Chuyên đề: Chuyển động của mạch kín trong từ trường
Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia và quốc tế những năm gần đây xuất
hiện nhiều bài toán liên quan đến mảng hiện tượng cảm ứng điện từ. Những bài toán này là thường khá
hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp của
phần từ, điện, cơ, tích phân…Qua việc phân tích và giải các bài toán tôi thấy khá nhiều bài toán dựa trên
chuỗi logic như sau: Xuất hiện tác nhân làm biến đổi từ thông qua mạch kín (gây ra suất điện động cảm
ứng trong mạch). Làm cho trong mạch kín xuất hiện dòng điện cảm ứng tuân theo các quy luật về mạch
điện. Dòng điện này chạy qua các dây dẫn tạo ra lực từ làm mạch kín chuyển động tuân theo các định
luật về cơ học. Nhằm giúp các em giải quyết những bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “Chuyển
động của dây dẫn, của mạch mạch kín trong từ trường”. Vậy hướng giải quyết những bài toán này như thế
nào?
B1: Phân tích hiện tượng cảm ứng điện từ, tính suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch bằng cách
xét biến thiên từ thông, chia nhỏ dùng tích phân.
B2: Dùng các định luật về mạch điện (định luật Ôm, định luật Kiecsop…) để tìm biểu thức dòng điện
trong mạch
B3: Dòng điện qua các dây dẫn đặt trong từ trường sẽ gây ra lực từ. Dùng định luật cơ bản về chuyển
động của vật rắn, các định luật bảo toàn để suy ra quy luật chuyển động.
Chuyên đề được chia làm hai phần
Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về hiện tượng cảm ứng điện từ và cách tính suất điện động cảm
ứng trong một số trường hợp cơ bản.
Phần 2: Bài tập chuyển động của mạch kín trong từ trường không đổi và từ trường biến thiên theo không
gian, thời gian.

Phần 1: Ôn tập về hiện tượng cảm ứng điện từ
I. Hiện tượng cảm ứng điện từ
- Khi có từ thông biến thiên qua mạch kín thì trong mạch kín sẽ xuất hiện suất điện động cảm ứng eC
1


- Trong mạch kín suất điện động cảm ứng eC sẽ sinh ra dòng điện cảm ứng iC
- Theo định luật Lentz, iC có chiều sao cho từ trường mà nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông sinh

∆t
∆t
∆t

Các cực của e tuân theo quy tắc bàn tay phải ⇒ N là cực dương, M là cực
âm

1.b. Thanh dẫn chuyển động tịnh tiến trong từ trường không đều
Bài toán 1: Xét từ trường gây ra bởi dòng điện I không đổi chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn. Một thanh dẫn
r
MN có chiều dài l chuyển động tịnh tiến với vận tốc v. Biết v vuông góc với dây dẫn và MN chuyển động trong
mặt phẳng chứa dây dẫn thẳng dài vô hạn. Tìm biểu thức độ lớn suất điện động trên MN khi nó cách dây dẫn thẳng
dài một đoạn là x.
Giải
Thời điểm thanh dẫn cách dây dẫn thẳng dài một đoạn x thì cảm ứng từ trên thanh dẫn là:

B = 2.10−7

I
x

Trong khoảng thời gian ∆t thanh MN quét được diện tích ∆ S = l .(v.∆t )

M (+)

I

Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh MN:

∆Φ B.∆S


Xét một phần tử trên thanh MN có khoảng cách đến dây dẫn thẳng dài là x và có chiều dài dx.
−7
Cảm ứng từ trên đoạn dây này là: B = 2.10 .

I
x

M

N

dx

r
x

ur
B

2


−7
Suất điện động trên đoạn dây này là: de = B.v.dx = 2.10

I
v.dx
x



Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:

e=

∆Φ B.∆S B l 2ω.∆t
=
=
∆t
∆t
∆t 2

⇒e=

M

Bω l 2
2

Bài toán 2: Xét thanh MN quay với tốc độ góc ω quanh trục cố định vuông góc với thanh đi qua điểm P trên

r

thanh. Cho PM = l 1 , PN = l 2 . Vùng từ trường đều có B vuông góc với thanh. Tìm độ lớn suất điện động cảm
ứng trên thanh.
Giải
Theo bài toán 1 thì trên thanh PM có suất điện động e1 =
Trên thanh PN có suất điện động e2 =

