Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. ....................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu. ........................................................................... 1
4. Cấu trúc. ..................................................................................................... 2
CHƯƠNG 1
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH.............................................. 3
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm. .................................................. 3
1.1.1. Không gian metric. ............................................................................... 3
1.1.2. Không gian định chuẩn. ........................................................................ 6
1.1.3. Không gian Hilbert. ............................................................................ 11
1.2. Nguyên lý ánh xạ co. ............................................................................. 12
1.2.1. Ánh xạ Lipschitz. ............................................................................... 12
1.2.2. Ánh xạ co. .......................................................................................... 12
1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach. ....................................................... 13
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO....................... 18
2.1. Giải phương trình đại số và siêu việt. .................................................... 18
2.1.1. Bài toán. ............................................................................................. 18
2.1.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 19
1.3. Ví dụ. .................................................................................................... 23
2.2. Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. .................................. 24
2.2.1. Bài toán. ............................................................................................. 24
2.2.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 26
2.2.3. Ví dụ................................................................................................... 29
2.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường. ......................................... 30

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán
học giải tích. Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải
tích hàm – một môn học cơ bản vừa mang tính bài tập vừa mang tính
ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không
nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lý ánh xạ co của
Banach.
Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Nó
dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: hệ phương trình
tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,…
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Một số
ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu
hơn, làm phong phú thêm kiến thức của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Sự phát triển của giải tích toán học nói riêng và của toán học nói
chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tình thực tiễn
nhất định. Nghiên cứu những ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co vào giải
quyết một số bài toán của giải tích là mục đích chính của khóa luận này.
3. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
4. Cấu trúc.
Khóa luận bao gồm 3 chương.
Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach.

không gian

k

k 

* ta đặt:
d  x, y  

k

 x
j 1

j

 yj 

(1.1)

Khi đó hệ thức (1.1) xác định một metric trên không gian

k

.

Ví dụ 1.2: Với hai phần tử bất kì x, y  , ta đặt:
d  x, y   x  y

Khi đó hệ thức (1.2) gọi là metric tự nhiên trên

n  n

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy  xn  trong không gian metric M .
Ví dụ 1.3: Sự hội tụ của một dãy điểm  xn  trong không gian

1

là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
+ Ánh xạ liên tục.
Cho hai không gian metric M 1   X , d1  , M 2  Y , d 2  . Ánh xạ f từ
không gian M 1 lên không gian M 2 .
Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0  X , nếu  >0,  >0
sao cho x  X : d1  x, x0  <  thì d 2  f  x  , f  x0   <  .
Định nghĩa 1.4: Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A  X , nếu ánh xạ f
liên tục tại mọi điểm thuộc tập A , khi A  X thì ánh xạ f gọi là liên
tục.
Định nghĩa 1.5: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A  X , nếu:

  0,   0 sao cho x, x '  A : d1  x, x '    thì d 2  f  x  , f  x '    .
+ Không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.6: Cho không gian metric M   X , d  . Dãy điểm

x   X
n

gọi là dãy cơ bản trong M nếu:

   0  n


Giả sử x  n    x1 n  , x2  n  ,..., xk  n    n  1,2,... là dãy cơ bản tùy ý trong
k

không gian Euclid

. Theo định nghĩa 1.6:

   0  n

0

 * m, n  n0  , d  x  n  , x  m    
k

 x    x 

Hay

n

j

j

j 1

m




. Vậy không gian Euclid
 a ,b 

k

là không gian đầy.

là không gian đầy. Thật vậy,

Giả sử  xn  t   là dãy cơ bản tùy ý trong không gian

 a ,b 

. Theo

định nghĩa 1.6:

   0  n

0

 * m, n  n0 

d  x n  , x m   max xn  t   xm  t   
a t b

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

5


. Nhưng sự hội tụ trong

tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên

đoạn  a, b  nên dãy cơ bản  xn  t   đã cho hội tụ tới x  t  trong không
gian

 a ,b  .

Vậy

 a ,b 

là không gian đầy.

1.1.2. Không gian định chuẩn.
+ Không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.8: Ta gọi là không gian định chuẩn ( không gian tuyến tính
định chuẩn ) là không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số
thực

hoặc trường số phức

số thực

kí hiệu là

) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập



 x, y  X  ;
 Tiên đề (iii)

 x, y, z  X  d  x, z  

x  z   x  y   y  z

 x y  yz
 d  x, y   d  y , z  .

Vậy định lý được chứng minh.
Nhờ định lý 1.1 mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (1.6). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
+ Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.9: Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là
x  x hay
hội tụ tới điểm x  X nếu lim
xn  x  0 kí hiệu lim
n  n
n 
xn  x  n    .

