SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9
TRƯỜNG THCS NGA BẠCH ỨNG DỤNG VÀ PHÁT
TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Người thực hiện: Nguyễn Văn Học
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Bạch
SKKN thuộc lĩnh vực môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Tên chương mục
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG
2.1 : Cơ sở lý luận

Trang
2
3

7
8
9
10
11
14
15

3.1. Kết luận

15

3.2. Kiến nghị

16

2


1. MỞ ĐẦU
1.1.

Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học làm cho học sinh lĩnh hội được các kiến thức là
rất cần thiết. Tuy nhiên để học sinh vận dụng những kiến thức vào giải các bài
toán thì cần nắm vững các kiếm thức cơ bản từ đó ứng dụng vào các để giải các
bài toán . Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến
thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8. Mỗi hằng đẳng thức giúp học
sinh giải được một lớp các bài toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh

một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học
sinh lớp 9 trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ một bài toán
ban đầu "
3


1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Đối với học sinh các bài toán đã biết thì như những hằng đẳng thức đáng nhớ
là một đơn vị kiến thức vô cùng quan trọng, nếu không nắm được thì sẽ không
có thể giải quyết được nhiều bài toán tiếp theo, chính vì thế tìm cách dạy - học
môn toán để áp dụng hằng đẳng thức một cách có hiệu cao nhất, từ đó tiết kiệm
được thời gian của thầy và trò khi dạy – học. Thông qua đề tài nhằm giúp các
em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức đúng lúc vào giải quyết những
dạng bài tập như thế nào. Làm cho các em không còn phải lo lắng, lúng túng và
mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này. Bên cạnh đó học sinh còn
được rèn luyện kỹ năng phân tích – tổng hợp các vấn đề nảy sinh trong cuộc
sống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài này nghiên cứu về bài toán- Hằng đẳng thức đã biết và vận dụng vào
giải một số bài toán: đó là
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1]
(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1]
- Các ứng dụng của nó: Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0
Hoặc (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = 0 ⇔ a = b= c
- Nếu (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 0 thì hoặc a = -b hoặc b = - c hoặc c = -a
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thống kê
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh
- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhóm chuyên môn thực
hiện.

2.2. Thực trạng
- Việc nắm vững các bài toán đã biết- hằng đẳng thức là một yêu cầu cần thiết
đối với học sinh, phần nhiều các em học sinh của chúng ta chỉ nắm được một số
hằng đẳng thức đơn giản và vận dụng vào một số bài tập ở dạng đơn giản, còn
nhiều hằng đẳng thức mở rộng thì nhìn chung các em chưa chú ý nhiều đến, có
hai bài toán trong sách giáo khoa đây là những hằng đẳng thức mà được ứng
dụng rất rộng rãi, việc áp dụng nó cho ta cách giải rất nhanh, nhưng nhiều em
chưa thật sự chú ý nhiều nên vận dụng còn lúng túng, thậm chí không nhớ được
kết quả của bài tập này. Để khắc phục được những nhược điểm trên cho các
em, tôi luôn suy nghĩ phải tìm ra các khía cạnh mới để khêu gợi suy nghĩ
của các em, kích thích trí tò mò qua các vấn đề này mà thầy cô đưa ra thông
qua đó để trang bị một cách có hệ thống các kiến thức thiết thực, trang bị
cho các em một cách nhìn các bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tăng khả
năng tư duy lôgích và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp cho các em
có tác phong độc lập khi giải toán. Đứng trước một bài toán có thể chủ động
vững tin biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu hỏi trả lời thích hợp để giải quyết
bài toán một cách trọn vẹn.
- Trên cơ sở nghiên cứu các đối tượng học sinh . Tôi đã tìm hiểu các hằng đẳng
thức, phương pháp giải và ứng dụng để chứng minh các bài toán , …. và tìm
hiểu, vận dụng để chứng minh các bài toán khác.
- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản, ứng dụng để giải các bài toán
khác và các bài tập nâng cao.
Trong chương trình toán có rất nhiều các dạng toán khác nhau, sử dụng
các bài toán cơ bản hay các hằng đẳng thức đã biết để làm tiền đề cho bài toán
này (bài toán mới). Mỗi bài có những yêu cầu khác nhau và những đặc trưng
riêng, khi học sinh bắt gặp thì cảm thấy khó và nhiều học sinh khi giải một bài
toán chỉ biết được cách giải và kết quả bài toán đó mà không vận dụng được vào
trong những bài toán khác, vì sao lại như vậy. Bởi vì các em chưa nắm được
kiến thức cơ bản, không nhớ cách giải từng dạng bài và thói quen gợi nhớ, mở
rộng, vận dụng các bài toán cũ nên không giải được các bài toán đặt ra nếu ta

