Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.”
Môn: Toán
Tổ : Toán - Lý - Tin
Mã : 55
Người thực hiện: Phạm Văn Minh
Điện thoại: 0166.817.9181
Email: [email protected]

Trường THPT Bình Sơn

MỤC LỤC
1

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Nội dụng

Trang

A. MỞ ĐẦU

3


4

3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

5

4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài

6

5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số

7

6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và
chứng minh bất đẳng thức

7

II. CÁC VÍ DỤ

8

1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức

8

Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn

8

E. TÀI LIỆU THAM KHẢO

38

Trường THPT Bình Sơn

2

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề
này vì các lý do sau:
- Xu hướng ra đề thi đại học những năm gần đây, ở câu bất đẳng thức người ra đề
thường ra bài toán mà có thể giải bằng nhiều cách giải. Và sử dụng phương pháp hàm
số là một trong những cách giải của bài toán.
- Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tài liệu tôi nhận thấy tài liệu về: “Sử dụng
phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” còn
rất ít và trình bày rời rạc, chưa thành hệ thống.
- Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có hệ thống về:
“Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng
thức” để các em có thể học tập tốt hơn. Đồng thời tài liệu cũng có thể giúp cho các
giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả năng của bản thân.
Chính vì những lý do, tôi quyết định viết chuyên đề về: “Sử dụng phương pháp
hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức”.
II.MỤC ĐÍCH

1.2. Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó
*) Nếu f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) đồng
biến trên (a; b) .
*) Nếu f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) nghịch
biến trên (a; b) .
1.3. Điểm tới hạn của hàm số
Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định của
f ( x) và f '( x0 ) = 0 hoặc f '( x0 ) không xác định.
Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số
giữ nguyên một dấu.
2. Cực trị của hàm số
2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 ∈ D
*) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao
cho (a;b) ⊂ D và f(x)f(x0), với mọi x0∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực
tiểu của f.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số.
- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số f.
2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)
Trường THPT Bình Sơn

4



Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương
trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử
dụng qui tắc 1.
3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức
3.1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Khi đó
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 M ≥ f ( x)∀x ∈ D

∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = M
f ( x) = f ( x0 ) .
Kí hiệu: M = max
D

Trường THPT Bình Sơn

5

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 m ≤ f ( x)∀x ∈ D

∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = m
f ( x) = f ( x0 ) .
Kí hiệu: m = min

 0
0
0
0
∃xi ∈ Di , ∀i = 1, n sao cho P = f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = m
f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) .
Kí hiệu: Pmin = m = min
D

4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài
4.1. Bất đẳng thức Cô si
- Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: x + y ≥ 2 xy . Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y.
- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x + y + z ≥ 3 3 xyz .
Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng
Trường THPT Bình Sơn

6

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng
khác như:
1 1 1
x + y + z ≥ 3 xyz; + + ≥
x y z

+ a22 + a32 ) . ( b12 + b22 + b32 )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 .
4.3. Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức
*) ( x − y ) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 2 xy. Dấu bằng xảy ra khi x = y.
*) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
*) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx)
5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số
Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giải bài
toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửa khoảng.
Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết, vì thời gian
không nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luận cuối cùng mà không trình
bày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn. Trong giảng dạy, yêu cầu học
sinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên.
Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm
các điểm tới hạn, các giới hạn cần thiết rồi hoàn thiện Bảng biến thiên.
6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh
bất đẳng thức:
- Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số.
- Tìm khoảng đánh giá của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được.
- Giải quyết bài toán ban đầu.
II. CÁC VÍ DỤ
Trường THPT Bình Sơn

7


x2
,
2

x∈¡

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ∀x ∈ ( 0;1) luôn có x ( 1 − x 2 ) ≤

2 3
9

2
2
Lg: Xét hàm số: f ( x ) = x ( 1 − x ) ; x ∈ ( 0;1) f ' ( x ) = 1 − 3x ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±

1
3

Bảng biến thiên:

