1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………1
LỜI NÓI ĐẦU..……………………………………………………………...2
Chương I.LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA ………………………………………..4
1.1.
1.2.

Liên thông tuyến tính ………………………………………………...4
Liên thông Lêvi-Sivita …………...…………………………………11

Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE
TRÊN ĐA TẠP RIEMANN…………………………….…16

2.1.

Đạo hàm Lie của hàm số khả vi……………………………………..16

2.2.

Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính…………………….………..19

2.3.

Mối liên hệ giữa LX và ∇ …………………………………………...27

KẾT LUẬN…………………………………………………………………..34
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………........35



CHƯƠNG II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA
TẠP RIEMANN
Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày định nghĩa, ví dụ và một số
tính chất cơ bản của đạo hàm Lie: Đạo hàm Lie của hàm số khả vi, của liên


3

thông tuyến tính và mối liên hệ giữa LX và YChương này là nội dung chính
của luận văn. Chương II được chia làm 3 phần
2.1.

Đạo hàm Lie của hàm số khả vi

2.2.

Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

2.3.

Mối liên hệ giữa LX và

Y

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Khoa Sau đại học,
Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu
Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt bài toán và
chỉ dẫn cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong

Z = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);

T , ∇ φY = X[φ]. Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
∇ Y được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với ∇.
Từ điều kiện T1, T2 , T4 ta có nhận xét:
Với mỗi X ∈ ℬ (M), ta ký hiệu: ∇ : ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
Y ⟼ ∇ Y. Khi đó ∇ là một ánh xạ
tuyến tính và có tính chất đạo hàm.
1.1.2. Ví dụ (Xem[4]).
a) M=R ,với trường mục tiêu tự nhiên, xét ánh xạ
∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(X,Y) ⟼ ∇ Y = D Y =(X[Y ],…, X[Y ] ).Trong đó Y= (Y ,…, Y ).
Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
Thật vậy, ta kiểm tra D thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông
tuyến tính:


5

T , ∇ (Y + Z) = D (Y + Z) = D Y + D Z = ∇ Y + ∇ Z ;
∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇
T ,∇

Z=D
Y=D

Z = D Z + D Z = ∇ Z + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
Y = φD Y = φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);



= (φD Y)

= φ(D Y) = φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);
T , ∇ φY = (D φY)
=( X[φ]. Y + φD Y )
= X[φ]. Y+φ ( D Y )
= X[φ]. Y + φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
Bây giờ ta cố định Y, với mỗi X, X ∈ ℬ (M) và mỗi p ∈ M: Xp =Xp,
liên thông tuyến tính, ta có mệnh đề sau :

là


6

1.1.3. Mệnh đề (Xem[6]). Với Y∈ ℬ ( ), giá trị (
)p chỉ phụ thuộc vào giá
trị Xp , tức là nếu X, ∈ ℬ ( )và với mỗi p ∈ M: Xp = p thì
(

)p = (

)p.

Chứng minh. Ta xét ánh xạ : Xp ⟼( ∇
)p.Từ định nghĩa của liên
thông tuyến tính ta suy ra là ánh xạ tuyến tính từ TpM đến TpM. Từ đó ta có:
p(0)=0


(1)

Mặt khác Z| = 0 ⟹Z| = 0 , ∀p∈ U . Nên từ (1) ta suy ra
φ(p)( ∇ Z)p = 0
⟹( ∇ Z)p = 0 ( Vì φ|Up =1)
⟹ (∇ Y − ∇ Y )p = 0. Nghĩa là (∇ Y)p =(∇ Y)p.
1.1.5. Mệnh đề (Xem[6]). Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh trên mỗi U luôn tồn tại liên thông
tuyến tính ∇ .


7

Thật vậy, giả sử X, Y ∈ ℬ(U ). Ta chú ý tới vi phôi φ : U ⟶ V ,
(V là tập mở trong Rn). Ta đặt, ∇ (X,Y) = (φ
)∗ (D Y), ở đây X =
(φ
)∗(X) và Y = (φ
)∗(Y). Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên U .
Giả sử {g } là phân hoạch đơn vị liên kết với {U } . Ta đặt,
∇ =∑

∈

g ∇ , khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.

