Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
1 Định lý thác triển Hartogs 3
1.1 Hàm chỉnh hình một biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Thác triển giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Không gian C
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . 8
1.2.4 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Định lý thác triển Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Định lý 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Định lý 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một 14
2.1 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến
tính cấp một hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Hệ phương trình elliptic hệ số hằng . . . . . . . . . 14
2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
MỤC LỤC
2.2 Tiêu chuẩn ma trận đối với hệ phương trình elliptic tuyến
tính cấp một hệ số hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

hơn.
Mục đích của luận văn là đưa ra tiêu chuẩn ma trận để nghiệm của các
hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp một (2.1) và (2.1’) có tính chất
thác triển Hartogs. Đồng thời trình bày kết quả đối với một số hệ phương
trình mà nghiệm có thể thác triển được ra một miền lớn hơn khi ta bổ
sung điều kiện thích hợp. Nội dung chính của luận văn được trình bày
trong ba chương:
• Chương 1: Định lý thác triển Hartogs. Chương này giới thiệu các kiến
thức cơ bản về hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến phức. Thêm
vào đó là định lý thác triển Hartogs đối với hàm chỉnh hình nhiều
biến phức.
• Chương 2: Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một. Mục đích chương 2 là đưa
ra các tiêu chuẩn ma trận đối với hệ elliptic tuyến tính cấp một hệ số
hằng và hàm, tiếp đó là ví dụ áp dụng.
• Chương 3: Định lý thác triển đối với một số hệ phương trình. Dựa vào
tiêu chuẩn ma trận được trình bày trong chương 2 đối với hệ phương
trình elliptic tuyến tính cấp một hệ số hằng tìm ra các điều kiện thích
hợp để một số hệ phương trình có tất cả các nghiệm thác triển được
ra một miền lớn hơn, tức là có định lý thác triển Hartogs.
2
Chương 1
Định lý thác triển Hartogs
Đối với miền D ⊂ C tồn tại hàm chỉnh hình trong D và không thác
triển giải tích được ra ngoài giới hạn của miền. Nhưng trong không gian
C
n
(n > 1) tại những miền mà hàm chỉnh hình bất kỳ trong nó luôn thác
triển được ra miền rộng hơn. Chương này trình bày những khái niệm đơn
giản mở đầu về hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến phức đồng thời

√
h
2
+ k
2
và ε(h, k) → 0 khi ρ → 0.
Nếu f là hàm R - khả vi tại điểm thì các hằng số A và B (thực hoặc
phức) được xác định duy nhất và tương ứng bằng
A =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
B =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)
3
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Và biểu thức
df =
∂f
∂x

, y
0
)dy.
Xét vi phân
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)dx +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)dy
Đối với các hàm z = x + iy, và z = x − iy,
ta có dz = dx + idy, dz = dx −idy.
Do đó
dx =
1
2
(dz + dz), dy =
1
2i
(dz − dz)
=⇒ df =
1

∂f
∂z
=
1
2
(
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
)
Ta có
∂f
∂x
=
∂f
∂z
+
∂f
∂y
,
∂f
∂y
= i(
∂f
∂z
−
∂f
∂z

∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂y
=
∂v
∂x
Hệ phương trình trên được gọi là hệ Cauchy – Riemann.
Mối liên hệ giữa C - khả vi và R
2
- khả vi
Hàm f R
2
- khả vi trong miền D là hàm C - khả vi trong miền đó khi
và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện
∂f
∂z
= 0.
1.1.2 Hàm chỉnh hình
Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z
0
nếu nó là C - khả vi tại
một lân cận nào đó của điểm z
0
. Hàm f được gọi là chỉnh hình trong miền
D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền đó. Tập hợp các hàm chỉnh
hình trong miền D được ký hiệu H(D).
1.1.3 Công thức tích phân Cauchy

2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0 (1.1)
Toán tử vi phân ở vế trái của 1.1 được gọi là toán tử Laplace và được ký
hiệu ∆.
• Mọi hàm chỉnh hình đều là hàm điều hòa.
• Phần thực và phần ảo của hàm chỉnh hình là các hàm điều hòa.
Định lý 1.1.1. (Định lý duy nhất) Nếu hai hàm u
1
và u
2
điều hòa ở trong
miền D là trùng nhau trên tập hợp E ⊂ D có ít nhất một điểm trong thì
u
1
≡ u
2
trong D.
1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức
1.2.1 Không gian C
n
Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R