Trường THPT Bình Sơn

8

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.


x
3 3x 2
≥
⇒
≥
Áp dụng ví dụ 2) ta có:
2
1 − x2
2
x ( 1 − x2 )

a
b
c
a
b
c
+ 2 2+ 2
=
+
+
2
2
2
2
b +c
a +c
a + b 1 − a 1 − b 1 − c2

Do đó:

a +b
2
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1
.
3

1
4
4
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với x + y = 1 thì x + y ≥ .
8
Trường THPT Bình Sơn

9

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Lg: Từ x + y = 1 ⇒ y = 1 − x nên x 4 + y 4 = x 4 + ( 1 − x )

4

Xét hàm số: f ( x ) = x 4 + ( 1 − x ) 4 ⇒ f ' ( x ) = 4 x3 − 4 ( 1 − x ) 3 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x =


3
= x 2 + y 2 + x 4 + y 4 − 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
2
2
9
≥ x 2 + y 2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1
4

(

)

(

)

(

)

1
9
Đặt t = x 2 + y 2 ⇒ t ≥ . Khi đó: P ≥ .t 2 − 2t + 1
2
4
9
1
Xét hàm số: f (t ) = .t 2 − 2t + 1 với t ≥ .
4

1
2
1 1 1
Ví dụ 6. Chứng minh rằng: ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 với mọi số thực x, y, z ∈ [ 1;3]
x y z
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =

2
Lg: Ta có : x ∈ [ 1;3] ⇒ (3 − x)( x − 1) ≥ 0 ⇔ − x + 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ 4 − x −

Tương tự :

3
1 4− x
≥0⇔ ≤
x
x
3

1 4− y
1 4− z
≤
; ≤
y
3
z
3

1 1 1
4− x 4− y 4− z

3

f (3) = f (9) = 9; f (6) = 12 ⇒ f (t ) ≤ f (6) = 12 với mọi t ∈ [ 3;9]
1 1 1
Vậy ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 (ĐPCM)
x y z
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 , ta có:
a 5 − 2a 3 + a b 5 − 2b3 + b c 5 − 2c 3 + c 2
+
+
≤
b2 + c 2
c2 + a2
a2 + b2
3
Lg: Do a, b, c > 0 , a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ a, b, c ∈ (0;1)

(

)

5
3
a a2 − 1
a
−
2
a
+
a


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.
3

Xét hàm số : f ( x) = − x + x

với x ∈ ( 0;1)

1
3

f '(t ) = −3x 2 + 1; f '( x) = 0 ⇔ t =
Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra : Max f ( x) =
(0;1)

(

) (

) (

2
3 3

)

3
3

.
4


2
(
a
+
1
−
a
)
1 7
Có f (0) = a (1 − a) ≤
=

+3

y− z

z− x

+3

− 6x2 + 6 y2 + 6z 2 ≥ 3

(Đề thi ĐH khối B năm 2012)
Lg:

t
Trước tiên, ta đi chứng minh f ' ( t ) = 3 ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0(*)

t
Thật vậy: Xét hàm số f ( t ) = 3 − t − 1; t ≥ 0

f ' ( t ) = 3t ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

⇒ f ( t) ≥ f ( t) = 0
Áp dụng (*) ta có: 3

( 0;+∞ )

Dấu bằng xảy ra khi t = 0
x− y

+3

≥ 2. x − y + y − z + z − x

2

(

)

2

2

Do đó: x − y + y − z + z − x ≥ 2 x − y + y − z + z − x

2

)

= 6 x2 + 6 y 2 + 6 z 2 − 2 ( x + y + z ) = 6x 2 + 6 y 2 + 6z 2
2

Vậy 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 ≥ 3
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 0
Ví dụ 10. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Trường THPT Bình Sơn

13

GV: Phạm Văn Minh


2
3
3
5
5
5
5
2
2
3
3
2 2
Khi đó: x + y + z = x + ( y + z ) ( y + z ) − y z ( y + z ) =
2