Bωl


∆Φ B.∆S B l 2ω.∆t
e=
=
=
∆t
∆t
∆t 2
Bω l 2
⇒e=
2

3


Bài toán 3: Xét vùng không gian có từ trường có tính đối xứng trụ. Độ lớn cảm ứng từ tại điểm cách trục trụ

r

khoảng r là B = B0 r và B hướng thẳng đứng lên. Một thanh dẫn MN có chiều dài l quay đều trong mặt phẳng
ngang với tốc độ góc ω quanh đầu M nằm trên trục đối xứng của từ trường. Tìm độ lớn suất điện động cảm ứng
trên thanh.
Giải
Xét một phần tử cách trục quay một khoảng x và có chiều dài dx

r
Trong khoảng thời gian rất ngắn dt ta coi phần tử này chuyển động tịnh tiến với vận tốc v = ω.x ( v vuông góc
với thanh).

de = Bx .v.dx = ( B0 x ).ω.x.dx

Xét cạnh AC, chia cạnh thành các phần tử dài dx dọc theo phương dây dẫn, khi đó dx = da.tan θ
Ta có độ lớn suất điện động lên mỗi phần tử trên là:
4


d ε = Bv.dx =

µ0 Iv.tan θ da
.
2π
a

I
d

µ0 Iv.tan θ d + l da µ0 Iv.tan θ
d +l
→ ε2 =
.∫
=
.ln
2π
a
2π
d
d

a
a + da


Bài 2: Một khung dây kim loại hình vuông điện trở không đáng kể đặt trên mặt bàn ngang không ma sát, khối
lượng m, độ dài cạnh là a, độ tự cảm L. Khung và bàn đặt trong không gian có từ trường đều, đường sức từ thẳng
đứng có độ lớn B = B0 ( 1 + kx ) trong đó B0, k là các hằng số dương. Lúc đầu khung nằm yên, không có dòng điện.

uur

Tại t = 0 người ta truyền cho khung vận tốc v0 dọc theo trục Ox
1. Tìm thời gian tmin kể từ thời điểm khung bắt đầu chuyển động đến khi khung có vận tốc bằng 0
2. Tính tổng điện lượng dịch chuyển trong khung trong thời gian trên
Giải
a) Gọi độ lớn suất điện động cảm ứng trên mỗi cạnh của khung khi cạnh bên trái của khung ở toạ độ x lần lượt là E 1
và E2
Ta có E1 = B0 ( 1 + kx ) va ; E2 = B0 1 + k ( x + a )  va

Do E1 , E2 mắc xung đối nên biểu thức suất điện động trong khung ở thời điểm t là:

E = E2 − E1 = B0 a 2 kv = L

di
dt

a

Tích phân 2 vế ta được B0 a 2 kx = Li → i =

B0 a 2 k
x
L

Lực từ tác dụng lên 2 cạnh của khung

B0 a 2 k

Thời gian đến khi thanh có vận tốc bằng 0 là tmin =

T π mL
=
4 2 B0 a 2 k

5


v

A= 0

x
=
0
A
cos
ϕ
=
0



ω
→
→
b) Tại t = 0 : 



Điện lượng chạy qua khung:
T /4

q=

∫

T /4

idt =

0

∫v

0

0

m
π
m

cos  ωt − ÷dt = v0
L
2
L



1 + 2 ( 2 x − a ) 



Do khung siêu dẫn nên từ thông bảo toàn: LI 0 = LI x + ϕ B

B a2
ϕ
Ta có: I x = I 0 − B = I 0 − 0
L
L

 α

1 + 2 ( 2 x − a ) 

db

(1)

Fx = F1 − F2 = B0 (1 + α x) I x .a − B0 [ 1 + α ( x − a ) ] I x .a
F = B0α I x a

x
b

Hợp lực tác dụng lên khung theo phương Ox là:

2


B0 a 2α
mL

r

Bài 4: Một khung dây kín hình vuông cạnh a, có điện trở R nằm trong từ trường có B vuông góc với mặt phẳng

r

của khung. Mặt phẳng của khung song song với mặt phẳng Oxy. Khung được truyền vận tốc ban đầu v0 hướng dọc
theo chiều dương trục Ox. Biết từ trường chỉ biến thiên theo trục Ox theo quy luật

dB
= k . Tìm vận tốc của
dx

khung sau thời gian t từ khi khung bắt đầu chuyển động.
Giải
Vì

dB
= k ⇒ B = kx + B0
dx

Tại thời điểm t thì cạnh AB có tọa độ là x còn cạnh CD có tọa độ là x + a .
Suất điện động xuất hiện trên 2 cạnh AB và CD là:

