1
B GIO DC V O TO
TRNG I HC S PHM H NI
VậN DụNG PHƯƠNG PHáP PHáT HIệN Và
GIảI QUYếT VấN Đề VàO DạY HọC PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC
ở TRƯờNG THPT

Chuyờn ngnh: Lý lun v Phng phỏp dy hc b mụn Toỏn TểM TT LUN VN THC S KHOA HC GIO DC


cách khoa học cho HS. Bởi vì, khi giải các bài toán học sinh phải tập trung

3
chú ý vào cái bản chất của đề toán, phải biết gạt bỏ những cái thứ yếu, phải
biết phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải biết phân tích, bắt chƣớc để tìm
ra những đƣờng dây liên hệ giữa các yếu tố. Nhờ đó mà đầu óc các em sáng
suốt hơn, cách suy nghĩ và làm việc khoa học hơn.
Trong chƣơng trình ĐS và GT lớp 11, chƣơng đạo hàm là một nội dung
quan trọng, khó và mới đối với HS. Những kiến thức chƣơng này là nền tảng
xuyên suốt và đƣợc vận dụng rất nhiều sau này. Các bài tập về chƣơng đạo
hàm trong SGK còn ít, giáo viên chú ý HS làm những bài tập cơ bản chƣa
khái quát thành một hệ thống bài tập. Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng
này giúp cho giáo viên một mặt củng cố, khắc sâu kiến thức sách giáo khoa,
rèn luyện kĩ năng áp dụng đạo hàm để giải toán,…
Đã có những công trình khoa học giáo dục, nghiên cứu theo một số góc độ
khác nhau liên quan đến chƣơng đạo hàm lớp 11. Những nghiên cứu theo hƣớng
hình thành và rèn luyện kĩ năng thì còn mới, chƣa đƣợc khai thác. Ở đây, tôi quan
tâm đến việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán chƣơng đạo hàm lớp 11 THPT.
Xuất phát từ những lí do trên, đề tài đƣợc chọn là:
“Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chƣơng đạo
hàm lớp 11 THPT”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xây dựng hệ thống bài tập đƣợc phân thành từng dạng và đề xuất các biện
pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán chƣơng đạo hàm cho HS lớp 11 THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
– Nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán và biện pháp rèn luyện
kĩ năng trong dạy học môn Toán ở trƣờng THPT.
– Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học giải bài tập toán chƣơng đạo
hàm lớp 11 THPT.
– Vận dụng lí luận xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất biện pháp sƣ

luyện kĩ năng giải các bài toán cho HS lớp 11 THPT.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

CHƢƠNG 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI TOÁN CHO HS TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

1.1. KĨ NĂNG VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
1.1.1. Kĩ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cƣơng thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” ([17], Tr.149).
Theo từ điển Tiếng Việt thì : “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó vào thức tế. Trong đó, khả
năng đƣợc hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc
gì”.([21], Tr.462)
“ Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh
hoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”[8].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng
hoặc khéo léo có đƣợc thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có ba thành tố cơ
bản của kĩ năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định (consistency)
và hiệu quả (efficency).
Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thành thạo và
có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những
kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể.
1.1.2. Kĩ năng giải toán.
1.1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán
Trong Toán học, “Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận

nội dung dạy học.
Bước 2: Giải bài tập mẫu để HS nắm đƣợc các thao tác cơ bản (có thể
GV trình bày hoặc gợi ý để HS làm).
Bước 3: Luyện tập giải một số bài tập Toán học tƣơng tự bài tập mẫu,
nhằm giúp HS thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể tiến
hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà.
Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận
dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán. Các bài tập dạng này thƣờng
đƣợc sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và
phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn.
b) Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS.
Trên cơ sở các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS, các biện pháp
rèn luyện rèn luyện kĩ năng thực hành cho HS nói chung, biện pháp rèn luyện
kĩ năng giải toán cho HS nhằm vào việc biến các kiến thức và kĩ năng cơ bản
trong từng chƣơng, từng mục thành kiến thức và kĩ năng tổng hợp, hoàn
chỉnh, chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập và nghề nghiệp cho cả cuộc sống
theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hƣớng nghiệp dạy nghề thông qua
môn Toán ở trƣờng phổ thông. Trƣớc hết, ngƣời GV cần xác định rõ con
đƣờng hình thành kĩ năng cho HS đồng thời xác định đƣợc nhiệm vụ của
mình trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho HS. Những nội
dung căn bản đó đƣợc tóm lƣợc trong sơ đồ sau:

