TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHỎA TOÁN
= = = ío fflc 8 ===

LƯƠNG THỊ THOA

MÔ HÌNH ARIMA VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•

•

•

C h uyên ngành: T oán ử n g dụ ng

HÀ NỘI - 2015

•


TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2
KHỎA TOÁN
= = = £ o tũ lG a = = =

LƯƠNG THỊ THOA

MÔ HÌNH ARIMA VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN

Lương Thị Thoa


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa
Toán. Đặc biệt là sự hướng dẫn của thầy: Trần Trọng Nguyên.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này không có sự trùng lặp với
kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lương Thị Thoa


MỤC LỤC
LỜI MỞ Đ Ầ U .................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tà i.............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên c ú n .................................................................2
4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu............................................................ 2
5. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu.............................................2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị.......................................................... 3
1.1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất...................................... 3
1.1.1. Biến ngẫu nhiên một chiều...................................................................... 3
1.1.1.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên.......................................................... 3
1.1.1.2. Hàm phân phối xác suất.................................................................3

1.6 . Nhiễu trắng và bước ngẫu nhiên............................................................ 15
1.6.1. Nhiễu trắng.............................................................................................. 15
1.6.2. Bước ngẫu nhiên......................................................................................15
CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARIMA VÀ ỨNG DỤNG.................................17
2.1. Mô hình ARIM A.................................................................................... 17
2.1.1. Quá trình

trung bình trượt (M A ).................................................17

2.1.2. Quá trình

tự hồi quy (AR - Autoregressive Process)................17

2.1.3. Quá trình

trung bình trượt tự hồi quy ARM A ............................18

2.1.4. Ọuá trình

trung bình trượt, tích hợp tự hồi quy ARIMA...........19

2.1.5. Dự b á o ......................................................................................................19
2.1.5.1. Dự báo quá trình A R (p).............................................................. 19
2.1.5.2. Dự báo quá trình MA (q).............................................................20
2.1.5.3. Dự báo quá trình ARMA(p,q)..................................................... 21
2.1.5.4. Dự báo quá trình ARIMA(p,d,q).................................................21


2.1.6 . Kiểm định nghiệm đơn v ị...................................................................... 22
2.1.7. Phương pháp Box - Jenkins...................................................................24

sát trong thực tế thường được thu thập dưới dạng chuỗi số liệu. Từ những
số liệu này, người ta có thế rút ra được những quy luật của một quá trình
được mô tả thông qua chuỗi số liệu.
Xuất phát từ thực tế ứng dụng lớn của mô hình ARIMA, em chọn đề
tài nghiên cứu về: “MÔ HÌNH ARIMA VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài khóa
luận của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
-

Nghiên cún một số khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi thời gian;

các quá trình trung bình trượt (MA),quá trình tự hồi quy (AR), quá trình
trung bình trượt tự’ hồi quy (ARMA)và quá trình trung bình trượt, tích hợp
tự hồi quy (ARIMA).
-ứng dụng mô hình ARIMA dự báo chuỗi chỉ số VNINDEX với sự
hỗ trợ của phần mềm Eviews.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình ARIMA
- Phạm vi nghiên cứu: Mô hình ARIMA, phương pháp Box - Jenkins,
ứng dụng trong dự báo chỉ số VNINDEX
4.Phương pháp và công cụ nghiên cứu
- Phương pháp so sánh, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Phương pháp phân tích thực nghiệm với dữ liệu thực tế.
- Sử dụng phần mềm Excel, Eviews.
5.Khái


nhiên X và Y xác định trên nó. Khi đó hệ V = (X, Y) được gọi là một biến
ngẫu nhiên 2-chiều, tức là V là một ánh xạ từ Q vào IR2 sao cho với mỗi
Ú)GÍÌ thì V(cò) = (X{ũ)\Y{co)).
1.1.2.2. Hàm phân phổi xác suất
Định nghĩa 1.4. (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất
đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V = ( X , Y ) được định nghĩa
như sau:

3


F(x,);) = p [ ( x < x ) ( Y < j ) ] ,

(~co
Định nghĩa 1.10. Các biến ngẫu nhiên X ị,X 2,...,X#ỉ được gọi là độc
lập nếu tại mọi điểm (x 1,x 2,...,x/ỉ) của R" ta đều có:
F(x],x2,...,xn) = F](xị)F2(x2)...Fn(xn).
1.1.4.Một số đặc trưng ciía biến ngẫu nhiên.
1.1.4.1. Kỳ vọng
Định nghĩa 1.11. (Kỳ vọng toán của biến ngâu nhiên một chiều) Trên
không gian xác suất (Q, F, P) cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác
suất F(x). Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) và được định
nghĩa như sau:
E ( X ) = |x d F (x ) với giả thiết làj*|x|dF(X) tồn tại.
Q
Q
Định nghĩa 1.12. (Kỳ vọng toán của hàm hai biến ngâu nhiên) Neu
R = ọ ( X , Y) trong đó X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì:
E(R) = E [ ẹ { X , Y ) \ = x z < / - ( v,.y,
' j
khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc và

5


J ị ọ ( x , y ) f (x,y)clxdy

+00 +00

E(R) = E\_ọ(X,Y)~\ =

— 0 0 — 00

khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất đồng

ỉ. 1.5.2. Quy luật Khỉ bình phưong
Quy luật Khi bình phương (với k bậc tự do) ký hiệu là x l có quan hệ
trực tiếp với quy luật chuẩn và được xác định như sau:
X =ƯỈ + U Ỉ + . . . + U I
trong đó Ưi,U2v..,Ưk là các biến ngẫu nhiên độc lập với nhau và cùng tuân
theo quy luật chuẩn hóa, khi đó X tuân theo quy luật Khi bình phương với
k bậc tự do.
Nếu X ~ x l thì E(X) =k, var(X) = 2k.
Có thể thấy rằng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật Khi bình phương
chỉ nhận giá trị không âm và hàm mật độ của nó là không đối xứng.

7


1.2.

Phân tích hồi quy

1.2.1. Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến
Giả sử X và Y là hai biến của một tổng thể nào đó, mô hình hồi quy
tuyến tính hai biến thể hiện mối quan hệ phụ thuộc giữa biến Y và biến X
có dạng như sau:
Y = P ,+ P 2X + u

(1.1)

Như vậy, mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần
sau:
•


(1.2)

trong đó E(Y/ X ) là kỳ vọng của bien Y khi biết giá trị của bien X, hay còn
gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X.
Phương trình (1.2) biếu diễn kỳ vọng của Y với điều kiện X như một
hàm của bien X và do X và Y thể hiện cho tổng thể nên phương trình (1.2)
còn được gọi là hàm hồi quy tổng the (PRF - population regression
function). Khi đó các hệ số hồi quy /?! và /?2còn được gọi là các tham số
của tổng thể, có ý nghĩa như sau:
Các hệ so hồi quy:
- /?, được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến
phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0.
- /?2được gọi là hệ số góc, thế hiện quan hệ giữa biến độc lập và giá trị
trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn vị
thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm) /?2đơn vị. Hệ số có
thể nhận giá trịdương, âm hoặc bằng 0 .
1.2.3. Hàm hồi quy mẫu
Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của biến
X và biến Y: (Yj, Xi), i=l,2,...,n. Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta xây dựng
các ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể Д và ß 2, ký hiệu là
ß ] và ß 2 tương ứng. Khi đó biếu diễn dưới đây gọi là hàm hồi quy mẫu
cho hàm hồi quy tổng thể ( 1. 1):
Y = ß , + ß 2X.