2
, , z
n
) = {z
v
}.
Được gọi là không gian phức n chiều, kí hiệu C
n
.
Có thể xem với n tùy ý, không gian C
n
là tích của n mặt phẳng phức:
C = C × C × × C
  
n
.
6
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
1.2.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức
Cho miền D ∈ C
n
, xét hàm phức f : D → C.
Giả sử rằng f khả vi tại điểm z ∈ D theo nghĩa giải tích thực (R
2n
- khả
vi) tức là tồn tại vi phân:
df =
∂f
∂x
1

z
v
− z
v
2i
,
(v = 1, 2, , n)
Ta có thể viết lại một cách hình thức dưới dạng:
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
+
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n

v
+ i
∂f
∂x
n+v

và kí hiệu
∂f =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
,
¯
∂f =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z

n
.
Điều kiện khả vi phức 1.2 chứa 2n phương trình thực (u = Ref và
v = Imf). Với n > 1 hệ phương trình đó là xác định thừa số phương trình
trong đó lớn hơn số hàm đang xét.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm C
n
- khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của
điểm z ∈ C
n
, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình tại
mỗi điểm của tập mở nào đó Ω ⊂ C
n
được gọi là chỉnh hình trên tập Ω.
Tổng và tích hai hàm khả vi (C
n
- khả vi ) tại điểm z nào đó cũng khả
vi tại điểm này, do đó các hàm khả vi tại một điểm lập thành một vành.
Đặc biệt các hàm chỉnh hình trong miền D ⊂ C
n
lập thành một vành, ký
hiệu là H(D).
1.2.3 Một số tính chất của hàm chỉnh hình
(A) Hàm f liên tục trong miền D ⊂ C
n
theo tập hợp các biến và tại mỗi
điểm z ∈ D chỉnh hình theo mỗi tọa độ.
• Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng
U = {z ∈ C
n

γ
v
= {|ζ
v
− a
v
| = r
v
}.
Với z

∈ U

tùy ý , trong đó z

và U

ký hiệu hình chiếu của z và U
trong không gian C
n−1
(z
1
, , z
n−1
) , hàm
f = f (z

, z
n
)

∈ γ
n
và z

∈ U

tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn
bởi tích phân Cauchy theo biến z
n−1
, đồng thời do tính liên tục của
f theo tập hợp biến, tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội
theo tích
γ
n−1
× γ
n
. Công thức 1.3 được viết dưới dạng đơn giản
f (z) =
1
(2πi)
n

Γ
f (ζ) dζ
ζ −z
Trong đó
dζ = dζ
1
dζ
n

đó
∂f
∂z
v
= 0
(v = 1, . . . , n), do đó hàm f = u −iv là R
2n
- khả vi tại lân cận trên, và
ở đó, đối với v = 1, . . . , n tùy ý.
∂f
∂z
v
=
1
2

∂f
∂x
v
− i
∂f
∂y
v

=

∂f
∂z
v


∂z
µ
∂z
v
=
1
2
∂
2
f
∂z
µ
∂z
v
và có thể đổi thứ tự vi phân, tức là
∂
2
f
∂z
µ
∂z
v
=
∂
∂z
v

∂f
∂z
µ

2
∂y
µ
∂y
v

+
i
4

∂
2
∂x
v
∂y
µ
−
∂
2
∂x
µ
∂y
v

Điều kiện 1.4 phân thành phương trình đạo hàm riêng cấp hai:
∂
2
u
∂x
µ

2n
thỏa mãn tại mỗi điểm (x, y) ∈ D
các phương trình 1.5 được gọi là đa điều hòa trong miền đó.
• Phần thực và phần ảo của hàm f chỉnh hình trong miền D ⊂ C
n
là
đa điều hòa trong miền đó.
• Đối với hàm u tùy ý ,đa điều hòa trong lân cận U của điểm (x
0
, y
0
) ∈
R
2n
, tồn tại hàm f chỉnh hình tại điểm z
0
= x
0
+ iy
0
có phần thực (
hay phần ảo ) bằng u.
10
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
1.3 Định lý thác triển Hartogs
Định lý thác triển Hartogs thể hiện tính chất khác biệt về bản chất của
hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình một biến phức.
1.3.1 Định lý 1
Định lý 1.3.1. Cho các miền D


n
f (z

, ξ
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.
Với ξ
n
∈ ∂D
n
, Z

∈ D

, thì điểm (z

, ξ
n
) ∈

. Vì f (z

, ξ

n
sao cho (z, ξ
n
) ∈

thì tồn tại tập mở δ = ∅
mà δ ⊂

.
Theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z
n
thì
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, z
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.


.
Trong đó z
0
∈ D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D =
D

× D
n
.
Chứng minh.
11
Chương 1. Định lý thác triển Hartogs
Không giảm tính tổng quát ta coi D
n
giới nội bởi một số hữu hạn đường
cong trơn. Hàm
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, ξ
n
)
ξ
n

trong
D

(z
n
/∈ ∂D
n
) .
Mặt khác với z

∈ D

hàm f chỉnh hình đối với z
n
∈ D
n
.
Với z

rất gần z
0
, ξ
n
∈ ∂D
n
sao cho (z

, ξ
n
) ∈

1.3.2 Định lý 2
Định lý 1.3.3. Giả sử cho các miền D

⊂ C
n−1
(z

) và D
n
⊂ C(z
n
), hàm
f tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa) của tập
M = (D

× ∂D
n
) ∪

z
0

× D
n

.
Trong đó z
0
∈ D


n
Chỉnh hình trong miền D = D

× D
n
.
Thật vậy khi ξ
n
∈ ∂D
n
và z

∈ D

thì điểm

z

, ξ
n

∈ M do đó f

z

, ξ
n

chỉnh hình. Suy ra
∼

, ξ
n
) ∈

) thì tồn tại tập mở δ = ∅
mà δ ⊂

.
Theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến z
n
thì
f (z) =
1
2πi

∂D
n
f (z

, z
n
)
ξ
n
− z
n
dξ
n
.
Ta thấy


j=1
A
(l)
ij
∂u
i
∂x
j
= 0, l = 1, , L (2.1)
Trong đó
A
(l)
ij
= const,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . , L,
u
i
= u
i
(x
1
, x
2
, , x
m
) giải tích thực theox
1
, x
2

m
(x)) là một nghiệm
14
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
của hệ đó trong miền
G
với G ⊆
G
⊆ R
n
. Khi đó

u được gọi là thác
triển liên tục của u nếu

u = u trong G.
Định lý 2.1.1. (Định lý duy nhất) Cho u = (u
1
(x), u
2
(x), , u
m
(x)) là
một nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1 trong miền G, hơn nữa cho σ là
tập con mở khác rỗng của G. Nếu u = 0 với x = σ thì u ≡ 0 với x ∈ G.
Hệ elliptic thoả mãn định lý duy nhất.
2.1.2 Các tiêu chuẩn ma trận
Kí hiệu
A

L

l=1

λ
(l)
i

2

1
2
A
(l)
là ma trận cỡ m × n và
−→
λ
i
là véc tơ L - chiều. Nếu véc tơ
−→
λ
i
được
chọn trước thì ta định nghĩa ma trận cỡ m ×n như sau:
D
i
=
L

l=1

λ
1
, ,
−→
λ
m
sao cho
các điều kiện sau được thỏa mãn :
(i) Rank D
i
= 1 với ∀i = 1, 2, , m,
(ii) Rank B = m,
(iii) Rank C = m.
15
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Khi đó mỗi nghiệm giải tích (thực ) u của hệ 3.1 trong

có thể thác
triển liên tục được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn G ⊂ R
n
(

là lân cận mở của ∂G ).
Chứng minh.
Trong phần chứng minh sẽ chỉ ra tồn tại các ánh xạ A biến x thành ξ
và A
1
biến u thành u



m
) được cho trong


là giải tích (thực) theo ξ
1
, , ξ
m
(


= A (

) ).
Từ đó chỉ ra được u

thác triển liên tục thành hàm giải tích (thực) trong
toàn G

. Suy ra tìm đc thác triển của u trong toàn G.
Kí hiệu
D
1
=

D
(1)
kj


(1)
12
a
11
= α
21
, ,
D
(1)
1n
a
11
= α
n1
16
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Thì ta nhận được
D
(1)
12
= a
11
α
21
, , D
(1)
1n
= a
11

]
là hàng thứ k của ma trận D
1
. Từ 2.8, 2.10 và 2.11 ta có
D
(1)
kj
= γ
(1)
k
D
(1)
1j
= γ
(1)
k
a
11
α
j1
, k = 1, , m, j = 1, , n (2.12)
Đặt
γ
(1)
k
a
11
= a
1k
, k = 1, , m (2.13)

D
(i)
kj
= a
ik
α
ji
, i = 2, , m (2.16)
Từ 2.14, 2.16 và giả thiết (ii) của định lý 2.1.2 ta có








a
11
α
j
1
1
a
21
α
j
2
2
a

a
2m
α
j
2
2
a
mm
α
j
m
m








= 0 (2.17)
17
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
trong đó 1 ≤ j
l
≤ m, l = 1, . . . , L.
Do 2.17 ta có
α
j

m2
+ + + +
a
1m
a
2m
a
mm








= 0
Hay








a
11
a
21





a
1k
1
α
11
a
1k
1
α
21
a
1k
1
α
n1
a
1k
2
α
12
a
1k
2
α
22
a

l
≤ m, l = 1, . . . , L.
Kí hiệu
−→
α
1
= (α
11
, , α
n1
)
−→
α
2
= (α
12
, , α
n2
)

−→
α
m
= (α
1m
, , α
nm
)
(2.20)
Khi đó ta lấy hệ m véc tơ với n thành phần {

α
1
, ,
−→
α
m
,
−−−→
α
m+1
, ,
−→
α
n
} (2.21)
18
Chương 2. Các tiêu chuẩn ma trận đối với thác triển nghiệm của hệ
phương trình elliptic tuyến tính cấp một
Do đó























= 0 (2.22)
Trong đó
−−−→
α
m+1
= (α
1m+1
, , α
nm+1
)

−→
α
n
= (α
1n
, , α
nn
)

Do 2.18, 2.22 các phép biến đổi 2.24, 2.25 là các phép biến đổi tuyến tính
đơn ánh.
Ký hiệu
G

= A (G) (2.26)


= A



(2.27)
thì dễ dàng thấy rằng G

là một miền trong (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
và


là một
lân cận của ∂G

. Khi đó các hàm u
1
(x), , u

i
∂ξ
k
=
m

j=1
a
ij
∂u
j
∂ξ
k
=
m

j=1
n

l=1
a
ij
∂u
j
∂x
l
∂x
l
∂ξ
k

∂ij
α
li
∂u
j
∂x
l
, i = 1, , m (2.29)
thỏa mãn.
Áp dụng 2.29 thay j bởi k và l bởi j và lấy
∂u

i
∂ξ
i
=
m

k=1
n

j=1
a
ik
α
ji
∂u
k
∂x
j

Do đó
∂u
i

∂ξ
i
= 0, i = 1, , m
Suy ra rằng u

i
không phụ thuộc vào ξ
i
. Khi đó u
i

(ξ) được cho trong một
lân cận


của G

, ta có thể mở rộng hàm này thành hàm giải tích(thực)
trong toàn G

. Kí hiệu mở rộng của u

i
(ξ) bởi

u

, ,

u

m
). Dễ dàng chỉ ra rằng các hàm

u
i
xác định trong
toàn G và giải tích thực theo x
1
, , x
n
.
Mặt khác ta có

u
i
= u
i
, trong

(2.34)
Khi u = (u
1
, , u
m
) là nghiệm của 3.1 trong


1
, ,

u
m
) là một nghiệm của hệ 3.1
trong toàn G. Do đó

u là thác triển của u trong toàn G.

Nếu m, n bất kỳ ta có:
Định lý 2.1.3. Giả sử tại m véc tơ
−→
λ
1
, ,
−→
λ
m
sao cho ma trận phụ thuộc
D
i
, B, Cthỏa mãn các giả thiết sau:
(i) RankD
i
= 1, với i = 1, , m,
(ii) RankB = m,
(iii) RankC = 1.
Khi đó nghiệm (giải tích thực) của hệ 3.1 trong



m
(x) xác định trong


và giải tích thực theo ξ
1
, , ξ
n
.
Từ 2.37 thấy rằng u

1
(x), , u

m
(x) không phụ thuộc vào ξ
1
.
Do đó u

i
(x), i = 1, . . . , m có thể thác triển thành các hàm giải tích thực
trong toàn bộ G

.
Kí hiệu các hàm thác triển của u

1
(x), , u

11
, , α
n1
thỏa mãn
D
(1)
kj
= a
1k
α
j1
, k = 1, , m, j = 1, , n
a
11
= 0, α
11
= 0.
Tương tự từ giả thiết (i) của định lý 2.1.3 ta lấy
(a

i1
, , a

im
), (α

1i
, , α

ni

11
a
11
α
21
a
11
α
n1
+ + + +
a
1m
α
11
a
1m
α
21
a
1m
α
n1
a

21
α

12
a


a

mm
α

1m
a

mm
α

2m
a

mm
α

nm













(i,l)
là các hằng số. Ta được
a

il
α

ki
= γ
(i,l)
a
1l
α
k1
(2.42)
với i, l = 1, , m, k = 1, , n. Kí hiệu
γ
(i,l)
a
1l
= a
il
(2.43)
Thay 2.43 vào 2.42 được
a

il
α

ki

α
n1
a
m1
α
11
a
m1
α
n1
+ + + + + + +
a
1m
α
11
a
1m
α
n1
a
mm
α
11
a
mn
α
n1


= 1 (2.47)






a
11
a
1n
+ + +
a
n1
a
nn






= 0 (2.48)
23