Sơ đồ 1: Quy trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS

1.1.3. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Để rèn luyện đƣợc kĩ năng giải toán cho HS ta cần có một giải pháp
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc
lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng.
Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là

 Thầy giáo có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn giúp
đỡ HS vƣợt qua những khó khăn bằng cách phân tích một hoạt động thành
những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phƣơng pháp
và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân
bậc hoạt động.
 Thầy giáo giúp học trò xác nhận những kiến thức đã đạt đƣợc trong
quá trình hoạt động, đƣa ra những bình luận cần thiết để học trò hiểu kiến
thức đó một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn.
b, Trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán cho HS.
Trƣớc hết, chúng ta cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy
trình 4 bƣớc của Polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này.
1. Tìm hiểu nội dung bài toán ;
2. Xây dựng chƣơng trình giải toán;
3. Thực hiện chƣơng trình giải toán ;
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất nhƣ trên, cộng với những
tri thức phƣơng pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi,
khám phá để tìm đến lời giải bài toán. Có một số trƣờng hợp đặc biệt:

Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu
chung của chƣơng trình cũng nhƣ tình hình thực tế để hoặc thông báo tƣờng
minh tri thức thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn
khớp với tri thức phƣơng pháp đó.
Đối với những bài toán chƣa hoặc không có thuật giải: GV cần hƣớng
dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về
phƣơng pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần
dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ,
tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành phƣơng pháp giải một lớp các bài toán
có dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó.
c, Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố

đã lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn Toán cũng
nhƣ trong thực tiễn. Trong khâu ứng dụng, cần rèn luyện cho HS năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp,
tìm kiếm con đƣờng giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá
kết quả và sắp xếp kiến thức đạt đƣợc vào hệ thống tri thức đã có.
 Hệ thống hóa: Nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt
đƣợc, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối
quan hệ giữa chúng. Nhờ đó ngƣời học đạt đƣợc không chỉ những tri thức
riêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức.
 Ôn: Ôn tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có. Ôn giữ một vị
trí đặc biệt so với bốn hình thức khác của củng cố, bởi vì nó thƣờng đƣợc kết
hợp với các hình thức đó, thậm chí đan kết, hòa nhập vào các hình thức đó.
Ôn lại không phải chỉ là những gì lĩnh hội đƣợc trong bài lí thuyết mà khi cần
thiết có thể nhắc lại cả tri thức đạt đƣợc trong các khâu của củng cố.

Sau đây là VD về rèn luyện kĩ năng giải toán đạo hàm thông qua củng
cố. Một trong những ứng dụng của đạo hàm là sử dụng đạo hàm trong giải
toán tổ hợp
VD1: Chứng minh
11
3 . .4
1
n
k k n
kC n
n
k




 
1
1 2 1
1 .2 .
n
nn
n x C C x C nx
n n n


     

Thế
3x 
ta đƣợc:
1 1 2 1 1
1
.4 .2.3 . .3 .3
n
n n n k k
n n n n
k
n C C C n k C
  

    


1.2. BÀI TẬP TOÁN VÀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
1.2.1. Bài tập Toán

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Bài tập Toán học góp phần: Hình thành, củng cố tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo ở nhƣng giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học, kể
cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn ; Phát triển năng lực trí tuệ (rèn
luyện những hoạt động tƣ duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ; Bồi
dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức
của ngƣời lao động mới.

- Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lí thuyết.
Trên bình diện PP dạy học, bài tập Toán học là giá mang hoạt động để
ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục
tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho
HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và
sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của HS,…
1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài Toán
Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trƣớc hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, phải tối ƣu. Để
thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học
và đánh giá HS, cần thiết phải cụ thể hóa yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp
nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.
- Lời giải phải cho kết quả đúng, kể cả các bƣớc trung gian. Kết quả cuối
cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa

2
d
qua
A với hệ số góc –k cũng tiếp xúc với (C).
Vì vậy để qua A kẻ đƣợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì tiếp tuyến với
hệ số góc bằng 0 (tiếp tuyến song song với Ox) cũng qua A

A là giao điểm
của tiếp tuyến của (C) song song với Ox và Oy.
Đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với Ox là:
2y 
và
1y 
.
 Xét tiếp tuyến
 
2 0 ; 2yA   
.
 Xét tiếp tuyến
 
1 0 ; 1yA   
.
Kết luận: Vậy có hai điểm thuộc trục tung thỏa mãn là
 
0 ; 2A 
và
 
0 ; 1A 
.
Sai lầm: Sơ đồ suy luận

.
 Xét tiếp tuyến
 
2 0; 2yA   
. Thử lại:
- Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua
 
0; 2A 
có dạng:
 
:2d y kx

- Đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:
 
 
42
3
2 1 2 1
4 4 2
x x kx
x x k

   






Thay (2) vào (1) đƣợc

k
x x k
x x k




    
   















Vậy qua
 
0; 1A 
kẻ đƣợc ba tiếp tuyến tới đồ thị.
1.2.4. Dạy học phƣơng pháp chung để giải bài toán.
1.2.4.1. Phương pháp chung để giải bài toán

trình giải toán.

 Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho HS những
câu hỏi gợi ý đúng tình huống để HS dần dần biết sử dụng những câu hỏi này
nhƣ những phƣơng tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực
hiện từng bƣớc của phƣơng pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu
do GV nêu ra để hỗ trợ cho HS nhƣng dần dần biến thành vũ khí của bản thân
HS, đƣợc HS nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bƣớc đi của mình
trong quá trình giải toán.
Nhƣ vậy, quá trình HS học phƣơng pháp chung giải toán là một quá trình
biến những tri thức phƣơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của
bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phƣơng pháp
chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đƣờng
đòi hỏi lao động tích cực của ngƣời HS, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
“Tìm đƣợc cách giải một bài toán là một phát minh” (Pôlya 1975)
VD3: Cho
 
3
21
x
y
x



.Viết PTTT (d) tại M sao cho tiếp tuyến cắt
hai trục tọa độ tại hai điểm A , B và đƣờng trung trực của AB qua O.
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
(?) Bài toán đã cho biết dữ kiện gì?
(!) Cho đồ thị hàm số

 
'
y x k
M tt


(?) Em có tìm đƣợc hệ số góc của tiếp tuyến không?
(!)
0
tan135
tt
k 

(?) Vì sao em lại có kết quả nhƣ vậy?
(!) Vì
¼
0
45BAO 
nên góc giữa tiếp tuyến và chiều dƣơng trục Ox bằng
0
135

(?) Đạo hàm của hàm số trên là gì?
(!)
 
'
2
1
1
y

x
x

  





.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là :
 
2
1
0
1
k
x
  


Để tam giác OAB có trung trực của AB qua O

AOB
cân tại O
¼
0
0 45BA
 
0 0 0



Vậy phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc
1k 
và đi qua hai điểm
12
31
0; ; M 2;
22
M
   

   
   
có dạng:
 
33
10
22
y x y x       

 
15
12
22
y x y x       

Bước 4: Đào sâu, khai thác.
GV yêu cầu HS kiểm tra kết quả, lời giải của mình, tìm ra sai lầm (nếu
có) trong bài toán và hƣớng dẫn khắc phục.