1
5
3

= x + ( 1 − x ) ( y + z ) − 3 yz ( y + z )  −  x 2 − ÷ x = ( 2 x 3 − x ) = f ( x )

 
2
4
5

2

Xét hàm số f ( x ) =
ta có f ' ( x ) =

; x ∈ − ;

6 6
 3 3

Trường THPT Bình Sơn

5

14

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

1
2

x
=
y
=
−
;
z
=

6
6

)(

)

+ b 2 c 2 + d 2 − cd = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 − 3d = f (d )
1 − 2 ( d + 3) +
2

Ta có: f '(d ) = (2d + 3)

2d 2 + 6d + 9

9
2 ;

f '(d ) = 0 ⇔ d = −

3
2

Bảng biến thiên:

 3 9+6 2
Dựa vào BBT ta suy ra được : f ( d ) ≤ f  − ÷ =
4
 2
Dấu “=” xảy ra khi a =

1
1

5 − 4x
20 − 15 x
⇒S=
4
x(5 − 4 x)

với 0 < x

Trường THPT Bình Sơn

17

3

) (

+ y3 − x2 + y 2
( x − 1)( y − 1)

)

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

LG:
2

t
Đặt t = x + y ; t > 2 . Áp dựng BĐT 4 xy ≤ ( x + y ) 2 ⇒ xy ≤
4

t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
t2
Ta có: P =
. Do t > 2;3t − 2 > 0 và − xy ≥ −
xy − t + 1

f (t ) = 8 ⇒ min P = 8 ⇔ x = y = 2
Suy ra : (min
2;+∞ )
Ví dụ 17. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x 2 − xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và
x4 + y 4 + 1
nhỏ nhất của biểu thức: P = 2
x + y2 + 1
LG: Từ giả thiết suy ra: 1 = x 2 − xy + y 2 = ( x − y ) 2 + xy ≥ xy
1 = x 2 − xy + y 2 = ( x + y ) 2 − 3xy ≥ −3xy
1
Từ đó suy ra: − ≤ xy ≤ 1
3
Mặt khác :

x 2 − xy + y 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 + xy ⇒ x 4 + y 4 = 1 + 2 xy − x 2 y 2

Trường THPT Bình Sơn

18

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.
2

1
−t + 2t + 2
1
Đặt t = xy ⇒ − ≤ t ≤ 1. Khi đó: P = f (t ) =

(dễ thấy s ≠ −3 ).
s+3

Khi đó x, y là các nghiệm của phương trình X − sX + p = 0 , nên để x, y tồn tại ta phải có
2

s2 ≥ 4 p ⇔ s2 ≥

s ≥ 1
4s 2
s −1
⇔
≥0⇔ 
.
s+3
s+3
 s < −3
2

2

t +3
x 3 + y 3 ( x + y )( x 2 + y 2 − xy )  x + y   s + 3 
=
Mặt khác: P = 3 3 =
÷ =
÷ . Xét hàm số f (t ) = t , với
3 3
x y
x y


( x − 1)( y − 1)

Lg : Đặt t = x + y ; t > 2.
Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤

t2
4

t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
P=
.
xy − t + 1
t 2 (3t − 2)
t −t −
t2
t2
4
=
Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có P ≥
t−2
t2
4
− t +1
4
3

Xét hàm số f (t ) =

2

20

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3 a ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a )
T=
+
=
=
sin a cos a
sina.cos a
sin a.cos a

π
t2 −1

Đặt t = sin a + cos a = 2 sin  a + ÷⇒ sin a.cos a =
4
2

π
Với 0 < a < ⇒ 1 < t ≤ 2
2
f '( t ) =

−t 4 − 3


( 2) =

2

2 khi x = y = 1 . Hay min T = 2 khi x = y = 1 .
2
2

Ví dụ 21. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1;3( x + y ) = 4 xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 
P = x3 + y 3 + 3  3 + 3 ÷
y 
x