eAB = BAB .v.a = (kx + B0 )v.a
eCD = BCD .v.a = [ k ( x + a ) + B0 ] v.a

ln v = −

k 2a4
t +C
mR

Tại t =0 thì v = 0 ⇒ C = ln v0

⇒ v = v0 .e

−

k 2a4
t
mR

Bài 5: Cho hệ trục tọa độ Oxyz với trục Oz hướng thẳng đứng lên trên. Trong vùng không gian z < 0 có một từ

r

trường đều với vecto cảm ứng từ B (0, B, 0) . Lúc đầu trong vùng không gian z > 0 (không có từ trường) có một
vòng dây siêu dẫn, cứng, mảnh, hình tròn bán kính R, độ tự cảm L và có dòng điện không đổi cường độ I 0 chạy

r

bên trong. Sau đó vòng dây được truyền vận tốc ban đầu v0 . Tìm giá trị tối thiểu của v0 để một nửa diện tích vòng
dây được kéo ra khỏi vùng có từ trường.
7



 0
÷l x
x
x
L 


Công lực từ tác dụng lên khung khi một nửa diện tích khung ra khỏi vùng có từ trường là:

A = ∫ dA = ∫ Fx dx

B2Sx 
= ∫  I0 B −
÷l x dx
L 

π R2
2


B2Sx 
= ∫  I0 B −
÷dS x
L 
π R2 

π R 2 3B 2 2 4 
=  − I 0 B.
+
.π R ÷

đầu dây dẫn đi qua một đỉnh của khung như hình vẽ. Sau đó cho dây chạy với
vận tốc v không đổi sang trái theo phương vuông góc với dây dẫn. Từ trường
đều B, phương vuông góc với mặt phẳng khung có chiều như hình vẽ. Cho
điện trở trên một đơn vị chiều dài của khung và của dây dẫn là r = 100 Ω/m, a
= 0,1 m, v = 0,24 m/s, B = 10 -4 T. Chọn thời điểm t = 0 là lúc khung bắt đầu
chuyển động. Lúc đó sẽ có dòng điện I qua dây dẫn.
1. Lập hàm I (t ) và vẽ đồ thị
2. Tìm tổng điện lượng Q qua dây dẫn
3. Vẽ đồ thị biểu diễn lực từ tác dụng vào dây dẫn theo thời gian

M

Giải
1. Khi khung chuyển động ta có mạch điện như hình vẽ.
8
N


Gọi M, N lần lượt là giao điểm của khung với dây dẫn

(

)

Ta có điện trở phần bên trái R1 = 2 2vtr và bên phải R2 = 4a − 2 2vt r
2
2
Suất điện động của mạch kín bên trái ε1 = 2Bv t và bên phải là ε 2 = 2Bv t

Điện trở đoạn MN là R = 2vtr



Bv

(
(

0 ≤ t ≤ t0
vt 
2 +1 −  r
a
Bv
t 0 ≤ t ≤ 2t 0
v ( 2t0 − t ) 
2 +1 −
r
a


)
)

10
A (0 ≤ t ≤ 0,3s)

1− t
Thay số ta có I ( t ) = 
−7
 10 A (0,3s ≤ t ≤ 0, 6 s)


0

−7

0

dt
≈ 7.10 −8 C
1− t

3. Từ công thức F = B.I .l ta có

F(N)
2,06.10-12

t

−12
 4,8.10 . 1 − t N 0 ≤ t ≤ 0,3s
I ( t) = 
 4,8.10−12. 0, 6 − t N 0,3s ≤ t ≤ 0, 6 s

0, 4 + t

0

Từ đó ta có đồ thị F(t) như hình vẽ
Bài 7: Một khung dây dẫn hình vuông MNPQ có khối lượng m, cạnh là b đặt trên bàn nằm ngang nhẵn. Khung

r


B (1 + α x) b v dt B (1 + 2α x )b v dt
≈
R
R
2
0

dQ = i 2 Rdt =

y

2

2 2

2
0

r
B

P

Q

2 2

(1)


2
2
Kể từ giai đoạn trên cho đến khi dừng lại, theo định luật bảo toàn năng lượng:

v0
mv12
− 0 = Q ' = Q . Suy ra: v1 =
2
2
Tích phân 2 vế của pt (3):
v1

b

∫B

2
0

0

(1 + 2α x)b .dx = − ∫ Rmdv
2

v0

B02b3 (1 + α b) = Rm(v0 − v1 )

→R=



Lấy tích phân 2 vế:

∫
b

0

B02b 4α 2 dx = − ∫ Rmdv
v1

10


B02b 4α 2 s1 = Rmv1 =

Rmv0
2

⇒ s1 =

Thay R ở câu a) vào và biến đổi ta được: s1 =
Quãng đường cần tìm = b + s1 = b +

(

B b α2 2
(1 + α b)

bα 2

B0α zπ r 2
→i =
L
Ta có thành phần từ trường Bz kéo dãn vòng, thành phần Bx gây lực tác dụng theo phương z

Ft = B0 β r.

