MỞ ĐẦU
Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt môn Toán có
vị trí rất quan trọng. Nội dung kiến thức môn toán được đưa vào các lớp tiểu
học là một hệ thống kiến thức cơ bản và cũng là kiến thức nền tảng làm cơ sở
cho việc lĩnh hội nhiều kiến thức khác trong chương trình tiểu học hoặc mở
đầu cho học các kiến thức nền tảng ở các bậc học trên.
Vậy làm thế nào thông qua việc cung cấp những kiến thức cơ bản ban
đầu của môn toán học sinh biết vận dụng kiến thức đó để khám phá tìm tòi
những kiến thức mới. Đó là điều làm tôi trăn trở băn khoăn, với trang viết này
tôi xin trình bày việc vận dụng kiến thức từ bài “Thừa số - Tích” (Toán Lớp 2
-Trang 94) giúp học sinh giải các bài toán ở tiểu học.
I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN

- Xuất phát từ cấu trúc chương trình môn toán ở Tiểu học:
+ Hệ thống kiến thức được xây dựng theo quan điểm đồng tâm phát
triển và mở rộng. Trong toàn bộ hệ thống các kiến thức cơ bản được đưa vào
toàn bộ chương trình cũng như mỗi lớp, có những kiến thức cơ bản nhất,
trong đó có những kiến thức nền tảng làm cơ sở cho việc lĩnh hội nhiều kiến
thức khác trong chương trình Tiểu học hoặc mở đầu cho học các kiến thức
nền tảng ở bậc học trên.
+ Kiến thức toán học (trong đó có những kiến thức cơ bản và nền tảng)
đếu trừư tượng, đối với học sinh tiểu học không phải học một lần là lĩnh hội
được mà phải qua nhiều lần ôn tập, nhắc lại là qua vận dụng vào giải bài tập
hay vào học các kiến thức khác có liên quan các em mới nhận thức được đầy
đủ.
- Xuất phát phương pháp dạy học toán ở tiểu học là “Ôn cũ để luyện
mới” kiến thức mới được xây dựng trên cơ sở tìm tòi, phát hiện từ kiến thức
đã học.
- Quan sát quá trình học toán của học sinh tiểu học với những kiến thức
cơ bản, sơ đẳng ban đầu nếu các em được nắm chắc cùng với sự gợi mở dẫn
đường của giáo viên và thông qua luyện tập thực hành của học sinh từ đó sẽ

5 (xe)

Thừa số 1

c) 10

:

Tích

5

Thừa số 2

=

2 (bánh)

Thừa số 2

Thừa số 1

GV đưa bài toán về sơ đồ sau:
10

:

Tích
2
TS1

Thừa số 2

Thừa số 1

Dựa vào sơ đồ trên em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa tích và các
thừa số của tích?
- Học sinh rút ra nhận xét 1
+ Tích chia cho thừa số này được thừa số kia.
+ Muốn tìm thừa số của tích ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Từ kiến thức học sinh lĩnh hội được - Giáo viên đưa ra bài toán sau:
Bài toán 2: Cho các phép nhân sau:

2


Em có nhận xét gì về các thừa số và tích của các phép tính trên?
Học sinh rút ra nhận xét 2:
- Tích đều giống nhau (không đổi)
- Thừa số 1 gấp lên 2, 3 lần thì thừa số thứ hai của tích sẽ giảm đi 2,
3 lần.
Bài toán 3: Từ bảng nhân 6 em hãy lập bảng chia 6. Qua bảng nhân,
bảng chia em có nhận xét gì về tích và các thừa số của tích:

HS rút ra nhận xét 3:
- Thừa số thứ nhất đều bằng nhau, thừa số thứ hai của tích tăng hay giảm bao
nhiêu lần thì tích sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
Qua bài toán 1, 2, 3 học sinh rút ra kiến thức về mối quan hệ giữa tích và thừa
số của tích:
- Tích chia cho thừa số này được thừa số kia.
- Tích không đổi thừa số này tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thừa