Vận
dụng
50
14
46.7
1
60
12
40
0

%
3.3
0

Từ những kết quả trên, để có hiệu quả tốt hơn, tôi đã tìm tòi và suy nghĩ
và đưa ra phương án : đó là: Từ một bài toán ta thay đổi các giả thiết thì sẽ được
một bài toán khác và cũng từ một bài toán vận dụng để giải các bài toán khác .
Nếu Học Sinh làm được 2 điều này thì không những nắm vững kiến thức cơ
bản , nắm vững các bài toán, các dạng toán đã làm mà còn có khả năng tư duy
sáng tạo, tổng hợp rất cao.
2.3 Các biện pháp
Để giúp học sinh lớp 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập và vận các
bài tập như phần cơ sở lý luận, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm
được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. kết quả của hai bài tập trên. Giáo viên cần
giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao. Ở mỗi
dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận
dụng các bài tập đã biết - hằng đẳng thức để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập
tương tự, bài tập nâng cao để học sinh có thể tự giải.
+ Các bài toán trên sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc các dạng sau:
a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
(3)
a
=
b
=
c


Từ (2) => (a +b +c)3 = a3 + b3 + c3

a = −b
⇔ b = −c [ 2]
c = −a

(4)

"Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trường hợp rất là hiệu
quả và bất ngờ. Sau đây ta xét một số bài toán minh họa"
Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa
thức thành nhân tử
Bài toán 1: Phân tích đa thức 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz thành nhân tử.
Giải: 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz = (3x)3 + (5y)3 + z3 - 3.(3x).(5y).z
= (3x + 5y + z)[(3x)2 + (5y)2 + z2 - (3x)(5y) - (3x)z - (5y)z]
= (3x + 5y + z)(9x2 + 25y2 + z2 - 15xy - 3xz - 5yz).
Bài toán 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử.
Giải: Đặt m = x - y, n = y - z, p = z - x thì m + n + p = 0.

x = a + b − c

Đặt  y = b + c − a ⇒ x + y + z = a + b + c
z = c + a − b


Khi đó : A = ( x+ y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3( x+y)(y+z)(z+x)
= 3.2b.2c.2a = 24abc
Nhận xét:
Như vậy trong lời giải bài toán đã sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích
giảm thiểu độ phức tạp cho lời giải. Đây là ý tưởng không hề mới nhưng
mạng lại hiệu quả rất cao bởi trong cuốn " Giải bài toán như thế nào", Pô – li
–a đã khẳng định rằng yếu tố phụ như nhịp cầu nối bài toán toán cần tìm ra
cách giải với bài toán đã biết cách giải. [ 2]
Chú ý: Tiếp theo ta sẽ tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức trên để thực hiện một
vài phép biến đổi đại số và cụ thể ở dưới đây là việc trục căn thức bậc ba ở mẫu
số.
Bài toán 5: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức sau:
A=

3

1
, với abc = 1 [ 1]
a+ b+3c
3

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với


3

Bài toán 6: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
B=

1
[ 2]
4 4 + 2 3 2 − 16
2

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi nhân cả tử và mẫu của B với ( a2 +
b2 + c2 – ab –bc- ca) ta có :
A=

16 3 16 + 4 3 4 + 256 + 16 − 64 3 4 − 32 3 2
(4 3 4)3 + (2 3 2)3 − 1633.4 3 4.2 3 2.16

=

272 − 60 3 4 15 3 4 − 68
=
−3056
764

Bài toán 7: Hãy thực hiện trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) A =
b) B =

= 3( a+b+c) (vì a + b+c =(a- b)( b- c)(c –a))
3
3
Từ đó ta có ngay ( a –b) + ( b- c) + ( c- a)3 chia hết cho 3
Bài toán 9: Cho 3 số nguyên a,b,c thảo mãn:
a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a).
9


Chứng minh rằng: M = ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 81 [ 2]
Giải: Vì (a-b) + ( b- c) + ( c- a) = 0 nên theo ( 3) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc
( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = 3( a-b)( b-c)( c-a)
Xét 3 số dư của phép chia a, b ,c cho 3
a) Nếu cả ba số dư khác nhau ( là 0, 1 , 2) thì ( a + b + c ) M3
khi đó ( a-b)( b- c)( c-a) không chia hết cho 3, trái với giả thiết
b) Nếu có hai số dư bằng nhau thi a + b + c không chia hết cho 3, trong khi
đó một trong ba hiệu ( a- b), ( b- c), ( c- a) chia hết cho 3, trái với giả thiết.
c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số a ,b ,c đều có cùng số dư khi chia cho 3,
lúc đó 3 ( a-b)( b- c)( c-a) M3.3.3.3 nên M M81
Nhận xét:
Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các kết quả
tổng quát hơn như sau
1. Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:
( a+b+c)p + ( a- b –c)p+ ( b- c-a)p + ( c- a- b)p chi hết cho 8pabc
2. Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số
( a- b)p + ( b- c)p + ( c- a)p chia hết cho p( a-b)(b-c)(c-a) [ 1]
Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào chứng minh
đẳng thức .
Bài toán 10: Biết x+ y + z = 0. Chứng ming rằng
2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) [ 2]


