
(t) ; v
0

Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở fw
j
g của V
w
j
(x) =
s
2
1 + 
2
j
cos (
j
x) ; 
j
= (2j  1)

2
; j 2 N; (1.3.1)
gồm các hàm riêng của toán tử Laplace  = 
@
2
@x
2
. Đặt
v
(k)
m
(t) =
X

(t) ; rw
j
E
= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k;
v
(k)
m
(0) = ~v
0k
; _v
(k)
m
(0) = ~v
1k
;
(1.3.3)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 18
trong đó
8
>
<
>
:
~v
0k
=

(k)
mi
(t) +
X
k
j=1

(m)
ij
(t) c
(k)
mj
(t) = hF
m
(t) ; w
i
i; 1  i  k; (1.3.5)
trong đó

(m)
ij
(t) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
Tích phân hai vế phương trình trên hai lần theo t; ta được hệ phương trình tích phân
dưới đây

Z

0
hF
m
(s) ; w
i
idsd; 1  i  k:
(1.3.6)
Ta bỏ qua các chỉ số m; k trong các cách viết và lần lượt viết
c = (c
1
; :::; c
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;
thay cho
c
(k)
m
= (c
(k)
m1

>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
c = (c
1
; :::; c
k

h
i
(t) = 
i
+ 
i
t +
Z
t
0
Z

0
hF
m
(s) ; w
j
idsd;

ij
(s) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
(1.3.8)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 19
Chú ý rằng X = C

[d] (t)j = jU
i
[c] (t)  U
i
[d] (t)j
=




Z
t
0
Z

0
P
k
j=1

ij
(s) (c
j
(s)  d
j
(s))dsd






0
jc
i
(s)  d
i
(s)jdsd
 2
~
K
Z
t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2
~
K
t
2
2
kc  dk
X
:
(1.3.9)
Từ (1.3.9), ta suy ra
jV [c] (t)  V [d] (t)j

2k
~
Kt
2

n
(2n)!
kc  dk
X
: (1.3.11)
Thật vậy, với n = 1 thì công thức đúng, do (1.3.10).
Giả sử công thức (1.3.11) đúng đến n  1:
Từ (1.3.10) và (1.3.11); ta suy ra
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1
=


V V
n1
[c] (t)  V V
n1
[d] (t)


1

n1
[2(n  1)]!
kc  dk
X
Z
t
0
Z

0
s
2n2
dsd


2k
~
Kt
2

n
(2n)!
kc  dk
X
:
Vậy (1.3.11) được chứng minh.
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 20
Từ (1.3.11); ta có
kV
n

KT
2
)
n
(2n)!
< 1:
Áp dụng định lý điểm bất động Banach ta có duy nhất c 2 X sao cho c = V [c]:
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
X
(k)
m
(t) =





r_v
(k)
m
(t)



2
+



p

m
(t)v
(k)
m
(t)



2
;
S
(k)
m
(t) = X

(t) = X
(k)
m
(0) +
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



rv
(k)
m
(x; s)



2
dx
+2
Z
t




r(
m
(t) rv
(k)
m
(t)); w
j

= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k: (1.3.16)
Bằng cách nhân (1.3.16) với _c
(k)
mj
(t) ; tổng theo j; và lấy tích phân theo t; ta được
Y
(k)
m
(t) = Y
(k)
m
(0) + 2
D
@
m




2
dx
+2
Z
t
0
D
@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)

; v
(k)
m
(s)
E
ds
2
D
@

(s)
E
ds
= Y
(k)
m
(0) + 2
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i +
P
7
j=3
I
j
:
(1.3.17)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 21
Ta sẽ đánh giá các tích phân bên phải của (1.3.15) và (1.3.17) như dưới đây.


+ 1): (1.3.19)
Vậy, bởi (1.3.14), (1.3.19), ta được
I
1
=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


rv
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.20)

1


ds  2
Z
t
0
kF
m
(s)k


_v
(k)
m
(s)


ds (1.3.21)
 T K
2
1
(M;
~
f) +
Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ ba I

0
~
K(M; )(M + M

+ 1)
Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ tư I
4
:
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
jI
4
j = 2




Z
t
0

@
@s
(

Y
(k)
m
(s)ds;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 22
trong đó I

4
(s) =



@
@s
(
@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s))



:
Ta tiếp tục đánh giá I

4
(s) như sau.

(k)
m
(s) +
@
2

m
@x@s
(s) rv
(k)
m
(s)







@
m
@x
(s)



C
0
(


m
(s)



C
0
(


)





@
m
@x
(s)



C
0
(


)
+

m
(x; s)) + D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g
0
(s)) ; (1.3.25)
ta suy ra rằng




@
m
@x
(s)




C
0
(


)


+ M

+ 1


~
K (M; ) (M + M

+ 1) :
Tương tự, từ đẳng thức sau
@
2

m
@x@s
(x; s) =
@
@s
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (1.3.27)
+
@
@s
[D
3
 (x; s; 
m

m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 
m
(x; s))
@
@s
(rv
m1
(x; s) + g (s))
= D
2
D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+D
1