1.1.6. Định lý (Xem[3]). Giả sử
Khi đó,
với ,


(2)
(3)


8

T2 , ∇

Z = φ∇

Z+ψ∇

Z = φ(∇ Z + ∇ Z)+ψ(∇ Z + ∇ Z)

= φ∇ Z + φ∇ Z+ψ∇ Z + ψ∇ Z
= (φ∇ Z+ψ∇ Z)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z)
= ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y , Z ∈ ℬ (M);
T3, ∇ Y = φ∇ Y+ψ∇ Y = φ(f∇ Y)+ψ(f∇ Z)
= f (φ∇ Y+ψ∇ Z)
= f∇ Y; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M) ; ∀f ∈ ℱ(M);
T4, ∇ fY = φ∇ fY+ψ∇ fY = φ(X[f]. Y + f∇ Y)+ψ(X[f]. Y + f∇ Y)
= (φX[f]. Y + ψX[f]. Y)+(φf∇ Y + ψf∇ Y)
= (φ + ψ) X[f]. Y +f(φ∇ Y + ψ∇ Y)
= X[f]. Y + f∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀f ∈ ℱ(M).
Từ định lý 1.1.6 ta có nhận xét rằng tổng của hai liên thông tuyến tính
không phải là một liên thông tuyến tính.
Bây giờ ta chú ý tới ánh xạ song tuyến tính S: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M),
với mỗi liên thông tuyến tính ∇, ta có thể tạo ra một liên thông tuyến tính mới,
định lý sau sẽ chứng minh điều đó.
1.1.7. Định lý. Giả sử = + , với S là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó nếu

trên M luôn tồn tại và không duy nhất .
1.1.8. Hệ quả. Với M=R3, ∇=D. Khi đó ∇ Y = DXY + X∧Y là liên thông
tuyến tính.
Với mỗi X,Y ∈ ℬ (M), ta xét tích Lie của ∇X và ∇Y, được ký hiệu bởi
[∇X , ∇Y] và được xác định như sau: [∇X , ∇Y]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X . Khi đó ta có
nhận xét:
1.1.9. Nhận xét. Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó:
a) Với mỗi cặp (X,Y), ta đặt R(X,Y): ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
Z ⟼ R(X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[

, ]Z

Thì R(X,Y) là ánh xạ tuyến tính (Xem [4] )
b) [∇X , ∇Y](Z)= ∇[X,Y] +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M).
Với R (X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[
Thật vậy:
[∇X , ∇Y](Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z

, ]Z

là độ cong của đa tạp Riemann M.


10

= ∇[X,Y]Z +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M).
c) [∇X , ∇Y] là ánh xạ tuyến tính.
Ta ký hiệu ∇ = { ∇X : ℬ(M) ⟶ ℬ(M) |
các phép toán sau:


= (λ ∇X) º ∇Y – ∇Y º(λ ∇X)
= λ(∇X º ∇Y )– λ(∇Y º ∇X )
= λ(∇X º ∇Y – ∇Y º ∇X )
= λ [∇X , ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ .

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
∙[ ∇X , ∇Y+∇Z] = [∇X , ∇Y]+ [∇X , ∇Z]; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ ;
∙[ ∇X, λ ∇Y] = λ [∇X, ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ , λ∈K.


11

Do đó ∇ là một đại số.
Rõ ràng phép toán 3) xác định ở trên có tính chất phản xứng tức là:
[∇X , ∇Y] = -[ ∇Y , ∇X]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ .
Ta kiểm tra phép toán 3) có tính chất Jacobi. Ta có:
[[∇X , ∇Y], ∇Z](U) = ∇X (∇Y∇ZU) -∇Y (∇X∇ZU) - ∇Z (∇X∇YU-∇Y∇XU )
= ∇X (∇Y∇ZU) -∇Y (∇X∇ZU) - ∇Z(∇X∇YU)+∇Z(∇Y∇XU)
Tương tự ta có:
[[∇Y , ∇Z], ∇X](U) = ∇Y (∇Z∇XU) -∇Z (∇Y∇XU)
- ∇X (∇Y∇ZU)+∇X(∇Z∇YU)
[[∇Z , ∇X], ∇Y](U) = ∇Z (∇X∇YU) -∇X (∇Z∇YU)
- ∇Y (∇Z∇XU)+∇Y(∇X∇ZU)
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
[[∇X , ∇Y], ∇Z] + [[∇Y , ∇Z], ∇X] +[[∇Z , ∇X], ∇Y] =0; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ .
Vậy ∇ là một đại số Lie.
1.2

