ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ NGỌC ANH

SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

T.s: TRẦN MINH TƯỚC
Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, với sự cố gắng
của bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luân này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy giáo trong tổ Ứng dụng, các bạn sinh viên đã
tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt, em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo
Nguyễn Trung Dũng-thầy đã giúp đỡ tận tình trong quá trình chuẩn bị và
thực hiện khóa luận này.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi
những thiếu sót. Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy
cô giáo và các bạn sinh viên, để khóa luận của em dược hoàn thiện hơn.

I.1. Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

I.1.1. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3. Bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.4. Bất đẳng thức Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
7

I.2. Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

I.3. Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

I.4. Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

I.4.1. Tính chất khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2. Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

35

4


MỞ ĐẦU
Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc với
các biến cố ngẫu nhiên không thể dự đoán trước được. Một lĩnh vực của toán
học có tên là : "Lí thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật
và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên.
Ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm
vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng. Một mặt Lí thuyết xác suất là
một ngành toán học có tầm lí thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật và cả khoa học xã hội và
nhân văn. Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, một
khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thông
tin định lượng.
Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí thuyết xác suất : "Sự hội
tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng".
Khóa luận đươc trình bày theo bố cục:
Chương 1 : Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên.
Trong chương này đã trình bày các mục sau: Hội tụ hầu chắc chắn, Hội
tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , các định
nghĩa, định lí, các ví dụ về các dạng hội tụ.
Chương 2 : Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.
Trong chương thứ 2 đã trình bày mối liên hệ giữa các dạng hội tụ, các
định lí, các ví dụ và các phản ví dụ về các mối liên hệ.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn
Trung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình
viết khóa luận.


Bất đẳng thức Chebyshev

Giả sử X ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không giảm
trên [0, +∞).Khi đó nếu g(X) > 0 thì
P{ω : X(ω) ≥ ε} ≤

6

Eg(X)
g(X)


I.1.3.

Bất đẳng thức Markov

E | X |p
, ∀p > 0, ∀ε > 0
εp
Bất đẳng thức Markov là hệ quả của bất đẳng thức Chebyshev.
P{ω :| X(ω) |≥ ε} ≤

I.1.4.

Bất đẳng thức Cr

Nếu X, A ∈ Lr với r > 0 thì :
E | X + A |r ≤ Cr E | X |r +Cr E | A |r
trong đó :

1
{| Xm − Xn |< }
k
k=1 n=1 m=n+1

hay
{Xn →} =

1
{sup | Xn+v − Xn |< }
k
k=1 n=1 v 1

Vì vậy, {Xn →} ∈ A và do đó có thể nói về xác suất của tập hội tụ (hay
không hội tụ) của dãy những đại lượng ngẫu nhiên.
Định nghĩa I.2.1. Dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn } được gọi là hội tụ
hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) đến đại lượng ngẫu nhiên X (và viết
h.c.c
Xn −→ X) nếu
P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1
n→∞

7


Giới hạn hầu chắc chắn (nếu tồn tại ) là duy nhất theo định nghĩa : nếu
h.c.c
Xn −→ X và Xn −→ η thì P(X = η) = 1
h.c.c



∞

1
{sup | Xm − Xn |≥ }
k
k=1 n=1 m≥n

Xác suất của biến cố ở vế phải đẳng thức trên bằng 0 khi và chỉ khi:
∞

1
sup | Xm − Xn |≥ ) = 0, ∀k
k
n=1 m≥n

P(

Hiển nhiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
lim P{sup | Xm − Xn |≥ ε} = 0, ∀ε > 0

n→∞

m≥n

Mệnh đề I.2.2. Các điều kiện sau đây tương đương với nhau:
h.c.c

(1)Xn −→ X
8

P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1
n→∞

⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |< ε, ∀n ≥ n0 } = 1, ∀ε > 0
⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) ≥ ε, ∀n ≥ n0 } = 0, ∀ε > 0
Chọn n0 = k
⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε, ∀n ≥ k} = 0, ∀ε > 0
∞

⇒ 0 ≤ P{

[ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > 0

k=n
∞

⇒ lim P{
n→∞

[ω :| Xn (ω) − X(ω) |] ≥ ε} = 0, ∀ε > 0

k=n

• Ta sẽ chứng minh (2) ⇔ (3)
Giả sử :
∞

[ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > 0

lim P{

k≥n

Vì
sup | Xk (ω) − X(ω) | ≥ ε
k≥n

⇒| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε, ∀k ≥ n
⇒| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε, k = 1, 2, 3...
Chọn n=k
Do đó từ ...
⇒ lim P(ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞

k≥n

⇒ lim P(ω :| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, k = 1, 2, 3...
n→∞