giác OAB vuông cân nên
 
d
vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng

1
: yx
hoặc
2
: yx  
.
 Nếu
1
d 
thì
 
2
3
0 ; y
1
2
1
1
1
2 ;
2
x
x
xy


 Nếu
2
d 
thì
 
1
1
2
1x
  

. Phƣơng trình này vô nghiệm.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán:
3
2
yx  
và
5
2
yx  

- Đặc biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự hóa:
Bài toán: Cho
 
3
21
x
y
x


 
0
f x x
theo
 
0
fx
và
 
'
0
fx

– Biết công thức tìm vi phân.
– Biết định nghĩa đạo hàm cấp hai trở lên.
+ Về phương pháp:
GV cần phải tổ chức cho HS đƣợc học trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo. Chú trọng cho HS biết cách khai
thác các phƣơng pháp khác nhau, lựa chọn các ƣu điểm của phƣơng pháp dạy
học đàm thoại, phát hiện, phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề, phƣơng pháp dạy học khám phá, phƣơng pháp dạy học tự học… để giải
các dạng bài toán chƣơng đạo hàm bằng con đƣờng tổng hợp.
+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho HS.
Việc dạy học chƣơng đạo hàm nhằm đạt đƣợc mục đích, yêu cầu rèn luyện kĩ
năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ
những định lí, quy tắc.
b) Một số kĩ năng cơ bản thuộc nội dung chương đạo hàm:
+ Kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa.
+ Kĩ năng viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
thuộc đồ thị hàm số.


+ Trong giờ luyện tập: Nhiều GV vẫn chữa bài tập theo cách đƣa ra lời
giải đúng mà ít chú ý đến việc tìm hiểu cách giải cho một bài Toán hoặc GV
tự chữa bài tập cho HS và dành thời gian quá nhiều cho các bài tập mà nhiều HS
trong lớp đã giải đƣợc. Hầu hết các GV đều áp đặt HS suy nghĩ và giải bài tập
theo cách của mình chứ không quan tâm, hƣớng dẫn HS độc lập suy nghĩ để
phát triển năng lực tƣ duy độc lập trong việc tìm kiếm lời giải. Bên cạnh đó có
rất nhiều GV coi nhẹ việc phân tích đƣờng lối giải và định hƣớng tƣ duy của
HS mà thiên về các phép tính biến đổi toán học và tính toán cụ thể trong các
tiết luyện tập và giải bài tập.Chỉ có một số ít GV phân tích những sai lầm và
chú ý sửa chữa cho HS.
+ Trong giờ kiểm tra, GV thƣờng ra đề chung cho cả lớp, chƣa có
những câu phân loại theo các mức độ khác nhau, nên không phát huy đƣợc
tính độc lập sáng tạo của HS khi giải toán
b) Về HS
Từ trực tiếp giảng dạy, theo dõi và dự giờ, trò chuyện với HS và xem vở
ghi chép cũng nhƣ vở bài tập của họ cho thấy: Khá đông HS không nắm vững
kiến thức trong SGK, không giải đƣợc bài tập ra về nhà hay có chăng nữa thì
đó cũng là việc sao chép máy móc lời giải trong sách giải nhằm đối phó với
việc kiểm tra của GV, không tích cực theo dõi quá trình giải bài tập trên bảng
của thầy và bạn mà chủ yếu ghi chép một cách thụ động vào vở những phép
tính toán cụ thể và kết quả cuối cùng
Từ thực tế dạy học về bài tập chƣơng đạo hàm đã nói ở trên, chúng tôi nhận
thấy rằng: Để khắc phục những khó khăn, sửa chữa những sai lầm của HS trong
việc giải bài tập và giúp GV dễ dàng lựa chọn, sử dụng đƣợc các bài tập một
cách có hiệu quả trong quá trình dạy học chƣơng đạo hàm nhằm phát triển năng
lực tƣ duy độc lập, và nâng cao hiệu quả tự học của HS, rất cần thiết xây dựng hệ

thống bài tập chƣơng này dựa trên những căn cứ xác đáng của cơ sở khoa học,
đồng thời vạch ra đƣợc cách sử dụng trong từng bƣớc lên lớp ở mỗi tiết học.