Lời giải:
3x 2
2
2
t
=
xy
Đặt
. Ta có 3( x + y ) = 4 xy ⇔ 3x + 3xy = 4 x y ⇔ xy =
( vì x ≥ 1) . Lại có
4x − 3
3y
3y
3( x + y ) = 4 xy ⇔ x =
, y ≥ 1 ; ta có

(4 x − 3) 2
4x − 3

2
9
≤ t = g ( x ) ≤ 3, ∀x ∈ [1;3]. Khi đó
4


3 
3 
P = ( x 3 + y 3 ) 1 + 3 3 ÷ = ( x + y )3 − 3xy ( x + y )  . 1 +
3
 x y 
 ( xy ) 

Suy ra

 4 xy 3
4 xy  
3  64 3
12 64
= 
−
3
xy
.
1
+
= t − 4t 2 − +

Ta có h '(t ) = 8t 

8t  12
9 
− 1÷+ 2 > 0, t ∈  ;3 . Suy ra
9
 t
4 

MaxP = h(3) =

 x = 3; y = 1
280
⇔
9
 x = 1; y = 3

3
 9  307

MinP = h  ÷ =
⇔ x = y = .
2
 4  36


Ví dụ 22. Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
x 2 + xy + y 2
của biều thức: P =
2x2 + y 2


P ' = 0 ⇔ 2t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ t =

t

−1 ± 3
. Bảng biến thiên
2

P’

P

−1 − 3
2

-∞
-

+

1
2

Kết hợp các trường hợp trên, ta có:

Trường THPT Bình Sơn

0


3
x −1 − 3
3
x −1 + 3
khi =
; MaxPS =
khi =
y
2
y
2
2 3+2
2 3−2
x + y ≤ 3

Ví dụ 23. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 

2
2
 x + y − xy = 4

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P = x 2 y + y 2 x − 2 xy .
Lời giải:
x + y = t + 3
x + y = t + 3

⇔
Đặt t = x + y − 3 ⇒ t ≤ 0. Khi đó ta có hệ 

⇔
⇔ t ∈ [ − 7;0].


4(
t
+
6
t
+
5)
2
2
≥0
t + 6t − 7 ≤ 0
 ∆ = (t + 3) −
3


Khi đó P = xy ( x + y − 2) =

(t 2 + 6t + 5)(t + 1) 1 3
= (t + 7t 2 + 11t + 5)
3
3

 t = −1
1 2
Ta có P '(t ) = (3t + 14t + 11), P '(t ) = 0 ⇔ 
11 .


−9 + 945
−9 − 945
x =
x =


27
27
Suy ra 
hoặc 
 y = −9 − 945
 y = −9 + 945


27
27

Ví dụ 24. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 = 2 x − 4 + y + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và
1

2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( x + y ) − 9 − x − y + x + y

Trường THPT Bình Sơn

23

GV: Phạm Văn Minh



S min = S (1) = 2 − 2 2 ⇔ x = 2; y = −1.

Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn
x ≥ y ≥ z

Ví dụ 25. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 

2
2
2
x + y + z = 3

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2)
Lời giải:
Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị
nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có
x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0]
1
1
P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1)
2
2
 x = −1
1
3 2
1
2

của biểu thức: P = xy + yz + zx + x + y + z .
Lời giải:
Trường THPT Bình Sơn

24

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

t2 − 3
Đặt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx =
.
2

Ta có 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nên 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 với t > 0.
Khi đó P =

t2 − 3 5
+ .
2
t

Xét hàm số f (t ) =

t2 5 3
+ − , 3 ≤ t ≤ 3.
2 t 2


Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị
nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có
x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0]
1
1
P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1)
2
2
 x = −1
1
3 2
1
2
Xét hàm số f ( x) = ( x + 2)( x + 1), ∀x ∈ [ − 1;0]; f '( x) = x + 2 x + . f '( x) = 0 ⇔ 
1
x=−
2
2
2
3



1 
 1  25
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
÷ = f  − ÷ =
 23  
 3  27