(*)

Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc [ 5]
10


a + b + c = 0
Giải: Do a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
a = b = c
a + b + c = 0
Nên ta cần chứng minh 
a = b = c
Thật vậy: giả sử ( x,y) nghiệm của ( *) cộng theo vế của (*) ta được
a + b + c = 0 a + b + c = 0

( a + b+c)( x+y - 1) = 0 ⇔ 

 x + y −1 = 0  x + y −1 = 0
Từ x+ y – 1 = 0 => y = 1 – x thế vào ( *) ta được a =b =c. từ đó ta có điều phải
chứng minh.
Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào tính giá trị
của biểu thức .
Bài toán 12: Cho a, b, c là các số thực khác 0 sao cho
a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2
Hãy tính giá trị của biểu thức
a  b 
c

M= 1 + 1 + 1 +  [ 5]



x 
z 
y   x  z  y 

2) Nếu x=y=z (hay a= b= c) => M = 8
Bài toán 13:

Giải:
suy ra

Cho xy + yz + xz = 0 và x; y; z khác 0
yz xz xy
Hãy tính A = 2 + 2 + 2 [ 1]
x
y
z
Từ xy + yz + xz = 0 và x; y; z khác 0

1 1 1
+ + = 0 nên theo (3) ta có
x y z
11


Từ đó A =

1
1

a3 + b3 = 3ab -1 ⇔ a3 + b3 + 1 = 3a.b.1
a + b + 1 = 0
 a + b = −1
 A = −1
 A = −1
⇔ 
⇔
⇔
⇔
a = b = 1
a = b = 1
A = 2
A = 2

Bài toán 15: Biết a3 – b3 = 3ab +1. Tính giá trị của biểu thức A = a- b [ 1]
Giải:
Biến đổi giả thiết về dạng :
a3 – b3 = 3ab +1 ⇔ a3 +(- b)3 +(- 1)3 = 3a.(-b).(-1)
 a + (− b) + (−1) = 0
 A = −1
⇔
⇔
a = − b = −1
 A = −2

Chú ý : Bài toán này có thể phát biểu như sau: Trong mặt phẳng tọa độ vuông
góc Oxy, Hãy tìm tập hợp các điểm M( x;y ) sao cho : x3 – y3 = 3xy + 1 [ 2]
Bài toán 16:
Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k:
S= 1.2.3 +3.4.7 + 7.8.15+ …+ (2k – 1)2k(2k+1-1) [ 2]

Bài toán 17: Giải các phương trình:
a) x3 -3x + 2 = 0
b) x3 + 16 = 12x [ 1]
Giải:
a) Ta có x3 -3x + 2 = 0 ⇔ x3 + 13 + 13 = 3.x.1.1
x +1+1 = 0
 x = −2
⇔ 
⇔
x = 1 = 1
x = 2

Vậy phương tình có hai nghiệm x = -2, x = 1
b)

x + 2 + 2 = 0

Ta có x3 + 16 = 12x ⇔ x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x ⇔ 
x = 2 = 2
Vậy phương tình có hai nghiệm x = -4, x = 2

Bài toán tương tự:

 x = −4
⇔
x = 2

Giải phương trình 6x3 + 3x- 5 = 0 [ 1]

Bài toán 18: Giải phương trình

⇔ ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 3 3 x − 1 . 3 x − 2 . 3 x − 3
⇔ x -2 = 3 (x − 1)(x − 2)(x − 3) ⇔ ( x- 2)3 = ( x- 1)( x-2)( x-3)

13


⇔ ( x -2) (x − 2) 2 − (x − 1)(x − 3)

] =0

⇔ x- 2 = 0 ⇔ x = 2

Thử lại thấy x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Nhận xét:
Trong câu a) chúng ta só thể sử dụng ngay đánh giá
( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 0
Do đó, phương trình tương đương với: ( x- 1)( x-2)( x-3)
⇔ x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Từ đó ta thử lại để chọn nghiệm
Một số bài toán tương tự
a)
( x- 3)3 + ( 2x -3)3 = 27 ( x-2)3
b)
( x- 3)3 + ( x + 1)3 = 8( x-1)3
c) (a x+b)3 + (bx + a)3 + ( a+b)3(x+1)3 = 0
d) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 [ 2]
Bài toán 20: Giải hệ phương trình
x + y + z = 1
 2

sau:
Từ x2 + y2 + z2 = 1 suy ra - 1 ≤ x, y, z ≤ 1
Khi đó , kết hợp x2 + y2 + z2 = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 ta suy ra
x2( 1-x) + y2( 1-y)+z2( 1-z) = 0
14


 x = 0; y = 0; z = 1
⇔ x2( 1-x) = y2( 1-y) =z2( 1-z) = 0 ⇔  x = 0; y = 1; z = 0
 x = 1; y = 0; z = 0