Liên thông Lêvi-Sivita


-Trước hết ta kiểm tra tính liên thông tuyến tính của ∇:


12

T , ∇ (Y + Z) = ∑
=∑

X[Y + Z ] E = ∑
X[Y ] E + ∑

(X[Y ]E + X[Z ] E )

X[Z ] E

= ∇ Y + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Z

=∑

(X + Y)[Z ] E = ∑

=∑

X[Z ] E + ∑

(X[Z ]E + Y[Z ] E )



= X[φ]. Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
- Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:
Với ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M), ta có:
i.[X,Y][ φ] = X[Y[φ]] - Y[X[φ]]
= X[(Y E + ⋯ + Y E )[φ]- Y[(X E + ⋯ + X E )[φ]
= (∑

X[Y ]E )[φ] - (∑

Y[X ]E )[φ]

=( ∇ Y - ∇ X) [φ]. Suy ra [X,Y] = ∇ Y - ∇ X
Vậy T(X,Y) = ∇ Y − ∇ X – [X, Y] = 0.
ii. Z[X.Y] = Z[∑

X . Y ] =∑

(Z[X . Y ])

= ∑

(Z[X ] Y + Z[Y ]X )

= ∑

Z[X ] Y + ∑

= ∑

–[X,Y]

-∇ Y+ ∇ X

–[X,Y]

–[X,Y]

= [X, Y] –[X,Y] = [X,Y] –[X,Y]=0; ∀ X, Y ∈ ℬ (M);
ii. (∇ X).Y + (∇ Y)X = (∇ X)T.Y +( ∇ Y)TX
= (∇ X − ∇ X

).Y+( ∇ Y − ∇ Y )X.

= Y.∇ X +X. ∇ Y - ∇ X .Y- ∇ Y X.
= Z[X.Y] ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M).
Bây giờ ta xét ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(X,Y) ⟼ ∇ Y, với điều kiện :
(∇ Y). Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]
Ta nhận thấy rằng ∇ là liên thông tuyến tính, từ đó ta có định lý:
1.2.3. Định lý (Xem [6]). Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M luôn
tồn tại và duy nhất.


14

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh sự tồn tại của liên thông LêviSivita trên M.
Giả sử ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ta xác định ∇ Y bởi phương trình sau
(∇ Y). Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]
với ∀ Z ∈ ℬ (M) .

15

Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu  thỏa mãn 2 điều
kiện của liên thông Lêvi-Sivita thì nó thỏa mãn phương trình (4). Thật vậy, từ
(7) ta có:
X[Y.Z] = (∇ Y).Z +Y. (∇ Z)

(8)

Y[Z.X] = (∇ Z).X +Z. (∇ X)

(9)

Z[X.Y] = (∇ X).Y +X. (∇ Y)

(10)

Do T(X,Y) = ∇ Y − ∇ X – [X, Y] = 0 nên ∇ X=∇ Y –[X,Y]
Tương tự ta có: ∇ X = ∇ Z –[X,Z]
∇ Y = ∇ Z –[Y,Z]
Từ đó (10)⇔ Z[X.Y] = ( ∇ Z –[Y,Z])Y +(∇ Z –[Y,Z])X
= ( ∇ Z)Y –[X,Z]Y +(∇ Z)X –[Y,Z]X

(11)

(9)⇔ Y[Z.X] = ( ∇ Z)X +Z(∇ Y –[X,Y])
= ( ∇ Z)X +Z(∇ Y) –Z[X,Y]

(12)


f : R3 ⟶
(x; y; z) ⟼ xy2z
Khi đó: LX(f) = X[f] = ∑
= 1. y2z + x2. 2xyz + 2y. xy2
= y2z + 2x3yz + 2xy3
∈ ℬ ( ), ∀ ,

2.1.3. Mệnh đề. ∀ ,

i) LX(f+g) = LXf + LXg;
ii) (
iii)
iv)

; ∀ ∈ ℱ( );

) = .
( . )=
=

( )+
+

( );
.