⇒ lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞

⇒ lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |< ε) = 1, ∀ε > 0
n→∞

⇒ P(ω : lim Xn (ω) = X(ω)) = 1
n→∞

h.c.c

Xn −→ X

Giả sử (An ) là dãy biến cố bất kì
a,
∞

∑ P(An ) < ∞

Nếu

thìP(lim sup An ) = 0
n

n=1

b,
∞

Nếu

∑ P(An ) = ∞

và(An )độc lập thì

P(lim sup An ) = 1
n

n=1

∞

∞

n

∞

m=n

11

∑ P(Am ) = 0

n m=n


b, Nếu dãy (An ) độc lập thì (A¯ n ) cũng độc lập. Do đó
∞

∞

A¯ m ) =

P(

∏ P(A¯ m )

m=n

m=n

Do đó ta có
∞


Từ đó

∞

A¯ m ) = 0

P(

hay

P(

m=n

và như vậy

Am ) = 1

m=n

P(lim sup An ) = 1
n

Mệnh đề I.2.4. Giả sử εn là dãy số dương và εn ↓ 0
Khi đó nếu
∞

∑ P(| Xn − X |> εn ) < ∞



ω∈
/ lim sup An
n

12


Mệnh đề I.2.5.
εn > o, n > 1

Giả sử

∑ εn < ∞

và

n

Khi đó nếu

∑ P(| Xn+1 − Xn |> εn ) < ∞
n

thì dãy {Xn } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó, hữu hạn
hầu chắc chắn.
Chứng minh:
Đặt An = (| Xn+1 − Xn |> εn )
P(lim sup An ) = 0


bắt đầu từ số hạng N(ω)
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn
∞

X(ω) = lim Xn = X1 (ω) + ∑ (Xn+1 (ω) − Xn (ω))
n

n=1

với mỗi

ω∈
/ lim sup An
n

13


I.3.

Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa I.3.1. Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn } hội tụ
P
theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X ( và viết Xn −→ X ) nếu:
lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0

n→∞

Từ nhận xét :


=

1
0

j
nếu j−1
k 0, (1)

m,n→∞

14


Chứng minh:
• Điều kiện cần suy ra từ nhận xét:
ε
ε
{| Xn − Xm |≥ ε} ⊂ {| Xn − X |≥ } ∪ {| Xm − X |≥ }
2
2
• Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử có (1) và chọn dãy {Xk } sao cho
εk ↓ 0 và

lim ∑ εk = 0
∑ P(Ak ) ≤ n→∞

k=n

k=n

Mặt khác, ∀ω ∈
/ C, ∃Nω sao cho ω ∈
/ BNω , tức là ω ∈ Ack , ∀k ≥ Nω
Do đó
k+v−1

| Xnk+v (ω) − Xnk (ω) ≤

∑

| Xn j+1 − Xn j |

j=k
k+v−1

≤

∑

ε j ↓ 0, (k, v → ∞)

j=k


An
A
nếu mẫu số khác không

I.4.

Hội tụ trung bình

I.4.1.

Tính chất khả tích đều

Định nghĩa I.4.1. Giả sử {Xi , i ∈ I} là họ các đại lượng ngẫu nhiên có kì
vọng hữu hạn, tức là {Xi , i ∈ I} ⊂ L1
Nói rằng họ này khả tích đều nếu :
lim sup

a→+∞ i∈I

{|Xi |≥a}

| Xi | dP = 0

Ví dụ I.4. 1, Nếu tồn tại X ∈ L1 sao cho | Xi |≤ X hầu chắc chắn ∀i ∈ I,
tức là :
P{ω :| Xi (ω) |≤ X(ω)} = 1, ∀i ∈ I
thì {Xi , i ∈ I} khả tích đều.
2, Nếu tồn tại hằng số c < +∞ sao cho | Xi |≤ c hầu chắc chắn, ∀i ∈ I thì
{Xi , i ∈ I} khả tích đều.
Mệnh đề I.4.1. Để họ {Xi , i ∈ I} ⊂ L1 khả tích đều, cần và đủ là :


≤ aP(A) + sup
I

{|Xi ≥a}

A{|Xi | 0, ∃aε > 0
sao cho :
ε
sup
| Xi | dP

t→+∞ t
lim

sup EG(| Xn |) < +∞
n

17


Đặc biệt, nếu 1 < p < +∞ và
sup E | Xn | p < ∞
n

thì {Xn } khả tích đều.