Đó chính là ý tưởng của " Một cách tìm nhiều lời giải của một bài toán"
Bài toán 21:
Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:
 x + 2 y + 3z = 6

( I) 

3
3
3
(x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18

[ 2]

Giải:
 x + 2 y + 3z = 6

(x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0
⇔


Vậy ( x -1) và ( 2y -3) là nghiệm của phương trình : t2 +t +6 = 0
Phương trình này vô nghiệm
b) Với 3z – 2 = -2 thay vào hệ ( II ) ta được
(x + 1) + (2 y − 3) = 2

(x + 1)(2 y− 3) = −3

Vậy ( x+1) và ( 2y -3) là nghiệm của phương trình: t2 -2t -3 = 0
Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3
Kết hợp với 3z- 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x;y;z)
là (0;3;0); (4;1;0)
• Những cách nhìn khác nhau về một bài toán sẽ cho ta những cách phát
biểu khác nhau về một bài toán và ngược lại, từ đó có thể hình thành
phảm chất nhạy bén cho người làm toán
2.5. Hiệu quả
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau thời gian thực hiện, bản
thân thu được kết quả như sau:
1. Kiến thức:
Học sinh tiếp nhận kiến thức một cách, chủ động, có hệ thống, học sinh
đã phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến các hằng đẳng thức,
các bài toán đã biết và từ đó hầu hết giải được các bài tập phần này, xoá đi cảm
giác khó và phức tạp ban đầu. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh,
15


sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong
phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
2. Kĩ năng;
Khi gặp các bài toán liên quan đến các hằng đẳng thức hoặc các một bài

30
12
40
Qua phần khảo sát thì số học sinh khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém giản đi
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua thực tế giảng dạy, tổ chức các biện pháp nhằm phát triển tư duy cho học
sinh và vận dụng hằng đẳng thức để giải các bài toán thông qua bài toán cơ
bản , tôi nhận thấy có một số ưu điểm nổi bật đó là: Giúp học sinh có “chìa
khoá” để mở hầu hết các bài toán hình học và mở được nhiều bài toán nói
chung; Học sinh xây dựng được đường lối tìm lời giải bài toán nhanh, gọn
chứng minh khoa học. Các biện pháp này có thể được sử dụng rộng rãi với nhiều
đơn vị kiến thức khác nhau. Khi giải bài toàn cần lưu ý:
+ Ta cần phân tích kỹ các yếu tố có trong bài toán như phần hệ số, phần biến,
phấn số mũ, các dấu (+, - ) trong bài toán rồi xem xét vận dụng các kiến thức cũ
để giải.
+ Phân dạng các bài toán một cách có hệ thống và hướng dẫn phương pháp đối
với từng dạng, từng bài, từ đó khai thác vận dụng để đưa ra các bài toán mới
+ Làm cho học sinh nắm vững các hằng đẳng thức.
+ Đưa ra các bài toán mang tính chất đặc trưng và phương pháp để học sinh có
thể vận dụng giải các bài toán tương tự.
+ Trong bài toán mới nào đó có thể gợi nhớ các bài toán cơ bản đã làm.
+ Phần "hằng đẳng thức hay một bài toán " ở lớp 9 là một nội dung quan trọng
bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các
kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng
ta cần cho học sinh nắm thật vững các bài toán cơ bản, hằng đẳng thức, các phép
biến đổi, bất đẳng thức...
16




Nga Sơn, ngày 2 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện :

Nguyễn Văn Học

17


NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 -Tuyển chọn các bài thi học sinh giỏi lớp 6-7-8-9– Tác giả : Lê Hồng ĐứcNhà xuất bản Hà Nội năm 2005
2 - Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục,2006
3- Các dạng toán và phương pháp giải toán 8- Nhà xuất bản giáo dục năm 2008
4- Tuyển chọn 400 bài tập toán 8-Tác giả phan Văn Đức – NXB Đà Nẵng năm
2006
5- 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp – Tác giả:Nguyễn Văn Vĩnh- NXB
GD năm 2008

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNH KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Học
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Bạch
STT

Hướng dẫn học sinh lớp 9 ở Trường
THCS Nga Bạch ứng dụng và phát
triển từ một bài toán ban đầu

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

12

Cấp
đành giá
xếp loại
Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
C

Năm học
đánh giá
xếp loại

2009-2010

Huyện

B

2010-2011

Huyện

C

2011-2012

Huyện

B

2013-2014

Huyện

B

2015-2016

Huyện

A