C
=
d
x
3,14 =
r
x
2
x
3,14
Chu vi hìnhThừa số 1
Thừa số 2 không đổi
Thừa số 2 Thừa số 1
tròn
không đổi
Đường kính
Bán kính
(Tích)
- Vì 3,14 không đổi nên d tăng hay giảm bao nhiêu lần thì C sẽ tăng
hay giảm bấy nhiêu lần.
- Vì 2 x 3,14 không đổi nên r tăng hay giảm bao nhiêu lần thì C sẽ tăng
hay giảm bấy nhiêu lần.
3. Các bài toán về diện tích hình chữ nhật.
Vì
S
=
a
x
b
Diện tích Chiều dài

Vì

S

=

v

x

t

Quãng đường Vận tốc
Thời gian
(Tích)
(T.Số 1) (T.số 2)
Học sinh dễ dàng nhận ra mối quan hệ giữa quãng đường (S) với vận
tốc (v) và thời gian (t) đó là:
+ Với cùng một vận tốc thời gian đi tăng hay giảm bao nhieu lần thì
quãng đường đi cũng tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
+ Trong cùng một thời gian thì vận tốc tăng hay giảm bao nhiêu lần thì
quãng đường đi cũng tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
+ Trên cùng một quãng đường nếu vận tốc tăng hay giảm bao nhiêu lần
thì thời gian đi sẽ giảm hay tăng bấy nhiêu lần.
6. Các bài toán về mua bán hàng hoá.
- Vì số tiền mua hàng = Giá hàng (đơn giá) x số hàng mua
Tích

T.số 1



Bài toán 2: Hai hình tròn có hiệu chu vi bằng 12,56 cm. Hình tròn bé
có bán kính bằng

2
bán kính hình tròn lớn. Tìm diện tích mỗi hình tròn:
3

- Với bài toán này nhờ sử dụng mối quan hệ giữa bán kính và chu vi
hình tròn. Khi bán kính bé bằng

2
bán kính lớn thì chu vi hình bé tương ứng
3
5


cũng bằng

2
chu vi hình lớn và học sinh dễ dàng giải bài toán. Khi đã tìm
3

được chu vi mỗi hình như sau:
Chình tròn bé
12,56
Chình tròn lớn
Chu vi hình tròn bé: 12,56 x 2 = 25,12 (cm)
Bán kính hình tròn bé: 25,12 : 3,14 = 4 (cm)
Bán kính hình tròn lớn: 4 x

HK =

1
AH. Nối BK, KC. So sánh
4

SABH với SBKC ?
- Sử dụng mối quan hệ giữa đáy, chiều cao và diện tích, học sinh sẽ
nghỉ ngay việc tìm ra những cặp tam giác có chung đáy hoặc chung chiều cao
từ đó học sinh dễ dàng nhận ra các cặp tam giác đó là:
6


Tam giác ABC với tam giác ABH
Tam giác ABC với tam giác BKC
+ Cặp tam giác ABC và ABH có:
- Chung chiều cao AH
- Đáy BH =

1
BC
4

+ Cặp tam giác ABC và BKH có:
- Chung đáy BC
1
- Chiều cao KH = AH
4

SABH =

So sánh SBOM với SCON
- Bài toán liên quan đến diện tích tam giác nên học sinh dễ dàng nghĩ
ngay đến tìm cặp tam giác có liên quan đến chung đáy hay chung chiều cao và
liên quan đến SBOM và S CON.
Học sinh đã sử dụng kiến thức mối quan hệ giữa S, a, h của các cặp
tam giác để giải bài toán:
+ Cặp tam giác ABC và BCM có:
- Đáy BM =

1
BA
3

1
3

SBCM = SABC (1)

- Chung chiều cao hạ từ C

+ Cũng tương tự cặp tam giác ABC và BNC có:
Từ (1) và (2)
SBCM = SBCN.
mà SBMC = SBOC + SBOM
SBNC = SBOC + SCON

SBCN =

1
SABC (2)


+ Chung chiều cao hạ từ A
Hoặc: Đáy CM =

1
1
CB hay CM = BM
4
3

+ Chung chiều cao hạ từ A
1
3

SCMA = SAMB
Bài toán 7: Một miếng bìa hình bình
hành có chu vi 2m. Nếu bớt chiều dài 20cm
thì được một miếng bìa hình thoi có diện tích
6 dm2.
Tính diện tích miếng bìa hình bình hành ?