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

hay x j  }

Đối với bất kì x   k ta đặt:
k

x 

x

2
j

(1.8)

j 1

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.8)
cho một chuẩn trên  k . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là  k .
Dễ dàng thấy  k là không gian Banach.
Ví dụ 1.8: Cho không gian vector l2 . Đối với vector bất kì x   xn   l2
ta đặt:


x 

x

n

2

x   x  t  dt

(1.11)

a

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.11)
cho một chuẩn trên La ,b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là
L a ,b . Dễ thấy L a ,b là không gian Banach.

+ Toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.12: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K
(K 

hoặc K 

). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không gian Y

là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện sau:
1.  x, y  X  A  x  y   Ax  Ay ;
2.  x  X    K  A x   Ax ;
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử
A chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn nếu chỉ

thỏa mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y  K thì toán
tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Ví dụ 1.11: Cho A :

n



.

Ví dụ 1.12: X  Y  D k  a ,b ( Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục
đến cấp k trên  a, b  ). Khi đó:
Ax  t   a0 x  t   a1 x '  t   ...  ak x k   t 

Trong đó a0 , a1 ,..., ak là những hằng số ( hoặc những hàm số cho trước
của t thuộc D k a ,b ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
b

Ví dụ 1.13: X  Y  Ca ,b . Ax  t    K  t , s  x  s  ds .
a

Trong đó K  t , s  là hàm số liên tục theo hai biến t , s trong hình vuông

a  t , s  b là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử tích phân.
Định nghĩa 1.13: Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại
hằng số c  0 sao cho:
Ax  c x ; x  X

Định nghĩa 1.14: Cho không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L  X , Y  là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
X vào không gian Y . Ta đưa vào L  X , Y  hai phép toán:

 Tổng của hai toán tử A, B  L  X , Y  là toán tử, kí hiệu A  B , xác
định bởi biểu thức:

 A  B  x   Ax  Bx, x  X

3)  x, y  X    K   x, y   x, y ;
4)  x  X  x, x  0 nếu x   ( kí hiệu phần tử không là  );
x, x  0 nếu x   .

Các phần tử x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) là hệ
tiên đề tích vô hướng.
+ Bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.3: Đối với mỗi x  X , đặt x 

x, x . Khi đó với mọi

x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz:

x, y  x y .
Định nghĩa 1.16: Ta gọi một tập hợp H   gồm những phần tử

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

x, y, z,... nào đấy là không gian Hilbert, nếu H thỏa mãn:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;
2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x 


n 1

1.2. Nguyên lý ánh xạ co.
1.2.1. Ánh xạ Lipschitz.
Định nghĩa 1.17: Cho  X , d1  và Y , d 2  là các không gian metric trên
trường K . Ánh xạ f :  X , d1   Y , d 2  được gọi là ánh xạ Lipschitz
nếu có một số L  0 sao cho:
d 2  fx, fy   Ld1  x, y  , x, y  X .

Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số
Lipschitz. Ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục.
1.2.2. Ánh xạ co.
Định nghĩa 1.18: Ánh xạ f từ không gian metric  X , d X  vào không

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp
gian metric Y , dY  đươc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số    0,1
sao cho:
dY  f  x  , f  y     d X  x, y  , x, y  X .
Như vậy ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên nó liên tục.
1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach.
Định lý 1.4: Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và f : X  X
là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một
điểm x  X sao cho f  x   x .
Chứng minh.

Khóa luận tốt nghiệp

  2 d  f  x0  , x0  .
Lập luận tương tự, cuối cùng ta có:
d  xn 1 , xn   d  f  xn  , f  xn1  
  d  xn , xn 1 

  d  f  xn 1  , f  xn 2  
………….
  n d  f  x0  , x0 
Khi đó với mọi số nguyên dương p ta đều có:
d  xn  p , xn   d  xn  p , xn  p 1   d  xn p 1 , xn  p  2   ...  d  xn 1 , xn 

  n  p 1   n  p 2  ...   n  d  f  x0  , x0 
1 p

d  f  x0  , x0 
1
n



n
d  f  x0  , x0 
1

Vì    0,1 nên  n  0  n   
Suy ra:

lim

x  t    a, b  ,0  x '  t   k  1, t   0,1 , k cố định.

Khi đó phương trình x  t   t có duy nhất 1 nghiệm t0   a, b  .
Thật vậy, ta có  a, b  là một tập con đóng của

1

với metric

d  u , v   u  v ; u , v   a, b  .