B0α zπ r 2
2π 2 r 4 B02αβ
.2π r =
z
L
L

&
Theo định luật II Niuton: Ft + mg = −mz&
2π 2 r 4 B02αβ
&= 0
z + mg + mz&
L
2π 2 r 4 B02αβ
→
z+g+&
z&= 0
mL
→

Đặt Z = z +

mgL



2. i =

B0α zπ r 2
mgL
mg


 cos ( ωt ) − 1
cos
ω
t
−
1
.
=
(
)
2 4 2


2π r B0 αβ
L
2π r 2 B0 β 

⇒ imax =

mg
≈ 19,9 A

ρ

2. Do có dòng điện I chạy qua, phần tử ∆l của vành chịu tác dụng của lực điện từ ∆F, lực này vuông góc với mặt
phẳng vành có độ lớn ∆F=BI∆l

r

Lực điện từ tổng hợp F tác dụng lên vành có hướng vuông góc với mặt phẳng của vành có độ lớn:

2π rSB 2
ρ
r
r
r
Theo định luật Len-xơ, lực F chống lại sự rơi xuống của vành, nghĩa là F có hướng ngược với trọng lực P của
F = ∑ ∆F = BI ∑ ∆l =

vành. Áp dụng định luật II Niu-tơn, ta có:

mg − F = ma → a = g −
Suy ra a = g −

F
với m = 2π rSd
m

B 2v
ρd

12


Dạng 2: Thanh dẫn quay quanh trục cố định trong từ trường đều
Bài 10: Trên mặt bàn nằm ngang nhẵn có một thanh OM dẫn điện, khối lượng m, chiều dài l có thể quay quanh
đầu O cố định, thanh có momen quán tính với trục quay qua O là I 0 .
Đầu M của thanh trượt không ma sát trên cung tròn AB tâm O và đầu
A, O của khung nối với mạch điện như hình vẽ. Hệ được đặt trong từ

r

trường đều có B vuông góc với mặt phẳng mạch điện. Ban đầu thanh
đứng yên và khóa K mở. Sau đó khóa K đóng.
1. Viết biểu thức dòng điện trong mạch theo thời gian
2. Viết biểu thức tốc độ quay của thanh theo thời gian.
Giải

Bω 2 l
ω
1. Khi thanh quay với tốc độ góc
thì trên thanh có suất điện động cảm ứng với độ lớn: eC =
2
Tại thời điểm t, theo định luật Kiecsop ta có:

E + eC + etc = 0
E−

Bl 2ω
− Li ' = 0
2

(1)

i=0
4 LI 0

Nghiệm của phương trình trên có dạng: i = A cos(ω t + ϕ ) với ω0 =


E
2E
i = A cos ϕ = 0
= 2

A =
⇒
ω0 L Bl
Tại thời điểm t = 0: 
E
i ' = = − Aω0 sin ϕ 


L
ϕ = −π / 2
Biểu thức dòng điện trong mạch là: i =
2. Từ (1) suy ra: ω =
Với i ' =

⇒ω =

2E
Bl 2


2 E 2 Li ' 2 E
−
=
( 1 − cos ω0t )
Bl 2 Bl 2 B l 2

Bài 11: Một khung dây dẫn hình vuông cạnh a có thể quay không ma sát quanh một trục
quay cố định thẳng đứng, nằm trong mặt phẳng khung dây và đi qua tâm khung như hình

r

Trục quay cách điện với khung. Khung được đặt trong từ trường đều có B nằm ngang.

r

khung dây ở vị trí cân bằng, mặt phẳng của khung vuông góc với B . Momen quán tính

vẽ.
Khi
của

khung đối với trục quay là I , độ tự cảm của khung là L, bỏ qua điện trở của khung. Tại
thời điểm t = 0, khi khung đang ở vị trí cân bằng người ta tác động để tạo ra tức thời cho
khung tốc độ góc ω0 .
1. Tính cường độ dòng điện cực đại qua khung.
2. Tìm điều kiện của tốc độ góc để khung quay không quá nửa vòng.
Giải
1. Khi khung lệch khỏi VTCB một góc ϕ thì độ lớn từ thông qua khung giảm.