A

M

2 dm

B

6 dm2

AN và CM cắt nhau tại P. Biết SAMP = 6cm2.
Tính SABC = ?
- Vì bài toán yêu cầu tính SABC và cho biết
SAMP và cho biết các chỉ số về tỷ lệ đoạn thẳng trên cạnh AB và cạnh AC của
tam giác ABC nên học sinh sẽ nghĩ ngay đến việc tìm các cặp tam giác có liên
quan đến tam giác ABC, AMP và các cạnh đáy AM, AB, BN, BC. Cùng với
8


việc sử dụng mối quan hệ giữa chiều cao, đáy, diện tích, học sinh sẽ tìm ra
cách giải sau:
+ Cặp tam giác ABN và ANC có:
- Đáy BN =

1
1
NC (vì BN = BC)
2
3

SABN =

- Chung chiều cao hạ từ A
Từ SABN =

1
2

SANC



SCAP (1)

SAMP =

1
2

SBAP (2)

1
SCAP
4

SCAP = 6 x 4 = 24 (cm2)
SAMC = 24 + 6 = 30 (cm2)
+ Cặp tam giác AMC và ABC có:
- Chiều cao hạ từ C không đổi (chung)
- Đáy AM =

1
2

1
2

1
AB
2


cao đáy bằng nhau thì diện tích
+ SABC = SCNA
bằng nhau.
+ SABC = SBMC
- Cũng tương tự học sinh dễ dàng rút ra kết quả:
+ SAKB = SBKC
(2)
+ SCAN = SNAK
+ S BMC = SMCN
Từ (1) và (2)

SABC =

1
SMNK
7

SMNK = 200 x 7 = 1400 (cm2)
Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có diện tích
20 cm2.
Kéo dài cạnh AB về phía B một đoạn BM = BA.
Kéo dài cạnh BC về phía C một đoạn CN = BC.
Kéo dài cạnh CD về phía D một đoạn DP = DC.
Kéo dài cạnh DA về phía A một đoạn AK = AD.
Nối KM, MN, NP, PK.Tính SKMNP= ?

- Cũng tương tự với bài toán 9. Bài toán này dựa vào mối quan hệ giữa
S, a, h của tam giác học sinh dễ dàng tìm được:
SKAM = 2 x SABD
SABD = SAKB = SKBM



Tương tự với bài 9, 10 học sinh nhờ sử dụng kiến thức mối quan hệ giữa S,
a,h của tam giác đã tìm ra được:
1
1
1
SNMA = SAMC = SABC
2
3
4
1
SMNP = 180 x
= 45 (cm2)
4

SMNP =

Bài toán 12: Cho tam giác ABC có
diện tích bằng 324cm2. Trên cạnh BC lấy 2
điểm P và Q sao cho BP =

1
1
BC; CQ =
3
4

BC. Từ P kẻ đường thẳng song song với
AB và từ Q kẻ đường thẳng song song với


SBOC = SABC – SAOB - SAOC
11


= 324 - 108-81 = 135 (cm2)
Cũng tương tự nhờ dựa vào mối quan hệ giữa S, a, h với bài toán tưởng
chừng rất khó song nếu học sinh biết sử dụng kiến thức đã học trong mối
quan hệ điều kiện bài toán đã cho dễ dàng tìm ra
cách giải thật đơn giản cho bài toán sau.
Bài toán 13: Cho tam giác ABC.Lấy M,
N lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AB,
AC. Các đoạn thẳng BN, CM cắt nhau tại
O.Đường thẳng Ao cắt BC tại P.
a)Với
So sánh
đoạn
thẳng
PC?
cách độ
vậndài
dụng
mối
quanBP
hệvới
giữa
S,a và h trong
b)tam
So sánh
độ dài

giữa 2 thừa số của tích khi tích không đổi. Khi học sinh nhận ra được mối
quan hệ này sẽ dễ dàng tìm được cách giải bài toán như sau:
Giá tiền gói nhỏ so với giá tiền gói to là

2
3

Vậy số gói quà nhỏ so với số gói quà to là
và

Số gói to:

3
2

6+3

Số gói nhỏ:
Số gói to là: (6 + 3) x 2 = 18 (gói)
Số bạn trong Ban chỉ huy liên đội là: 18 +6 = 24 (bạn)
12


Bài toán 15: Có một số nước mắm và một số can 5 lít và can 10 lít.Nếu
đổ vào tất cả các can 5 lít thì vừa hết, nếu đổ vào tất cả các can 10 lít thì cũng
vừa hết. Biết tổng số can 5 lít và can 10 lít là 30 can..
Hỏi có bao nhiêu lít nước mắm?
- Vì tổng số lít nước mắm chính bằng số can mỗi loại nhân với số lít
nước mắm đựng trong loại can đó.
- Khi học sinh nhận ra mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán


T.số 2

Tích

⇒ Số em MG x 4 (kẹo) = Số em được chia 10 cái x 10 = Số kẹo (không đổi)

Vì 4 kẹo so với 10 kẹo gấp:

4 :10 =

2
(lần)
5

⇒ Số em được chia 4 cái so với số em được chia 10 cái là:

Ta có:

5
(lần).
2

Số em MG:
Số em được 10 kẹo:
Số em mẫu giáo là:

15 em

15: (5 -2) x 5 = 25 (em)

Quãng đường ô tô đi trong 3 giờ thì xe đạp phải đi trong thời gian là:
3 x 3 = 9 (giờ)
Đi từ nhà lên thành phố chỉ bằng xe đạp mất thời gian:
1 giờ 20 phút + 9 giờ = 10
Vận tốc xe đạp là: 155 :
Vận tốc ô tô là:

1
31
(giờ) =
(giờ)
3
3

31
= 15 (km/giờ)
3

15 x 3 = 45 (km/giờ)

Bài toán 18: Hằng ngày Anh đi xe đạp từ nhà đến trường mất 20
phút.Sáng nay do có việc bận Anh xuất phát chậm mất 4 phút so với mọi
ngày.Để đến trường đúng giờ Anh tính mỗi phút phải đi nhanh hơn 50 m so
với mọi ngày. Hỏi quãng đường từ nhà Anh đến trường bao xa?
- Sử dụng mối quan hệ giữa thời gian và vận tốc khi quãng đường
không đổi học sinh sẽ tìm ra được cánh giải bài toán:
Vì quãng đường từ nhà đến trường không đổi nên vận tốc tỷ lệ nghịch
thời gian đi.
Thời gian hàng ngày so với thời gian sáng nay là:
Vận tốc hằng ngày so với vận tốc sáng nay là:

3
(lần)
2

-Nến thời gian khi đi 60 km/giờ so với thời gian khi đi 40 km/giờ là:

2
(lần).
3

Ta có sơ đồ
TKhi đi 60 km/giờ
TKhi đi 40 km/giờ

17-15

Thời gian khi đi 60 km/giờ là: (17-15) x 2 = 4 (giờ)
Quãng đường A đến B là: 60 x 4 = 240 (km)
Thời gian đi để đến đúng B lúc 16 giờ là:
4 + 1 = 5 (giờ)
Vận tốc ô tô phải đi để đến B đúng 16 giờ là:
240 : 5 = 48 (km)
Bài toán 20: Một người đi từ nhà lên tỉnh mất 2 giờ. Khi từ tỉnh về nhà
do vận tốc tăng mỗi phút 11 m nên chỉ mất 105 phút. Tính quãng đường từ
nhà lên tỉnh.
-Vấn đề trong bài toán khi học sinh đã sử dụng thành thạo mối quan hệ
giữa S, v, t. Khi S không đổi (từ nhà lên tỉnh cũng bằng từ tỉnh về nhà).
⇒ Tỷ số 2 thời gian là:
15


quãng đường từ thành phố A thành phố
B (tính bằng km)
+ Độ dài cạnh DA là vận tốc ban
đầu. (tính bằng km/giờ)
+ Độ dài cạnh DC là thời gian ban
đầu (tính bằng giờ)
Ta có:
KI = IN = 0,8 (giờ)

