BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THÙY DUNG
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn


1.1.2. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Không gian C
l

Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Không gian C
l,γ

Ω

với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . 7
1.3. Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Nguyên lý loại trừ Fredholm trong không gian Hilbert . . 9
2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai dạng bảo toàn 11
2.1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 11
iii
iv
2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . 16
2.2. Tính khả vi của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Bất đẳng thức Harnack yếu . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Bất đẳng thức Harnack mạnh . . . . . . . . . . . 24

tính bị chặn của nghiệm suy rộng, cuối cùng là trình bày một số đánh
giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder đối với nghiệm suy rộng ở bên trong
2
miền và trên biên.
Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 8 của tài liệu
[3].
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lớp nghiệm suy rộng cùng với các điều kiện về sự tồn tại
và duy nhất nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet.
- Tính khả vi của nghiệm suy rộng.
- Nguyên lý cực đại yếu.
- Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng.
- Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm suy rộng.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là tài liệu tham khảo về chuyên đề này.
Chương 1
Một số không gian hàm
1.1. Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian L
p

Khi p = 2 :
u (x)
2
L
2
(Ω)
=

Ω
|u (x)|
2
dx.
Chuẩn trong L
2
(Ω) được sinh bởi tích vô hướng
(u (x) , v (x))
L
2
(Ω)
=

Ω
u (x) v (x)dx
4
5
và do đó L
2
(Ω) là không gian Hilbert.
Khi p = ∞ ta định nghĩa L
∞

u

(x) = v(x) ∈ L
1
loc
(a, b) thì ta nói u(x) là khả vi yếu trên (a, b).
1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev
Với k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, không gian W
k,p
(Ω) là không gian bao gồm
tất cả các hàm u (x) ∈ L
p
(Ω) có các đạo hàm suy rộng D
α
u (x) ∈ L
p
(Ω),
với mọi α, sao cho
|α| ≤ k, α = (α
1
, , α
n
) , |α| = α
1
+ + α
n
,
D
α
= D

đây
u
k,p;Ω
= u
W
k,p
(Ω)
=



Ω

|α|≤k
|D
α
u|
p
dx


1/p
. (1.1)
Ta viết u
k,p
thay cho u
k,p;Ω
. Ta có thể xét chuẩn tương đương sau
u
W

của W
k,p
(Ω).
1.2. Không gian Holder
1.2.1. Không gian C
l

Ω

Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
, Ω là bao đóng của nó.
Ta kí hiệu C

Ω

= C
0

Ω

là không gian các hàm số liên tục trên Ω với
chuẩn
u
C
(
Ω
)
= u
0,Ω

l
(
Ω
)
= u
l,Ω
=

|α|≤l
sup
Ω
|D
α
u (x)|. (1.4)
7
Các không gian C
l
(Ω) với chuẩn (1, 4) là không gian Banach.
1.2.2. Không gian C
l,γ

Ω

với 0 ≤ γ ≤ 1
Trước tiên ta định nghĩa không gian C
0,γ

Ω

như sau

,
và trang bị chuẩn cho C
0,γ
(
¯
Ω) như sau
u
γ,Ω
= u
0,Ω
+ [u]
γ,Ω
. (1.5)
Với l ∈ N, 0 ≤ γ ≤ 1 ta định nghĩa của không gian C
l,γ

Ω

bởi điều
kiện
C
l,γ

Ω

=

u ∈ C
l


l,0

Ω

= C
l

Ω

và C
0,1

Ω

là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
1.3. Định lý nhúng
Một không gian Banach B
1
được gọi là nhúng liên tục vào không gian
Banach B
2
, ký hiệu B
1
→ B
2
, nếu tồn tại một đơn ánh tuyến tính liên
tục B
1
→ B
2

u
np/(n−p)
≤ CDu
p
với p < n,
sup |u|
Ω
≤ C|Ω|
1/n−1/p
Du
p
với p > n.
(1.7)
Định lý 1.2. [3] Các phép nhúng sau là liên tục
W
k,p
0
(Ω) → L
np/(n−kp)
(Ω) nếu kp < n,
W
k,p
0
(Ω) → C
m

Ω

nếu 0 ≤ m < k −
n

Dạng song tuyến tính B(x, y) trong không gian Hilbert H được gọi
là bị chặn nếu tồn tại một hằng số K sao cho
|B (x, y)| ≤ K x y , ∀x, y ∈ H (1.9)
và được gọi là bức nếu tồn tại một số ν > 0 sao cho
B (x, x) ≥ νx
2
, ∀x ∈ H. (1.10)
9
Định lý 1.3. [3] Giả sử B là một dạng song tuyến tính bị chặn và
bức trên không gian H. Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn
F ∈ H
∗
, luôn tồn tại duy nhất một phần tử f ∈ H sao cho
B (x, f) = F (x) , ∀x ∈ H.
Chứng minh. Tồn tại ánh xạ tuyến tính T : H → H định nghĩa bởi
B (x, f) = (x, T f) , ∀x ∈ H. Hơn nữa T f ≤ K f bởi (1.9), nên T bị
chặn. Từ (1.10) ta thu được νf
2
≤ B (f, f) = (f, Tf) ≤ f Tf ,
nên ν f ≤ T f ≤ K f với ∀f ∈ H. Đánh giá này chỉ ra rằng T là
một đối một và T
−1
là bị chặn. Giả sử rằng T (H) = H. Khi đó tồn tại
một phần tử z = 0 thỏa mãn (z, T f) = 0 với ∀f ∈ H. Chọn f = z, ta thu
được (z, T z) = B (z, z) = 0, kéo theo z = 0 bởi (1.10). Hệ quả T
−1
là ánh
xạ tuyến tính bị chặn trong H. Ta có F (x) = (x, g) = B

x, T

) trong trường
hợp đầu tiên và λI − T trong trường hợp khác.
Chương 2
Nghiệm suy rộng của phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo
toàn
2.1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich-
let
2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Trong miền bị chặn Ω ⊂ R
n
ta xét đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
L mà được viết dưới dạng bảo toàn
Lu = D
i

a
ij
(x) D
j
u + b
i
(x) u

+ c
i
(x) D
i
u + d (x) u, (2.1)
trong đó a



a
ij
(x)


2
≤ Λ
2
, λ
−2




b
i
(x)


2
+


c
i
(x)




dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω), (2.5)
trong đó dạng song tuyến tính L(u, v) được định nghĩa như sau:
L (u, v) =

Ω

a
ij
D
j
u + b
i
u

D
i
v −

c
i
D
i
u + du

v


(Ω).
Hàm v ∈ H
1
0
(Ω) trong công thức (2.5) được gọi là hàm thử.
Từ điều kiện (2.3) và bất đẳng thức Schwarz, ta suy ra tồn tại C > 0
sao cho
|L (u, v)| ≤

Ω



a
ij
D
j
uD
i
v


+


b
i
uD
i
v

0
(Ω).
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu
Nguyên lý cực đại yếu cổ điển cũng được mở rộng tự nhiên tới các
phương trình elliptic dạng bảo toàn. Để xây dựng nó, chúng ta đưa vào
bất đẳng thức tại biên cho các hàm số trong không gian Sobolev H
1
(Ω).
Cụ thể là, ta nói rằng u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn trên ∂Ω điều kiện u ≤ 0 nếu
phần dương của nó u
+
= max {u, 0} ∈ H
1
0
(Ω). Nếu u là liên tục trên
một lân cận của ∂Ω, thì u thỏa mãn u ≤ 0 trên ∂Ω theo nghĩa cổ điển
tại từng điểm của ∂Ω. Các bất đẳng thức khác trên ∂Ω như u ≤ v được
đưa vào một cách tự nhiên.
Ví dụ 2.1. u ≥ 0 trên ∂Ω nếu −u ≤ 0 trên ∂Ω; u ≤ v ∈ H
1
(Ω) trên ∂Ω
nếu u − v ≤ 0 trên ∂Ω.
Ta có
sup
∂Ω
u = inf

k : u ≤ k trên ∂Ω, k ∈ R

(Ω) không âm.
Chúng ta phát biểu Nguyên lý cực đại yếu như sau
Định lý 2.1. [3] Giải sử u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn Lu ≥ 0 (≤ 0) trong Ω.
Khi đó
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
u
+
, (2.10)
inf
Ω
u ≥ inf
∂Ω
u
−
(2.11)
Chứng minh. Nếu u ∈ H
1
(Ω), v ∈ H
1
0
(Ω) chúng ta có uv ∈ W
1,1
0
(Ω) và
Duv = vDu + uDv. Ta có thể viết bất đẳng thức L (u, v) ≤ 0 dưới dạng

dx ≤ 0,
với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0, do được suy ra từ (2.9). Do các hệ số là
bị chặn nên

Ω
a
ij
D
j
uD
i
vdx ≤ 2λν

Ω
v |Du| dx (2.12)
với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0.
Trong trường hợp đặc biệt b
i
+ c
i
= 0, ta có

Ω
a
ij
D
j
uD
i
vdx ≤ 0 suy ra


Ω
a
ij
D
j
vD
i
vdx ≤ 2λν

Γ
v |Dv|dx, Γ = supp Dv ⊂ supp v,
trong đó
supp v = {x ∈ Ω; v(x) = 0}.
Do tính elliptic ngặt của L, tức là điều kiện (2.2) ta suy ra

Ω
|Dv|
2
dx ≤ 2ν

Γ
v |Dv|dx ≤ 2νv
2;Γ
Dv
2
,
vì thế
Dv
2

trình (2.4) là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1. [3] Giả sử u ∈ H
1
0
(Ω) thỏa mãn Lu = 0 trong Ω. Khi đó
u = 0 trong Ω.
2.1.3. Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định lý 2.2. [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và
(2.9) . Khi đó với mọi ϕ ∈ H
1
(Ω) và g, f
i
∈ L
2
(Ω) , i = 1 n, bài toán
Dirichlet (2.7) Lu = g + D
i
f
i
trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω là giải được duy
nhất.
Chứng minh. Định lý 2.2 sẽ được suy ra như một hệ quả của Định lý
Lax-Milgram. Trước tiên ta quy bài toán Dirichlet về trường hợp giá trị
biên bằng không. Đặt ω = u − ϕ, ta thu được từ (2.4)
Lω = Lu − Lϕ
= g − c
i
D
i
ϕ − dϕ + D

− a
ij
D
j
ϕ − b
i
ϕ

, và từ điều kiện
trên L và ϕ, ta có ˆg,
ˆ
f
i
∈ L
2
(Ω) , i = 1 n và ω ∈ H
1
0
(Ω). Do đó để
chứng minh, ta chỉ xét trường hợp ϕ ≡ 0.
17
Ta viết
H = H
1
0
(Ω), g =

g, f
1
, , f

λ
2

Ω
|Du|
2
dx − λν
2

Ω
u
2
dx, (2.14)
trong đó có hằng số dương λ và ν được mô tả trong (2.2) và (2.3).
Chứng minh.
L (u, u) =

Ω

a
ij
D
i
uD
j
u +

b
i
− c

|Du|
2
dx − λν
2

Ω
u
2
dx.
Cho σ ∈ R, ta định nghĩa toán tử L
σ
bởi
L
σ
u = Lu − σu.
18
Từ Bổ đề 2.1 ta thấy rằng các dạng song tuyến tính tương ứng với L
σ
sẽ là bức nếu σ là số dương đủ lớn.
Tiếp tục, ta định nghĩa một phép nhúng I : H → H
∗
bởi
Iu (v) =

Ω
uvdx, v ∈ H. (2.15)
Từ đó ta có
Bổ đề 2.2. [3] Ánh xạ I từ H vào H
∗
, được xác định bởi (2.15) là

∗
tương đương
với phương trình
L
σ
0
u + σ
0
Iu = F.
Từ Định lý Lax-Milgram, L
−1
σ
0
F là liên tục, ánh xạ 1 − 1 của H
∗
vào H,
áp dụng vào phương trình ở trên, ta thu được phương trình tương đương
u + σ
0
L
−1
σ
0
Iu = L
−1
σ
0
F. (2.16)
Ánh xạ T = −σ
0

Từ L
∗
(u, v) = L (v, u) với u, v ∈ H = H
1
0
(Ω) chỉ ra rằng L
∗
là liên
hợp của L trong không gian Hilbert H. Khi thay L bởi L
σ
trong lí luận
trên, ta thấy rằng phương trình L
σ
u = F sẽ tương đương với phương
trình u + (σ
0
− σ) L
−1
σ
0
Iu = L
−1
σ
0
F và liên hợp T
∗
σ
của ánh xạ compact
T
σ

∗
σ
u = g +D
i
f
i
, u = ϕ trên ∂Ω là giải được duy nhất
với g, f
i
∈ L
2
(Ω) và ϕ ∈ H
1
(Ω) tùy ý. Nếu σ ∈

, thì không gian con
các nghiệm của bài toán thuần nhất, L
σ
u, L
∗
σ
= 0, u = 0 trên ∂Ω có số
chiều dương hữu hạn và bài toán L
σ
u = g + D
i
f
i
, u = ϕ trên ∂Ω là giải
được khi và chỉ khi

(2.9) được thỏa mãn thì

⊂ (−∞, 0).
Toán tử G
σ
: H
∗
→ H cho bởi G
σ
= L
−1
σ
với σ /∈

được gọi là toán
tử Green cho bài toán Dirichlet cho L
σ
. Do G
σ
là toán tử tuyến tính bị
chặn trên H
∗
nên ta có định lý sau.
Định lý 2.4. [3] Giả sử u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn L
σ
u = g + D
i
f

của phương trình Lu = f là hai lần khả vi yếu.
Định lý 2.5. [3] Giả sử u ∈ H
1
(Ω) là một nghiệm suy rộng của phương
trình Lu = f trên Ω, trong đó L là elliptic ngặt trên Ω, các hệ số
a
ij
, b
i
; i, j = 1, , n là liên tục Lipschitz đều trên Ω, các hệ số c
i
, d; i =
1, , n bị chặn thực sự (bị chặn hầu khắp nơi) và hàm f thuộc L
2
(Ω).
Khi đó với miền con bất kì Ω

⊂⊂ Ω, ta có u ∈ H
2
(Ω

) và
u
H
2
(Ω

)
≤ C



c
i
, d


L
∞
(Ω)

và d

= dist (Ω

, ∂Ω) .
Ngoài ra u thỏa mãn phương trình
Lu = a
ij
D
ij
u +

D
j
a
ji
+ b
i
+ c
i