Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán.
Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì
không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ
thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng
nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia
tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng
nhau.
b) Kỹ năng:
HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ lệ.
c) Thái độ:


tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c ac
( b d )
= ta suy ra = =
=
b d
b d b+d bd
a c e
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau = =
b d
f
a c e
a+c+e
ac+e
=
= ....
ta suy ra = = =
b d
f b+d + f bd + f

+ từ tỉ lệ thức

từ = = suy ra
b d
f

3

3

3

a c e a c e
ữ = ữ = ữ = ì ì
b d f b d f

2

c e
a
; ữ = ì
d f
b

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 2011
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng cha biết
1.Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

9,36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn nh sau :

a) x ữ: = 1 :
4 5
3 3
1

2

1
5

3 2

2
3

b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
x
60
=
15
x

x

7 x 21 = 25 5 x
12 x = 46
5
x=3
6
x3 5
x 3 5 x
=
=
Cách 2: từ
5 x 7
5
7

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 3 5 x x 3+5 x 2 1
=
=
= =
5
7
5+7
12 6
x 3 1

= 6 ( x 3) = 5
5
6
5
5

x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:
x y z
- Cách 1: đặt a = b = c = k
thay vào (2)
x = k .a; y = k .b; z = k .c

Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
a+b+c
a.d
bd
cd
;y=
;z =
Từ đó tìm đợc x =
a+b+c
a+b+c
a+b+c
k ( a + b + c) = d k =

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=

-

b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
=
=
a
b
c

GV: Châu Thị Liễu

4

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

-

x b1 y2 b2 z3 b3
=
=
a1
a2
a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập


Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z
=
=
Cách 2: Từ = = suy ra
2 3 4
4
9 20

- Cách 1: Đặt
-

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y 5 z 2 x + 3 y 5 z 21
=
=
=
=
=3
4
9 20
4 + 9 20
7
x = 6; y = 9; z = 12

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra

2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 405
=
=
=
=
=9
8
27
90
8 + 27 90
45

GV: Châu Thị Liễu

5

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
x2
= 9 x 2 = 36 x = 6
42
y
= 9 y 2 = 81 y = 9

8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.

x y
z
= ; x = và x +y +z = 27
6 9
2
x y
x y
Giải: từ 6 = 9 2 = 3

Bài tập 5. Tìm x,y, z biết

z
2
x y z
= =
2 3 4

x
2

Từ x = =

Suy ra

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

6 x 3z 4 y 6 x 3 z 4 y
=
=
và 2x +3y -5z = -21
5
7
9

Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

GV: Châu Thị Liễu

6

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

6 x 3z 4 y 3 z 3 z 6 x 6 x 3 z + 4 y 3 z + 3 z 6 x
=
=
=
=0
5
7
9

3
4
x 4 + y 6 + z 8 x + y + z 18 27 18
=
=
=
=1
2+ 3+ 4
9
9
x4
=1 x = 6
2
y 6
=1 y = 9
3
z 8
= 1 z = 12
4



Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phơng pháp :
a
b

Để Chứng minh tỷ lệ thức : =

c
hãy suy ra tỷ lệ thức:
d

Giải:

GV: Châu Thị Liễu

7

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

( a b ) c = ac bc(1)

Cách 1: Xét tích a ( c d ) = ac ad (2)
Từ

a c
= ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:

ab cd

c
a c
b d
- Cách 3: từ = =
b d
a c
a b a b
b
d cd
Ta có: a = a a = 1 a = 1 c = c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

ab cd
=
a
c

- Cách 4:
Từ

a c
a b a b
= = =
b d
c d cd



= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
b d

ab cd a+b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a 2 = bc thì
a+b c+a
a2 + c2 c
=
; b) 2
= , (b 0)
a b c a
b + a2 b
(với a b, a c)

a)

Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
GV: Châu Thị Liễu

8


( a 0 ) , (2)
c a ak a a ( k 1) k 1

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: Ta có

a+b c+a
=
a b c a

a + b a ( a + b ) a 2 + ab bc + ab
=
= 2
=
do, a 2 = bc )
(
a b a ( a b ) a ab bc ab
b ( c + a) c + a
=
=
( a, b 0 )
b ( c a) c a

a+b c+a
=
a b c b
a+b c+a
=
Ngợc lại từ
ta cũng suy ra đợc a2 = bc


Do đó (a + c )b = ( b + a )c b 2 + a 2 = b
2

2

2

2

a
b

- Cách 2: Từ a2 = bc =
Đặt

c
a

a c
= = k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a

Ta có

GV: Châu Thị Liễu

9

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7

2
a c a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc =
b2 a 2 b2 + a2
b a

2

a c
a2 a c c
Từ = 2 = ì = (2), (a 0)
b a
b
b a b
a2 + c2 c
Từ (1) và (2) suy ra: b2 + a 2 = b
a 2 + c 2 bc + c 2 c ( b + c ) c
- Cách 4: Ta có b2 + a 2 = b 2 + bc = b ( b + c ) = b , ( b + c 0 )
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
= (1)
a2 a3

2
3
4
a2 + a3 + a4 a4
bz cy cx az ay bx
=
=
Bài tập 4: Biết
a
b
c

GV: Châu Thị Liễu

10

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
x y z
= =
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
=
=
=
=
=

=
=
Bài tập 5:Cho
.Chứng minh rằng
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c
a
b
c
=
=
(với abc 0 và các mẫu đều khác 0)
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z

Chứng minh rằng

Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x
y
z
2y
x + 2y + z
x + 2y + z
=
=
=
=
=
(1)

(3)
4a + 8b + 4c (8a + 4b 4c) + 4a 4b + c
9c
x + 2 y + z 2x + y z 4x 4 y + b
=
=
Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
9a
9b
9c
a
b
c
=
=
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:

b
=2
b =4
4
c
=2
c =10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ
lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)
Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b c 119
= = =
=
= =
=
=7
2 4 5 6 16 5


Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I, 1

5
6
1
số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
11

lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
GV: Châu Thị Liễu
Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7
12


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
1
4
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b b = b
6
6
1

710

=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
Theo bài rat a có

a b b c
= ; =
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300

x y
x.x x. y
x 2 10
=
=

= x 2 = 4 x = 2 từ đó suy ra y = 5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

x y
x2 x y
x 2 10
= .
= = 1 x 2 = 4 x 2 = 2
2 5
4 2 5
4 10
x y
hoặc đặt = = x x = 2 x, y = 5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10 x 2 = 1 x = 1
2 5

hoặc từ

GV: Châu Thị Liễu

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a +b

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a
b
c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c

z
t
=
=
=
(1)
Tính giá trị của P biết rằng
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z

Bài tập 4: Cho biểu thức P =

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

x
y
z
t
x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x
y
z
t
+1 =
+1 =

...................................................................................................................

Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4
nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
a +bc b+ca c+ ab
=
=
c
a
b
b
a
c




.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ữ1 + ữ1 + ữ
a c b
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a
b
c
d

=
=
Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
5
7
12
2x + 3 y 1 2x + 3y 1
=
Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
6x
12
6x = 12 x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai nh sau
Từ (3) phải xét hai trờng hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp nh trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1 3y +1 1 3y +1+ 3y 2
=
=0
5
5+7
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 y = .Từ đó tìm tiếp x =


Giải:

x 1 60
2
2
=
( x 1) = ( 15 ) . ( 60 ) ( x 1) = 900
15 x 1

h/s thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = biết rằng 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405
2 3 4

Lời giải:

x y z
= = =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2 3 4
2
2
2
Từ 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405 suy ra 2. ( 2k ) + 3 ( 3k ) 5 ( 4k ) = 405

Đặt

8k 2 + 27 k 2 80k 2 = 405

2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phơng trình và
hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh.

Phần III. Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng
nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học
sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác
sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình hay
mắc phải.
GV: Châu Thị Liễu

17

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi cha thể đa
ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 5 năm 2011
Ngời thực hiện

Châu Thị Liễu