Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập
về tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn

I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
B
A

C

O

D

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác
đó nội tiếp đờng tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp
đờng tròn.
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc).
Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới
một góc .
- Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn
- Sử dụng định lí : Tổng 2 cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ
giác đó ngoại tiếp một đờng tròn
- Trờng hợp chứng minh một đa giác ngoại tiếp một đờng tròn ta phảI

thành hai phần bằng nhau.
Nhận xét 4
Từ kết quả chứng minh đợc ở nhận xét 3 ta có bài toán sau: Gọi O, O 1,O2 là
trung điểm của các đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với
tâm 3 đờng tròn bàng tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, O1,O2nằm
trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
3


Nhận xét 5
Dựa vào kết quả đã chứng minh đc ở nhận xét 4, ta thấy khi biết đợc S và E
ta xác định đợc O. Gọi T là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có TB
= TO = TC có nghĩa là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định
đợc. Mặt khác OS = OB = OC lên suy ra cách xác định B,C và sau đó dễ
dàng xác định đợc A, ta có bài toán dung hình sau:
Dựng tam giác ABC cho biết T là tâm đờng tròn ngoại tiếp , S là tâm đờng
tròn nội tiếp và E là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc A.
2.Bài tập 2.
Li dng cỏc tam giỏc vuụng cú cnh huyn chung.
Nu hai hay nhiu tam giỏc vuụng cú cnh huyn chung thỡ ta cú th
chng minh a giỏc to thnh bi cỏc nh ca cỏc tam giỏc ú ni tip
trong ng trũn.
Vớ d minh ho: Cho ng trũn tõm O v ng thng xy khụng ct
ng trũn ú. T O h OA vuụng gúc xy (A xy); t A k mt cỏt tuyn
bt k ct ng trũn ti B v C; tip tuyn ca ng trũn ti B v C ct xy
D v E. Chng minh cỏc t giỏc ODAB v OCEA ni tip c.
Gi ý: Xột t giỏc ODAB cú OB
vuụng gúc vi BD (tip tuyn vuụng gúc vi
bỏn kớnh ti tip im ) => gúc OBD = 90 0
O

Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A2 kẻ
G
hai dây cung AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G. Chứng minh tứ giác
DFGE nội tiếp được.
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác
A
DFGE nội tiếp được ta cần chúng minh
góc D + góc G1 = 1800. Vậy thử xét quan
1 G
B
C
hệ giữa tổng số đo hai góc này với số đo
2
các cung có liên quan như thế nào ? Ta có
O

.

1
góc D = sđ cung AE (số đo góc nội tiếp
2

D
E

bằng nữa số đo cung bị chắn) => góc D =
(sđ cung AC + sđ cung CE) : 2 (vì C
thuộc cung AE) (1). Còn góc G1 = (sđ
cung AC + sđ cung BDE) : 2 (G là góc có

= 1800 (hai góc kề bù). Vậy chỉ cần chứng
minh góc E2 = góc D1
Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội
tiếp cùng chắn cung AC). Như vậy cần
chứng minh góc E2 = góc B1 là được. Dễ
thấy hai góc này cùng phụ với góc A 1 (do
góc ACB = 900 và góc ABE = 900).

D

F

Bµi tËp 4.
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai
đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên
AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc
chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên
cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng
thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:
Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát
tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm),
gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng
thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác

K. Xỏc nh tõm K ca ng trũn ny.
b/ Chng minh hai ng trũn ( I ) v ( K ) tip xỳc nhau.
@ Gi ý:
a/ Chỳng minh IP AC àp = 900 . Da vo du hiu 1 chng
minh APIH ni tip c trong mt ng trũn ( ảH + àP = 1800 )

7


- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn
đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính
AI. Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là
trung điểm đoạn AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB
dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2
trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hia tâm bằng tổng hai bán
kính. OO’ = R + r
- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán
kính. OO’ = R – r> 0
- Tính IK để kết luận (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: CHo đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm
2
giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN ⊥ AB tại I. Gọi C là một
3
điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B.
Nối AC, cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn.
Xác định tâm đường tròn này.

@ Gợi ý:
a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD là đường chéo của hình vuông
ABCD nên ·DBC = ? - Dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh EBAQ nội tiếp (
Hướng dẫn HS lập luận như sau: Hai đỉnh A và B của hai góc QAE và
BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh còn lại của tứ giác EBAQ cùng
dưới một góc 450 nên EBAQ nội tiếp được trong đường tròn.
- Chứng minh tương tự đối với tứ giác FPAD.
b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường
tròn.
HS cần nắm được kiến thức sau: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội
tiếp thì bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó. (Định lý)
- Góc FQE là góc ngoài tại đỉnh Q của tứ giác nội tiếp EBAQ nên
góc EQF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
- Góc EPF là góc ngoài tại đỉnh P của tứ giác nội tiếp APFD nên
góc EPF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
- Xét các điểm P, Q, C có cùng nhìn đoạn thẳng EF dưới cùng một
góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ đó kết luận 5
điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một
khoảng OK= a ( 0 < a < R ). Từ một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai
tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm; O và B
nằm cùng phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D
và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường
tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác
AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường

Câu a/ B thuộc nửa đường tròn đường kính AI ⇒ ·AIB = ?0
- Chúng minh HK là đường trung bình của hình thang
EBOI, từ đó kết luận HK ⊥ EB
Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân tại K để suy ra ·BEK = ·EBK
(1)
- Chứng minh ·EBK = ·AKC (2)
- Từ (1) và (2) suy ra ·BEK = ·ACK
Góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc
ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E). Do đó, căn cứ vào dấu hiệu 2, kết
luận AEKC nội tiếp được trong đường tròn.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và
lấy điểm P chính giữa nửa đường tròn. Trên cung PN, lấy điểm Q
( không trùng với P, N ). Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ
tự tại S và T.
a/ Chứng minh NS và MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:

10


a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn, vậy góc PMN bằng bao
nhiêu độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường tròn). Kết
luận tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra điều cần chứng minh.
b/ HS tự chứng minh 2 tam giác đề ra là đồng dạng( trường hợp
góc-góc).
c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch. minh trên)
·
·


11


2. Các bài tập đề nghị HS về nhà tìm lời giải
Bài tập 1
Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính
MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng
minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Aã BD = Aã CD
ã
c) CA là phân giác của SCB

Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD
cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF
cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng
minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh KLN cân.
Bài tập 7
Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H
khụng trựng vi im A v AH
Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng
bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông
góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P.
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn .
2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
14


3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình
thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 14
Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng
tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ
giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H.
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
1
3. Chứng minh ED = 2 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài tập 16
T im M ngoi ng trũn (O) v 2 tip tuyn MA v MB. Trờn

kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE
và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung
điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:
1. AE2 = AB.AC
2. Tứ giác AEOF
3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
4. ED song song với Ac.
5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc
một đờng thẳng cố định.
Bài tập 20
0
Cho ABC có các góc đều nhọn và Aà = 45 . Vẽ đờng cao BD và CE của
ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

DE
b) Tính tỉ số B C

c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA DE
Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng
tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn.
Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy.
b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF =
AN.AE
Bài tập 22
0
Cho tam giác vuông ABC ( A = 90 ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không

a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?
Bài tập 25
Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn
(A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích
lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài tập 26
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi
đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua
M, N thì T, T thuộc một đờng tròn cố định.

17


b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của
MN.
Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì
TT luôn đi qua điểm cố định.
d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT = 600.
Bài tập 27
Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (MA và C). Vẽ đờng
tròn đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn.
Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:

5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 31
Cho na ng trũn (O;R) ng kớnh AB, dõy AC. Gi E l im
chớnh gia cung AC bỏn kớnh OE ct AC ti H, v CK song song vi BE ct
AE ti K.
a) Chng minh t giỏc CHEK ni tip.
b) Chng minh KH AB
c) Cho BC = R. Tớnh PK.
Bài tập 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài tập 33
Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE
đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng
tròn.
ã

b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC .
2
c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB = AI.AH .
d) Cho AB=R 3 và

OH=

R

EAF
= 450 . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh:

a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp
b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài tập 37
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là
trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy
điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R2.
Bài tập 38
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O
2
sao cho AI = 3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý

thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN
tại E.
a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b. Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM và AM2 = AE.AC.
c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d
vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M
bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai
N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
20

c. IK // AB.
Bài tập 43
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E,
B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc
với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC =
BH.BA.
c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt
nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD.
21


0
0
d. Cho biết BAM = 45 và BAE = 30 . Tính diện tích tam giác
ABC theo R.

Bài tập 44
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung
điểm H của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với
MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI.
a/ Chứng minh rằng: BN// MC
b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi
D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác
DMEF nội tiếp
Bài tập 45
Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60 0; trên tia đối của tia AC
lấy điểm D sao cho AD = AC.

a. d // EF
b. S = p.R
Bài tập 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng
tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn
tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K.
a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là
hình bình hành.
Bài tập 49
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 900
quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao
điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO
cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại
P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng
a) AMON là hình chữ nhật
b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp
d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn
nhất.
Bài tập 50
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và
O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
MN (C khác M, N khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp.
b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC AI.IB = AI2
Bài tập 51
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn

5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
Bài tập 54
Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn
và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của
đờng thẳng CE với đờng tròn.
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC
c) Chứng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài tập 55
Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O
tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm
giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I
là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM
lần lợt tai E và F. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.
24


b. IAB = AMO .
c. O là trung điểm của FE
Bài tập 56
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên
nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đờng
thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM
cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành