BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN TOÁN

SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP
PHÁT TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP
RUNGE – KUTTA TRONG VIỆC GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Runge - Kutta trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều
biến số” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Toán
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Định nghĩa phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Hệ phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa hệ phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Chuẩn trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Sự kết hợp giữa phương pháp thác triển theo tham
số và phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình phi
tuyến nhiều biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Phương pháp thác triển theo tham số. . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Phương pháp Runge -Kutta cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Phương pháp Runge -Kutta ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
∆y
i
Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
∆y
i
Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến là bài toán được dẫn tới từ nhiều
bài toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phương
pháp cầu phương, Phương pháp sai phân giải Phương trình vi phân phi
tuyến. Giải phương trình vi phân thường phi tuyến. Bài toán giải hệ
phương trình phi tuyến được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Đã
được đề xuất một số phương pháp giải gần đúng như: Phương pháp lặp
đơn, Newton, Thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Runge
- Kutta được các nhà toán học quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Sự kết hợp của
phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Runge – Kutta
trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
dựa trên sự kết hợp của hai phương pháp thác triển theo tham số và
phương pháp Runge – Kutta.
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
dựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phương
pháp Runge – Kutta.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

1) |g(x) − g(y)| ≤ q |x − y| ; 0 < q < 1, x, y ∈ S
2) |g(x) − x| ≤ |1 − q| δ; S = x : |x − x| ≤ δ
6
Khi đó phương trình x = g(x) có nghiệm duy nhất x
∗
và dãy được lập
theo công thức sau:
x
n+1
= g(x
n
), n = 0, 1, 2, , x
0
tùy ý thuộc S sẽ hội tụ tới x
∗
và ta có
các công thức đánh giá :
|x
n
− x
∗
| ≤
q
n
1 − q
|g(x
0
) − x
0
| ,

Max|g

(x)| = 0.25; g(x)
x∈[−3,−2]
∈ [ − 3, −2]
suy ra hàm g là ánh xạ co đi từ [−3, −2] vào chính nó điều này có nghĩa
là phương trình g(x) = x có nghiệm duy nhất trên [−3, −2]. Ta sẽ tìm
nghiệm xấp xỉ của phương trình bởi công thức lặp đơn như sau:
x
k+1
= g(x
k
); x
0
= −2.5; k = 0, 1, 2,
7
k x
k+1
g(x
k
)
0 −2.5 −2.8
1 −2.8 −2.876016663
2 −2.876016663 -2.879102532
3 -2.879102532 -2.879361553
4 -2.879361553 -2.879383257
5 -2.879383257 -2.879385075
6 -2.879385075 -2.879385228
7 -2.879385228 -2.89385240
8 -2.89385240 -2.879385241

f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0

f
n
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
Trong đó: f
i
: R
n
→ R, i = 1, n và các đạo hàm riêng của chúng cho
đến cấp 2 liên tục và giới nội.
8
Đặt: X = (x
1
, x
2

x
1
+ sin x
2
+ x
2
3
+ e
x
4
+ 2 = 0
x
2
1
+ sin x
2
+ x
2
3
+ e
x
4
+ 2 = 0
x
2
1
+ x
2
2
+ sin x

1
=
n

i=1
|x
i
|; x
2
=

n

i=1
|x
2
i
|; x
∞
= max
i=1,n
|x
i
| .
Các chuẩn trên tương đương với nhau
1.2.3. Chuẩn của ma trận
Định nghĩa 1.4. Trong không gian Euclid n chiều cho ma trận A =
(a
ij
)

λ
i
(A
T
A)


1
2
.
9
Trong đó λ
i

A
T
A

là các giá trị riêng của ma trận đối xứng và xác định
không âm A
T
A.
1.3. Hệ phương trình vi phân thường
Định nghĩa 1.5. Hệ phương trình vi phân thường là hệ có dạng







, y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
Trong đó x là biến số độc lập, y
1
= y
1
(x), y
2
= y
2
(x), , y
n
= y
n
(x) là
các hàm cần tìm. Các hàmf

2
(x), , ϕ
n
(x)), x ∈ (a, b)} được gọi là
đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), , ϕ
n
(x).
10
1.3.1. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán có dạng:















dy

1
, y
2
, y
n
)
Thỏa mãn y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
; (x
0
, y

= f
1
(x, y
1
, y
2
, y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y

≤ b; ;


y
n
− y
0
n


≤ b}
Và : |f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)| ≤ M (i = 1, 2, , n)
11
ii) Các hàm f
1
, f
2
, , f
n
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
1
, y

1
, y
2
, , y
n
) , ∀ (x, ¯y
1
, ¯y
2
, , ¯y
n
) ∈ G.
Khi đó hệ đã
cho tồn tại duy nhất nghiệm y(x) = (y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x)) thỏa mãn
điều kiện ban đầu:
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2

M
}.
1.4. Đạo hàm Fréchet
Cho X, Y là các không gian Banach, L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục đi từ X vào Y. f : X → Y, x
0
∈ X, h ∈ X. Nếu tồn
tại toán tử A ∈ L(X, Y ) sao cho f(x
0
+ h) − f(x
0
) = A(x
0
, h) + α(x
0
, h)
trong đó A(x
0
, h) tuyến tính đối với h và lim
h→0
||α(x
0
,h)||
h
= 0 thì ta nói
ánh xạ f khả vi tại x
0
, biểu thức A(x
0
, h) được gọi là vi phân của ánh xạ

1
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0

f
n
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
12
Nếu hệ phương trình có thể đưa được về dạng


1
, x
2
, , x
n
)

x
n
= g
n
(x
1
, x
2
, , x
n
)
Hoặc dạng véc tơ x = ϕ(x); ϕ = (g
1
, g
2
, , g
n
)
Giả sử: x
0
= (x
0
1

(m)
, x
2
(m)
, , x
n
(m)
)

x
n
(m+1)
= g
1
(x
1
(m)
, x
2
(m)
, , x
p
(m)
)
Hoặc dưới dạng véc tơ x
1
(m+1)
= ϕ(x
(m)
); m = 0, 1, 2, hội tụ tới



x
∗
1
= g
1
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
)
x
∗
2
= g
2
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗







x
1
= g
1
(x
1
, x
2
, , x
n
)
x
2
= g
2
(x
1
, x
2
, , x
n
)

x

(m)
2
, , x
(m)
n
) hội tụ đến x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) khi
m → ∞ và sai số của phương pháp được đánh giá bởi công thức:



x
(m)
− x
∗



≤
q

i
− x
0
i


≤ δ}
Giả sử trong hình cầu S các hàm g
i
, i = 1, n có các đạo hàm riêng
∂g
i
∂x
k
thỏa mãn đẳng thức q = max
1≤i≤n

max
x−x
0
<δ
n

k=1




∂g
i

i
(x)
∂x
2




+ +




∂g
i
(x)
∂x
n




< 1, i = 1, n, x ∈ S(x
0
, δ).
thì q = max
1≤i≤n

max
x−x

k ≥ 0
hội tụ tới nghiệm của
hệ x = ϕ(x).
Ví dụ 1.4. Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình trên hình chữ nhật
Q = {(x, y) |0 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1}



y − 0, 5x
2
+ 0, 1x = 0, 5
2x + y −
1
6
y
3
= 1, 6
Hệ phương trình trên tương đương với



x = −
1
2
y +
1
12
y
3
+ 0, 8



ϕ(x
0
) − x
0


= 0.06 ≤ (1 − q)δ suy ra điều kiện 2 của định lí 1.2
được kiểm tra.
Theo định lý 1.2 nghiệm xấp xỉ của hệ bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
được xác định bởi công thức:



x
(k+1)
= −
1
2
y
(k)
+
1
12
(y
(k)
)
3
+ 0, 8

10 0.5241951737 0.5849717578
Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình đã cho là:



x = 0.5241951737
y = 0.5849717578
16
Chương 2
Sự kết hợp giữa phương pháp thác
triển theo tham số và phương pháp
Runge - Kutta giải hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến số
Để giải hệ phương trình phi tuyến, ta sẽ sử dụng phương pháp thác triển
theo tham số để đưa hệ phương trình phi tuyến ban đầu về hệ phương
trình vi phân. Sau đó ta sử dụng phương pháp Runge -Kutta cổ điển
hoặc phương pháp Runge -Kutta ẩn để giải hệ phương trình vi phân
tương ứng. Khi đó nghiệm của hệ phương trình vi phân tại nút N chính
là nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến.
2.1. Phương pháp thác triển theo tham số
Để giải phương trình F (x) = 0 mà nghiệm của nó x
∗
chưa biết ta xét
một họ phương trình phi tuyến G(λ, x) = 0 sao cho tại λ = 1 ta có
phương trình F(x) = 0. Và biết nghiệm của phương trình G(λ, x) = 0
do vậy nghiệm đã biết của phương trình G(λ, x) = 0 ta thác triển liên
tục theo tham số λ ∈ [0, 1] để được ngiệm tại λ = 1.
Định nghĩa 2.1. G : [0, 1]
X
R