9

(1.3)


(1.3)’


(1.5)


Gọi sai lệch giữa các giá trị thực tế Yj và giá trị ước lượng tương ứng
từ hàm hồi quy mẫu Ỷi là phần dư (residuals), ký hiệu bởi eji
e^Y t-Ỹ i

( 1.6 )

Chúng ta muốn xác định các giá trị /?,, P 2 sao cho sai lệch tổng họp
giữa các giá trị thực tế Yj và các giá trị ước lượng tương ứng từ hàm hồi
quy mẫu (1.4) là nhỏ nhất có thể được. Sai lệch này có thể được định nghĩa
bởi:
n

(1)Tổng các phần dư
/=1
n

(2 ) Tổng các giá trị tuyệt đối của phần dư ^ \ e . \
i=\

n

(3)Tổng bình phương các phần dư ^ e 2
i=1
Trong phạm vi khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng phần mem Eviews
để hỗ trợ cho việc xác định các ước lượng OLS.
1.3.GỈỚÌ thiệu về chuỗi thòi gian và toán tử trễ

t_2

Tổng quát, к là một số nguyên bất kỳ, LkX t = X t_k
L ( ß X t) = ß ( L X t) = ß X l_];
Ц Х ' + Щ ) = Х'_]+Щ_];
Yf = (а + bL)LXt = aLXt + bL2X t = aXM + bXt_2
(1 - ị L ) ( 1- ^ L ) X t = (1 - ^ L - ^ L + Ả,Ấ1L2) X t
= ( \ - { Ằ , + Ấ 1)L + ị Ấ 1I } ) X t
= X t - (Л| + Ẩ2)XM + ẲiẲ2X t_2
Một biểu diễn khác (aL+bL2) được xem như là đa thức đối với toán từ
L. v ề mặt đại số, nó tương tự như đathức (az+bz2), z làmột vô hướng.
Nếu như: {X,}!^ ={с}!^ thì:

LXt = X t_x =c; (a + ß L + e ũ ) c = {a + ß + 6)c.
1.4.Quá trình ngẫu nhỉên dừng và không dừng
Xét họ các biến ngẫu nhiên Yi, Y 2,... trong đó các chỉsố là các thời
điểm kế tiếp nhau. Nói chung mỗi biến có một quy luật phân bố xác suất
riêng. Họ Y 1

được gọi là quá trình ngẫu nhiên. Giả sử rằng đối với

12


mỗi thời điểm, biến số tương ứng nhận một giá trị cụ thể. Khi đó ta có một
chuỗi thời gian. Mặc dù chuỗi thời gian chỉ là một phép thử của một quá
trình ngẫu nhiên, nhưng chúng ta cũng gọi chuỗi thời gian là một quá trình
ngẫu nhiên, ký hiệu là {Yt với t = 1, 2 ,...}
E(Yt), Var(Yt) là kỳ vọng và phương sai của Yt, có thể Cov(Yi, Yj) ^
0. Nói chung đối với mỗi Yt thì kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai là


13


1.5. Hàm tự tương quan và hàm tự tương quan riêng
1.5.1. Hàm tự tương quan
Ở mục 1.4 đã nhắc đến hàm tự tương quan, sau đây sẽ trình bày khái
niệm một cách đầy đủ hơn.
“Tự tương quan” được hiểu như là sự tương quan giữa các thành phần
của dãy số thời gian hoặc không gian.
Trong mô hình hồi quy tuyến tính cố điên, ta giả định rằng không có
tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên Ujĩighĩa là:

Cov(un iij) = 0 (/ ^ j )
Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả định rằng sai số ứng với quan
sát nào đó không bị ảnh hưởng bởi sai số ứng với quan sát khác.
Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà sai số của các
quan sát lại phụ thuộc nhau, nghĩa là:
Cov(Uị,Uj)

0 (/ ^ j )

khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan.
Hàm tụ’ tương quan (ACF) với độ trễ k, kí hiệu bằng pk, được xác
định như sau:
A C F {k )= P t= £ 2 ^ 1
k
Var(Yt)
1.5.2. Hàm tự tương quan riêng
Hàm tự tương quan riêng (PACF) ký hiệu là pkk. Trong khi ACF pk,


0,5 ^ 0, V í

Đôi khi điều kiện (1.12) được thay thế bằng điều kiện mạnh hơn:

ut, UT độc lập với nhau, với t

T.

(1-13)

Quá trình thỏa mãn (1.10), (1.11) và (1.13) được gọi là nhiễu trắng
độc lập. Neu các điều kiện (1.10), (1.11) và (1.13) được thỏa mãn và
ut ~ N(0, ơ2) thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là nhiễu trắng Gauss.
Chú ý rằng từ (1.13) suy ra (1.12), điều ngược lại sẽ không đúng.
Nhiễu trắng là một chuỗi dừng.
1.6.2.Bước ngẫu nhiên
Neu Yt = yj_1 + ut , trong đó ut là nhiễu trắng, thì Yt được gọi là bước
ngẫu nhiên
E(Yt) =

+ E(ut) = E(Yt_,)

(1.14)

Điều này có nghĩa là kỳ vọng của Yt không đổi.
Ta hãy xem phương sai của Yt:
Yx =Y0 + Uị
Y2 = Yị


AFC(k) = p k =(t - k ) / 1 với mọi k

(1.16)

Sai phân bậc nhất của Yt: AYt =Yt - Y t_ị = ut . Trong trường hợp này
AYt là chuỗi dừng. Dùng toán tử trễ L, ta có AYt = (1 - L)Yt
Neu đưa thêm vào mô hình bước ngẫu nhiên một hằng số, thì Ytđược
gọi là bước ngẫu nhiên có bụi (random walk with drift).
Yt —OL+ Yt_\ + ut
Yt = a + ut hay (1 - L)Yt = a + ut
E(Yt) = Y0 + at ; Var(Ff) = t ơ

(1.17)

16


CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARIMAVÀ ÚNG DỤNG
2.1. Mô hình ARIMA
2.1.1. Quá trình trung bình trượt (MA)
Yt là quá trình trung bình trượt bậc q, nếu Yt có dạng:
Yf —ỊẤ + ut + 0]Ut_I + ... + OqU-Ị-q11= 1, 2, ... ,n

(2.1)

trong đó: utlà nhiễu trắng.
Hay (Yt -ịu) = {\+ 6xL + ... + 6qLq)ut
Hiểnnhiên: E(Yt) = JU
Cov(Yn Yt_k) = E((jU + ut +
(2.3)

Ký hiệu: ^(L) = 1- ựỉịL - ợJ2L2 - . . . - ệpư
Ta có: (L)ỉ^ =

+ ut

(2.4)

Điều kiện để quá trình AR(p) hội tụ là -1 < ậ. < 1, i = 1,2, .. .p.
Phương trình đặc trưng đối với AR(p): 1 - ộxz - Ộ2Z2 - . . . - ộpzp = 0,
có thể viết lại: (1 - a }z )(1 - OínZ).. .(1 - ccpz) = 0 .
Với phương trình trên điều kiện dừng tương đương với điều kiện tất cả
các nghiệm«;, i — 1,2 ,...,p đều nằm trong vòng tròn đơn vị.
E(Y,) = M = ^ l ( \ - ệ l - ệ 2- . . . - ệ p)
AFC(k) = ỵk = E((Y, - ju)(Y,_t - /u))
Y, - ụ. = ệị(y,_| - ị ỳ + ệsy,-! - ụ ) + ... + ệp{Y,_p - ụ ) + u,
Nhân hai vế (Yj - n) với (Y,.k - n), sau đó lấy kì vọng ta được phương
trình Yule-Walker:
\<hỵ,-x + ệiỴ,-i +--- + ệpĩ,-p>

Yk = 1[ ệ1ì ĩ ,-1 + ệÁi Y , - 2 + •••+ ệAp ĩ , - p

+ ơ

k=l,2,.„

2 I _í\
, k=0