M

AM = 10 (km/giờ); AL = 15km/giờ =

K

I

3
AM
2

SABCD = S + S1 + S3 + S4 = S + S4 + S5 = S + S1 + S2 = Quãng đường.
Từ Thành phố A  thành phố B ⇒ S2 = S3 + S4
16


Vì KI = IN ⇒ S1 = S2.

AL =



⇒

S5 = 16 +

⇒

1
3 S5 = 16 (km)

⇒

S5 = 16 x 3 = 48 (km)

⇒

S 1 =S 5 - S3 = 48 -8 = 40 (km) = S2

Vậy độ dài cạnh AH hay thời gian tàu hỏa đi hết quãng đường khi tăng
thêm vận tốc 15 km/giờ là: 48: 15 = 3,2 (giờ).
Độ dài cạnh NP hay vận tốc tàu hỏa đi khi giảm vận tốc 10km/giờ là:
40 : 0,8 = 50 (km/giờ).
Vận tốc tàu hỏa khi tăng 15 km/giờ là:
50 + 10 + 15 = 75 (km/giờ).
Khoảng cách từ thành phố A đến thành phố B là:
75 x 3,2 = 240 (km).
Bài toán 22: Một đơn vị vận tải đã huy động 8 xe chở 480 tấn hàng
trong thời gian quy đinh. Sau khi chở được 160 tấn hàng thì đơn vị được giao
nhiệm vụ chở thêm 640 tấn hàng nữa.Hỏi đơn vị đó phải huy động thêm bao
nhiêu xe để chở xong lô hàng trong thời gian qui định?Biết sức chở mỗi xe là

bài toán:
+ Toán chuyển động (S = v x t)
+ Diện tích hình tam giác (S = a x h) : 2)
+ Diện tích hình chữ nhật (S = a x b)
+ Chu vi hình vuông, hình tròn ……….
+ Các bài toán mua bán hàng hóa, phân phối hàng hóa, sản xuất hàng
hóa (năng suất với sản phẩm) v.v… là những dạng bài có mối quan hệ giữa
các đại lượng tương ứng là mối quan hệ giữa tích với các thừa số của tích.
Với cách gợi mở và hướng dẫn học sinh nhận ra kiến thức đã học để vận
dụng vào giải các bài toán 1 cách dễ dàng.
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Trên đây là 1 số biện pháp của bản thân trong việc hướng dẫn học sinh
sử dụng tính chất mối quan hệ giữa tích và thừa số của tích vào giải 1 số bài
toán ở tiểu học, đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao:
- Thông qua việc vận dụng kiến thức vào giải nhiều dạng toán như vậy
100 % học sinh đã có cơ hội nắm vững chắc hơn kiến thức cơ bản về mối
quan hệ giữa tích và thừa số của tích, từ đó đã làm cho học sinh có ý thức
hơn, say sưa hơn trong việc giải toán, phát triển óc tư duy tính sáng tạo trong
học toán.
- 80 % học sinh biết vận dụng đúng và nhanh trong giải các bài toán
nâng cao. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp môn toán các em luôn
dẫn đầu về tỷ lệ đậu và điểm cao.
18


- Chất lượng môn toán của đơn vị dạt 100%. Trong đó Giỏi, khá: 80%.
- Chất lượng học sinh giỏi môn Toán luôn dẫn đầu.
- Tạo cho học sinh có thói quen biết vận dụng linh hoạt những gì đã
học vào xây dựng và phát triển bài học mới.
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM