TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình hục

TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học Th .s. NG UYỄ N TH Ị TR À

HÀ NỘI - 2015


1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt đối với
những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn giúp chúng ta có một
phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc
chương trình phổ thông.
Những bài toán về đường tròn dược sử dụng phương pháp chứng minh bằng
Pascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là những bài toán rất hay.
Vì vậy trong đề tài Iiày tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp của hai
định lý. Đồng thời ncu lẽn cách giải của một lớp các bài toán đẹp ứng dụng
chúng.
2. Mục đích - Yêu cầu
• Đây là một dịp đổ có thổ tập dượt nghicn cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã dược đặt ra, một số ứng dụng,
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan đến Định lý
Pascal - Định lý Brianchon.
4. Đối tư ợn g - Phạm vi nghiên cứu
- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan.
Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu
thập thêm.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

5


MỤC LỤC


Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh.
Tharri khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết một số vấn
đề.

Chương 1

Lý thuyết chuẩn bị
1.1 Định lý Pascal
Xét trong mặt phang, ta có định lý sau:
1.1.1

Định lý Pascal

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

6


Định lý 1.1.1. Trong một lục giác nội tiếp, giao điểm của các cặp cạnh
đối diện (nếu cỏ) nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh

Giả sử A , B , c , D , E , F là một lục giác nội tiếp trong một đường tròn.
Các cặp cạnh đối diện A B và D E ; B C và E F ; C D và F A cắt
nhau theo thứ thự Oí, /3, 7.
Ap dụng định lý Menelaus vào tam giác P Q R tạo bởi ba cạnh không kề
nhau của một lục giác với các cát tuyến C Ị 3 B , D E a , j F A (ba cạnh còn lại)
ta lần lượt có:
CQjR~BP _

Chú ý. Định lý áp dụng cho rriọi lục giác nội tiếp không cần giả thiết là lục
giác lồi.

1. 1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal
• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:
Giả sử A B C D E F là một lục giác Iiội tiếp. Ta hãy
hình dung một
đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trcn vòng tròn đến trùng với một đỉnh khác, thí
dụ là điểm A . Lúc đó lục giác trở thành một ngũ giác (nội tiếp) và cạnh F A
trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn ngoại tiếp và ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không kề nhau
nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm, thẳng hàng với giao điểm của
cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu

8


Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứ giác, tarri giác
nội tiếp bằng cách xem những hình đó như những lục giác có hai hay ba cặp
đỉnh trùng nhau và thay cạnh nối hai đỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điổrri
trùng với hai đỉnh đó. Bằng cách đó, ta có thẻ phát biểu định lý như sau:
• Tứ giác nội tiếp đường tròn:
Định lý 1.1.3. Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện và hai
cẠp tiếp tuyến ở CÁC cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có) theo bốn điểm
thẳng hàng.
• Tam giác nội tiếp đường tròn:

Định lý 1.1.4. Ba cạnh của 'một tam giác cắt ba tiếp tuyến với đườny tròn

những lục giác ngoại tiếp dặc biệt có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau. Thí
dụ ta hãy hình dung tiếp điổm A ị chạy trên vòng tròn đến trùng với điềm B ị
để cạnh F A đến trùng với cạnh A B . Lúc đó ta có rriột ngũ giác A B C D E
ngoại tiếp có tính chất sau:
•

Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:
Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại một, điểrn
thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối
diện với đỉnh này.

A

B

Theo đó ta có thể phát hiện thêm nì lững tính chất mới của tứ giác,
tam, giác ngoại tiếp như sau:
• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối các đỉnh đối
diện và các đường nối các tiếp điểrn trên các cạnh đối diện đồng quy.

Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán I
С'Л' П B A = 5;

A'B' n АС = p.
Vậy /, p thẳng hàng (1).
•

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , A ' , B ' , C ' , C , B ta có:
Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

13


AA' П ơc = /; n CB
=N\ B'C' n AB = R.
Vậy N , /, R thẳng hàng (2).
•

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm в , B ', c \ A '

1

А , с ta có:

BB' n A'A = /;
B'C'nAC = Q;

C'A' n С В = М.
Vậy M,/,Q thẳng hàng (3).
Từ (1) (2) (3) suy ra M Q , N R , P S đồng quy tại I (đpcm).
Bài tập 2.1.2. CÌIO tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm, (O). Gọi M

C E n B D = 0; E N n D A = Q; n A C =
M.
Suy ra ba điểm 0, M, Q thẳng hàng.
Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là o (đpcm).

Bài tập 2.1.3. Cho AABC nội tiếp đường tròn tâm (0) và 3 điểm M, N, p
cùng thuộc đường tìiẳng (d). AM, BM, CM cắt lại (0) tương ứng ở
Aị,Bi,Ci \ AịN, BịN, C\N cắt lại (0) tương ứng ở A 2 , B 2 , Ơ2;' AịN, BịN,
C\N cắt lại (0) tương ứng ở A3,i?3,C3.
Chủng minh Tằng: AA 3, BBs^CCs, (d) đồng quy.
Bài giải

Gọi:

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán K37 - Cử nhân

15


Suy ra ba điổm M, s , V thẳng hàng.
Hay s nằm trên (ri) (2).


Suy ra 3 điểrn M , N , T thẳng hàng (đpcrn).
Bài tập 2.1.7. Cho tam, yiác ABC và điếm

s thuộc cạnh BC. Trên các tia

AB, AC lấy tương ứng các điểm, M, N sao cho AMC = —ASC, ANB =
Ẩu

— A S B . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tom giác A M N .

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I
Xét cực và đối cực với (O).
Gọi /, J, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (H M , PQ),
(MN, QR), {NP,RS).
Ap dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp M N P Q R S ta có /, J, K
thẳng hàng.
Ta có các đường đối cực của /, J, K lần lượt là A D , B E , C F nên
A D , B E , C F đồng quy.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2.1.9. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm (O) trên
AB, BC, CD, DA lần lượt ì,à M, N, p, Q. Một điểm, s nằm. trên

Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I

25