Do đó  a, b  cùng với metric của

1

lập thành một không gian

metric đầy đủ. Theo định lý giá trị trung bình, với mỗi u, v   a, b  , có
một điểm w   a, b sao cho :
x  u   x  v   x '  w  u  v   k u  v .
Do đó theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất t0   a, b 
sao cho x  t0   t0 .
Ví dụ 1.18: Cho ánh xạ  : 9,10  9,10 , x    x  , với   x  cho
bởi   x   1000  x 3 . Khi đó ánh xạ  không có điểm bất động.
Thật vậy, ta có:
d   x  ,   y      x     y 
  '  c  x  y    '  c  x  y

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán


(ii)

Với mỗi u0  M đã cho, dãy  un  tạo bởi
un 1  Aun , n  0,1,2...

(2.1)

Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1)
Ta chứng minh (ii):
Trước hết ta chỉ ra rằng  un  là một dãy Cauchy.
Thật vậy, với mỗi n  0,1, 2,... sử dụng (b) ta có:
un 1  un  Aun  Aun 1  k un  un 1
 k Aun 1  Aun  2  k 2 un1  un 2
 ...  k n u1  u0 .

Bây giờ, với n  0,1,... và m  1,2,... từ bất dẳng thức tam giác ta có:
un  un  m   un  un 1    un 1  un  2   ...   un  m1  un  m 
 un  un 1  un 1  un  2  ...  un  m1  un  m

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

  k n  k n 1  ...  k n  m1  u1  u0
1

 k n 1  k  u1  u0


Trong đó f  x  là hàm đại số hay siêu việt.
Nghiệm của phương trình (1.1) là số thực  thỏa mãn (1.1) . Tức là
khi thay  vào x ở vế trái ta được:
f    0

(1.2)

Phương trình (1.1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải
đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng.
Thông thường quá trình giải phương trình (1.1) bao gồm hai bước:
 Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng dủ bé chứa
nghiệm của f  x  .
 Bước giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết.
+ Sự tồn tại nghiệm.
Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình
(1.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Để trả lời
câu hỏi đó, ta có định lý sau:
Định lý 2.1: Nếu có hai số thực a và b  a  b  sao cho f  a  và f  b 
trái dấu, tức là:
f  a  f b  0

Đồng thời f  x  liên tục trên  a, b  thì ở trong đoạn  a, b  có ít nhất một
nghiệm của phương trình (1.1).
+ Khoảng tách nghiệm.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

18



+ Sự hội tụ.
Định lý 2.2: Giả sử   C1a ,b sao cho:
a. x   a, b  thì   x    a, b
b. x   a, b  thì  '  x   q  1
Kết luận:
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

(i)

Phương trình (1.1) có nghiệm  duy nhất trên  a, b 

(ii)

Phép lặp (1.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:

Hoặc

xn   

q
xn  xn 1
1 q

xn   


(1.5)

Nên  là một nghiệm của phương trình (1.1).
(ii)

Ta có:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp

    
xn    xn1  ;

(1.5)

n  1, 2,...

(1.4)

Trừ từng vế của (1.5) cho (1.4) ta được:

  xn         xn1 

(1.6)

Áp dụng công thức Lagrange ta có:

Vì x0 và  đã xác định, q n  0 khi n   do 0  q  1 nên vế
phải (1.9) dần tới 0; và ta có:

  xn  0 khi n  
Vậy phép lặp (1.4) hội tụ, và từ công thức (1.8) ta có:

  xn  q   xn 1  q   xn  xn  xn1

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp



  xn  q    xn  xn  xn1 



1  q    x

n

(1.10)

 q xn  xn 1

Vì nên 1  q  0 . Chia bất đẳng thức (1.10) cho 1  q ta được:

22


Khóa luận tốt nghiệp

1.3. Ví dụ.
Giải phương trình: x 3  2 x  100  0

(1.12)

Bài giải.
Đặt f  x   x 3  2 x  100
Dễ thấy f  4  f  5   0 nên    4,5 
Có 3 cách đưa phương trình (1.12) về dạng phương trình (1.3)
x3
a) x  1  x  ,1  x   50 
2

b) x   2  x  ,2  x  

, x   4,5 .

100 2

x2 x

c) x  3  x  ,3  x   3 100  2 x

, x   4,5 .
, x   4,5 .

;



 0,0033  1

2
3 3 100  2.5 

2

; x   4,5 .

Suy ra  '3  x   q  1,  q  0,0033 với x   4,5 .
Mặt khác: x   4,5 thì 4  3  x   5
nên suy ra   4,5   4,5 .
Do đó  là ánh xạ co nên tồn tại điểm x   sao cho       là
nghiệm của phương trình (1.12). Dãy  xn  được xác định như sau:
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

23