r r


r
B

(1)
14


Phương trình chuyển động quay của khung:

M = I.

dω
dω
⇒ −iBS sin ϕ = I .
dt
dt

−iBa 2 sin ϕ = I .

dω
dt

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

I
i.di = − .ω d ω
L

imax

∫

di =

0

ϕ max

∫

sin ϕ .dϕ

0

L
LI
imax = 2 ω0
2
a B
a B
LI
= 1 − 2 ω0
a B

⇒ 1 − cos ϕmax =
⇒ cos ϕmax

Để khung quay không quá nửa vòng thì ϕmax ≤ π ⇒ cos ϕmax ≥ −1 ⇒ ω0 ≤

Theo định luật Ôm: i =

E + eC E l 2ω B
= −
R
R
2R

dΦ
l 2ω B
=−
dt
2

(1)
15


Momen từ tác dụng lên đoạn dây có tọa độ x chiều dài là dx:

dM = iBx.dx
Momen từ tác dụng lên cả thanh CD là:
l

M = ∫ iBxdx =
0

iBl 2
2


 2 B 2l 4 
B 2l 4  BEl 2
+
⇒
dx
=
−
÷
α l +
÷d ω
4R  2 R
4R 


Khi đó (3) được viết lại:


B 2l 2 
−3  α +
÷dt
4R 
dx

=
x
m


ml 2 d ω
B 2 l 4  BEl 2

4
R
2
R


m
=
e
BEl 2
2R

B 2l 2  

−3 α +
÷t
4R ÷

 ÷

2 BE
m
ω= 2 2
1 − e
÷
B l + 4α R 
÷

÷


U MN = I .R2 + ε 2 =

B0 ( r1 − r2 )
2ρ

.2π r2 ρ + B0π r22 = B0π r1r2

Khi 2 vòng lồng vào nhau thì biểu thức dòng điện là:
2
2
2
2
ε1 + ε 2 B0π ( r1 + r2 ) B0 ( r1 + r2 )
I'=
=
=
R1 + R2 2πρ ( r1 + r2 )
2 ρ ( r1 + r2 )

Ta có U 'MN = I '.R2 − ε 2 =

Vậy

(

B0 r12 + r22

) .2π r ρ − B π r

2 ρ ( r1 + r2 )

phẳng khung dây. Tìm vận tốc ngay sau đó của mỗi khung. Coi
các khung dịch chuyển không đáng kể.
Giải
Gọi các nguồn điện và các chiều dòng điện như hình vẽ.
Xét vòng thứ 1 tâm O1 có suất điện động cảm ứng trong vòng là ε1 =
Ta có phương trình: ε1 =

Bπ R 2
∆t

Bπ R 2
5r
r
= I1. + I 2 .
∆t
6
6

17


 π R2
3R 2 
B.2 
−
÷
Xét phần chung nhau giữa hai khung có
6
4 


và I =
1

(

BR 2 10π + 3 3

)

10∆t.r

B
2

9 3B 2 R 3
10r.∆t

9 3B 2 R3
9 3B 2 R3
.∆t = mv ⇒ v =
10r.∆t
10mr

Bài 15: Một khung dây dẫn mảnh hình vuông cạnh a đặt trên mặt bàn nằm ngang. Trên khung có đặt một thanh
khối lượng m song song với cạnh hình vuông và cách cạnh hình vuông đoạn b = a/4. Khung và thanh được làm

r

bằng cùng một dây dẫn có mật độ điện trở là ρ (theo chiều dài). Tại thời điểm t người ta bật một từ trường có B
vuông góc với mặt phẳng của khung. Thanh chuyển động với vận tốc bao nhiêu biết rằng sau thời gian thiết lập thì

i2 =

e2 − u AB
2,5a ρ

i2 = i1 + i3

u AB = i3a ρ
5
3

Giải hệ phương trình trên ta tìm được: e2 − e1 =

31
i3a ρ
6

a 2 dB 31
2a dB
= i3a ρ ⇒ i3 =
3 dt
6
31ρ dt
Lực từ tác dụng lên thanh:

18


F = i3 Ba =


1. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi (7 tập)
2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia
3. Tuyển tập đề thi Olympic 30-4
4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Trung Quốc
5. Tuyển tập bài tập vật lý đại cương – Idorov, Xavaliep
6. Báo Vật Lý tuổi trẻ
7. Tuyển tập đề thi Olympic Vật Lý các nước

19