Bài toán liên tục
Đầu tiên ta giả sử rằng với mỗi λ ∈ [0, 1] , x(λ) là nghiệm duy nhất của
phương trình G(λ, x) = 0.
Với mỗi λ ∈ [0, 1] tập hợp {x(λ)/0 ≤ λ ≤ 1} có thể được nhìn như
một đường cong trong R
n
từ x(0) tới x(1) = x
∗
được tham số hóa bởi
λ. Phương pháp thác triển liên tục là tìm một dãy các bước theo đường
cong này ứng với {x(λ
k
)}
m
k=0
trong đó λ
0
= 0 < λ
1
< λ
2
< < λ
m
= 1.
Nếu hàm λ → x(λ) và hàm G khả vi Fréchet thì lấy đạo hàm phương
trình G(λ, x) = 0 theo biến λ ta có :
0 =
∂G(λ, x(λ))
∂λ
+

+ F [x(0)] = 0
⇒
∂F
∂x
.
∂x
∂λ
= −F [x(0)]
⇒
dx
dλ
=

∂F
∂x

−1
(−F [x(0)])
⇒
dx
dλ
= −

∂F
∂x

−1
F [x(0)]
= −[J(x(λ))]
−1

∂f
2
∂x
1
x(λ)
∂f
2
∂x
2
x(λ)
∂f
2
∂x
n
x(λ)

∂f
n
∂x
1
x(λ)
∂f
n
∂x
2
x(λ)
∂f
n
∂x
n

. khi đó với bất kỳ x(0) ∈
19
R
n
, tồn tại duy nhất một hàm x(λ) sao cho G(λ, x(λ)) = 0 ∀λ, 0 ≤ λ ≤
1. Hơn nữa x(λ) là hàm khả vi liên tục và x

(λ) = −[Jx(λ))]
−1
F (x(0))
với mỗi 0 ≤ λ ≤ 1.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình phi tuyến











f
1
= 3x
1
− cos(x
2
x

1
, f
2
, f
3
)
D(x
1
, x
2
, x
3
)
=





3 x
3
sinx
2
x
3
x
2
sinx
2
x

ta có
F (x(0)) =





−1.5
0.25
10
π
3





Khi đó hệ phương trình vi phân tương ứng là:





x

1
(λ)
x

2

−162(x
2
+ 0, 1) cos x
3
−x
2
e
−x
1
x
2
−x
1
e
−x
1
x
2
20





−1
.





1
dλ
= φ
1
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)
dx
2
dλ
= φ
2
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)

dx
n
dλ
= φ
n
(λ, x

, x
n
)

φ
n
(λ, x
1
, x
2
, x
n
)








= −J(x
1
, x
2
, x
n
)
−1



2.2. Phương pháp Runge-Kutta
Phương pháp Runge -Kutta là một phương pháp số để giải hệ phương
trình vi phân thường. Nghiệm của hệ tìm được dưới dạng bảng số.
2.2.1. Phương pháp Runge -Kutta cổ điển
Để giải phương trình x

(λ) = −[f(x(λ))]
−1
f(x(0)) ta chọn một số nguyên
N > 0 và đặt h =
1
N
chia đoạn [0, 1] thành N đoạn bằng nhau với các
điểm lưới λ
j
= j.h; j = 0, 1, 2, , N ta sử dụng các kí hiệu ω
ij
; j =
0, 1, 2, , N, i = 1, 2, 3, , n để xác định xấp xỉ x
i
(λ
j
) với các điều kiện
ban đầu, đặt:
ω
10
= x
1
(0), ω

ω
2,j,
, ω
n,j
); i = 1, 2, , n
k
2,i
= hφ
i
(λ
j
+
h
2
, ω
1,j
+
1
2
k
1,1
, ω
2,j
+
1
2
k
1,2
, , ω
n,j

n,j
+
1
2
k
2,n
); i = 1, 2, , n
k
4,i
= hφ
i
(λ
j
+ h, ω
1,j
+ k
3,1
, ω
2,j
+ k
3,2
, , ω
n,j
+ k
3,n
); i = 1, 2, , n
Và cuối cùng ω
i,j+1
= ω
i,j

1,n








, k
2
=








k
2,1
k
2,2

k
2,n





, k
4
=








k
4,1
k
4,2

k
4,n








Và ω
j
=




dx
1
dλ
dx
2
dλ

dx
n
dλ









=















= −J(x
1
, x
2
, x
n
)
−1








f
1
(x
0
)
f
2