∈ ℱ( ) ta có:


17

= g.X[f] + f.X[g]
= fL (g) + gL (f);
iv) L

f = (X +X )[f]
= ∑ (X + X )
= ∑ X

+∑ X

= L f + L f.
Nhận xét: Từ i),ii) ta thấy với mỗi X ∈ ℬ (M) thì LX là ánh xạ tuyến tính
và từ iii) LX có tính chất đạo hàm.


18

Bây giờ ta xét tích Lie của LX và LY, được ký hiệu bởi [LX ,LY] và được
xác định như sau: [LX ,LY]= LXºLY – LYºLX .
2.1.4. Nhận xét. Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó: [LX ,LY][f]= L[X,Y] f, ∀ f ∈ ℱ( ).
Chứng minh. Với mọi X,Y ∈ ℬ (M), ta có:
L[X,Y] f = [X,Y][f] = X Y[f] -Y X[f]
= LX(LYf) –LY(LXf)
= (LXºLY)(f) – (LYºLX)(f)
= (LXºLY – LYºLX)(f)
= [LX ,LY][f]; ∀ f ∈ ℱ(M).
Như vậy nếu LX, LY là đạo hàm Lie của các hàm số khả vi thì L[X,Y] cũng
là đạo hàm Lie của hàm số khả vi.
Ta ký hiệu ℒ = {LX : ℱ(M) ⟶ ℱ(M) |
phép toán sau:


= (λ LX) º LY – LY º(λ LX)
= λ(LX º LY )– λ(LY º LX )
= λ(LX º LY – LY º LX )
= λ [LX , LY]; ∀ LX ,LY ∈ ℒ .

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
+)[ LX ,LY+LZ] = [LX ,LY]+ [LX ,LZ]; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ ;
+)[ LX, λ LY]

= λ [LX, LY]; ∀ LX ,LY ∈ ℒ , λ∈R.

Do đó ℒ là một đại số.
Rõ ràng phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất phản xứng, tức
là: [LX ,LY] = -[ LY ,LX] ; ∀ LX ,LY ∈ ℒ .
Mặt khác phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất Jacobi, tức là:
[[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ .
Thật vậy: Ta có: [[LX , LY], LZ](f) = LX (LYLZf) -LY (lXLZf)
- LZ (LXLYf-LYLXf )
= LX (LYLZf) -LY (LXLZf) - LZ (LXLYf)+LZ(LYLXf)
Tương tự: [[LY , LZ], LX](f) = LY (LZLXf) –LZ(LYLXf)
– LX (LYLZf)+LX(LZLYf)
[[LZ , LX], LY](f) = LZ (LXLYf) –LX(LZLYf) – LY (LZLXf)+LY(LXLZf)
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:.
[[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒℱ .
2.2. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính
2.2.1. Định nghĩa ([7]). Giả sử
M. Ánh xạ:

∈ ℬ ( ) và


2.2.2. Ví dụ . Giả sử M= R3, cho các trường véctơ X(xy,2x,yz), Y(x,xy2,yz2),
Z(x,xz,xy). Khi đó:
(L D)(Y,Z) = [X, D Z] − D[

, ]Z

− D ([X, Z]).

Ta có: D Z = (Y[Z1], Y[Z2], Y[Z3])
= (x, xz+xyz2, xy+x2y2)
D Y = (X[Y1], X[Y2], X[Y3])
= (xy,xy3+4x2y,2xz2+2y2z2)
D X = (Y[X1], Y[X2], Y[X3])
= (xy+x2y2,2x,xy2z+y2z2)
D Z = (X[Z1], X[Z2], X[Z3])
= (xy, 2xyz, xy2+2x2)
D X = (Z[X1], Z[X2], Z[X3])
= (xy+x2z,2x, xz2+xy2)
⟹ D (D Z) = (xy,2 xyz+ 3xy2 z2+2x2z2, xy2+2x2y3+2x2+4x3y )
D

X

= (xy+x2z+x2yz2,2x, xz2+xyz3+ xy2+x2y3)

⟹ [X, D Z] = D (D Z) − D

X


.

Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên trước tiên ta chứng minh
hai bổ đề sau:
Bổ đề 1. ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (R ), ta có:
D (D Z) - D

= (∑ ,

Z

Y .X

). E .

Thậy vậy: ∀ X, Y ∈ ℬ (R ), ta có:
D Y = (X[Y1],...,X[Yn])
⟹D

Z = ∑

,...,∑

X[Y ]

X[Y ]

D Z = (Y[Z1],...,Y[Zn])
=(∑
⟹ D (D Z) = (X[∑


]), . . . , ∑

,...,∑
Z + ∑

X[Y ]
Y X[

+ ∑
],...,∑

)

(X[Y
(X[Y ]
Y X[
Y X[

])
+ Y X[
],...,∑
]

])
Y X[

]



⟹ D (D Z) = (Y[Y ],...,Y[Y ] )
= (Y[X[Z ]],...,Y[X[Z ]]
⟹ D D Z - D D Z = (X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] ,...,X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] )
= ([X,Y][ Z ],..., [X,Y][ Z ])
= D[
⟹ ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[

, ]Z
, ]Z

= D D Z - D D Z - D[

, ]Z

= 0.

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề:
Áp dụng bổ đề 2: D D Z - D D Z - D[
= D[ , ] Z
Do đó (LX D)(Y, Z) = [X, D Z] − D[
= D (D Z) − D

, ]Z

, ]Z

= 0 ta có D D Z - D D Z

− D ([X, Z])


=[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z
= LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z
= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z
= (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z).
ii) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có
(LX)(fY, Z) = LX(fYZ) - fY(LXZ) -  [X, fY]Z
= LX(fYZ) - fY(LXZ) - f [X,Y]+ X[f].Y Z
= [X, fYZ] - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z
= f [X, YZ] + X[f] .YZ - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z
= f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z)


24

= f (LX)(Y, Z).
iii)Y, Z, Z’ ∈ ℬ (M), ta có
(LX)(Y, Z+ Z’) = LX(Y( Z+ Z’)) - Y(LX( Z+ Z’)) - [X,Y](Z+Z’)
= LX(YZ+Y Z’) - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= [X, YZ+Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= [X, YZ] + [X,Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= LX(YZ) + LX(Y Z’)- Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y Z’) - Y(LX Z’) -[X,Y] Z’
= (LX)(Y, Z) + (LX)(Y, Z’).
iv) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có
(LX)(Y, fZ) = LX(Y fZ) - Y(LX fZ) -  [X, Y] fZ
= LX(fYZ+ Y[f]. Z) - Y(f [X,Z]+ X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z
= [X, fYZ] + [X, Y[f]. Z]- Y(f [X,Z]) - Y (X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z
= f [X, YZ] + X[f].YZ + [X, Y[f]. Z]- fY([X,Z]) - Y[f] .[X,Z] - X[f].Y Z
- Y[X[f]] .Z - f[X,Y]Z – [X,Y][f]. Z
= f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z) + [X, Y[f]. Z]- Y[f] .[X,Z] - Y[X[f]] .Z


, ]Z

− ∇ L Z - L (∇ Y) − ∇[
, ]Z

, ]Y

- ∇ [X,Z] + ∇ [X,Y] + ∇[

+ ∇ [X,Y] - ∇ [X,Z] + ∇[

−∇ L Y

, ]Y

, ]Y

= [X,[Y,Z]] – [X, Y], Z + [X, Z], Y
= – [X, Y], Z - [[Y,Z],Z] - [Z, X], Y
= 0.
2.2.6. Mệnh đề ([7]). Giả sử X,Y∈ ℬ ( ),
[ , ]

=

(

)-