I.4.2.

Hội tụ trung bình

Định nghĩa I.4.2. Giả sử {Xn } ⊂ L p , X ∈ L p và p ∈ (0, +∞)
Lp

Nói rằng, dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X và viết Xn −→ X nếu :
lim E | Xn − X | p = 0

n→+∞

Từ các bất đẳng thức :
P{| Xn − X |≥ ε} ≤


Xn (ω) =

0
nếu 0 ≤ X(ω) ≤
X(ω) n12 < X(ω) ≤ 1

với n = 1, 2, ... thì:
∞

∞

1

∑ P(| Xn − X |≥ ε) ≤ ∑ n2 < ∞

n=1

n=1

18

1
n2


với ε > 0
h.c.c
Do đó Xn −→ X
Chú ý rằng
1

A

Chứng minh :
Từ các bất đẳng thức :
sup |
A∈A

E | Xn − X |≤|

A

Xn dP −

{Xn ≤X}

A

XdP |≤ E | Xn − X |

(Xn − X)dP | + |

≤ sup |
A∈A

A

{Xn >X}

(Xn − X)dP |


sup
n

A

| Xn | p dP ≤ sup C p (
n

≤ Cp

A

A

| XNε | p dP +

| XNε | p dP +

A

| Xn − XNε | p dP)

ε
2

Từ đó suy ra {| Xn | p } khả tích đều
Mặt khác, từ (3) suy ra
lim P{| Xn − Xm | p ≥ ε} = 0, ∀ε > 0

m,n→∞


P

Định lí II.1.1. a, Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X
P

h.c.c

b, Nếu Xn −→ X thì tồn tại dãy con {Xnk } sao cho Xnk −→ X
21


Chứng minh :
• Ý (a) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề I.2.1
P
• Để chứng minh (b), ta giả sử Xn −→ 0 và chọn 2 dãy số dương {εn }, {δn },
sao cho εn ↓ 0 và ∑ δn < ∞
P
Vì Xn −→ 0 nên ta chọn được dãy {nk } thỏa mãn điều kiện P{| Xnk |≥ εk } ≤
δk
Đặt :
∞

∞

{| Xnk |≥ εk }, Q =

Rj =

Rj

n→∞
P

h.c.c

• Lưu ý : Xn −→ X thì không suy ra được Xn −→ X
Ví dụ II.1. Cho {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối
P(Xn = 0) = 1 − n1 và P(Xn = 1) =

1
n

với mọi 0 < ε < 1 ta có
P(| Xn |> ε) = P(Xn = 1) =

1
n

→ 0 khi n → ∞

P

Như vậy Xn −→ 0. Mặt khác :
∞

lim P(

k→∞

∞

Đặt n0 = 1. Giả sử chọn được nk . Khi đó tìm được nn+1 > nk sao cho :
P[| Xnk+1 − Xnk |> 2−k ] < 2−k , k = 1, 2, 3, ...
Do đó có thể thực hiên được do dãy {Xn } cơ bản theo xác suất
Rõ ràng
∑ P[| Xnk+1 − Xnk | 2−k ] < ∑ 2−k < ∞
k

k

Theo Mệnh đề I.2.5, dãy {Xnk } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X
nào đó.
Định lí II.1.2. Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n > 1} là đơn điệu tăng (giảm)
P

h.c.c

và Xn −→ X khi n → ∞ thì Xn −→ X khi n → ∞
Chứng minh :
P
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X ≡ 0, Xn > 0, Xn ↓ và Xn −→ X
khi n → ∞
Giả sử {Xn } không hội tụ hầu chắc chắn đến X.
Điều đó có nghĩa là tồn tại ε > 0 và tập A với P(A) > δ > 0 sao cho
sup Xk > ε
k≥n

với ω ∈ A, ∀n
Vì {Xn } là dãy giảm khi n tăng nên
sup Xk = Xn
k≥n

khi n → ∞
Hơn nữa, dãy
sup | Xk − X |
k≥n

là đơn điệu giảm và tiến dần đến 0 theo xác suất khi n → ∞
Theo Định lí II.1.2, ta nhận được
h.c.c

sup | Xk − X |−→ 0
k≥n

khi n → ∞
Định lí được chứng minh.
Định lí II.1.4. Nếu
∞

∑ P[ω :| Xk − X |> ε] < ∞, ∀ε > 0
k=1
h.c.c

thì Xn −→ X khi n → ∞
Chứng minh :
Ta có :
P[

∞

[ω | Xk − X |≥ ε]] ≤