1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói
riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề
rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một
dạng toán cơ bản mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán
để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh. Hơn nữa,
việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ
chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học
một cách khoa học khi học toán.
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi được tiếp xúc với
rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã
làm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn
giống với bài toán cũ. Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh
thường không có kỹ năng nhận ra. Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận
ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào
việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực
học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh
cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán
trường THCS Thị Trấn nói riêng và học sinh toàn huyện Thường Xuân nói
chung. Tôi xin được trình bày đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường
THCS Thị Trấn Thường Xuân xây dựng hệ thống bài tập theo nhiều hướng
khác nhau từ một bài tập sách giáo khoa ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn
Toán.
- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính
sáng tạo và giải toán của học sinh.
- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó
giúp các em hình thành phương pháp giải.
- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng Học

các đồng nghiệp trong và ngoài huyện tôi nhận ra rằng:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm
nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy
hết.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học
tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập
chưa cao.
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải
khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy
hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,
sáng tạo bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,
phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng
hơn là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi
học toán.
- Trước khi thực hiện đề tài này tôi đã khảo sát 32 học sinh lớp 9A trường
THCS Thị Trấn Thường Xuân năm học 2015 - 2016. Kết quả thu được như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
SL
TL (%)
SL
TL (%)

để thể hiện nội dung của đề tài.
2.3.1. Ví dụ (Bài tập 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông
góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là
AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với
nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng:
·
a. COD
= 90o.
b. CD =AC + BD
y
x
Hướng dẫn:

D

M
C

A

O

B

a. -Vì CA và CM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại C
·
nên OC là tia phân giác của COM
(1) và CM = CA
+ DM và DB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại D

A

B

O

Theo câu a phần ví dụ: ∆ COD vuông tại O, OM là đường cao nên OM 2 =
CM.MD
Theo câu b phần ví dụ: CM = CA, BD = MD
Do đó OM2 = CA.BD mà OM = R ( không đổi). Nên CA.BD không đổi.
Bài toán 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa
mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B),
kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng đường thẳng AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD.
Hướng dẫn :
y
x

D
N
M
C

A

O

B


B
⇒
Do đó : r.( a+b+c) = R.a
R.a = r.( a+b+c) hay =
Xét tam giác CDO ta có:
+) b + c > a ⇒ a+b+c > 2a ⇒ < = (1)
+) a > b, a > c ( vì tam giác CDO vuông tại O)
⇒ a+b+c < 3a hay > = (2)
Từ (1) và (2) suy ra: <

+ SAMB = MH.AB Mà MH ≤ R do đó SAMB ≤ R.2R = R2(2)
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi điểm M nằm chính giữa cung AB
+ SAMC + S BMD = SACBD - SAMB (3).Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Để SAMC + S BMD nhỏ nhất thì SACBD nhỏ nhất và SAMB lớn nhất.
Mà SACBD nhỏ nhất bằng 2R2 và SAMB lớn nhất bằng R2
Vậy SAMC + S BMD nhỏ nhất = R2
Nhận xét: Từ câu 1 đến câu 5 chúng ta mới chỉ thêm câu hỏi mà chưa thêm các
giao điểm và lật ngược lại vấn đề của bài toán. Nhưng nếu chúng ta đảo lại bài
toán ở ví dụ 2 hoặc thêm giao điểm thì sẽ được các câu hỏi mới khó hơn nhiều
giúp các em liên hệ được các hình vẽ với nhau, hiểu sâu bài toán, nắm bắt được
kiến thức một cách chủ động, đồng thời tạo hứng thú cho các em trong học tập.
Xuất phát từ ý tưởng này ta lại có một số bài tập thú vị hơn.
Bài toán 6 ( Bài toán đảo của ví dụ)
Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng
nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Trên tia Ax và tia Ay
lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC + BD = yCD. Chứng minh CD là tiếp
tuyến của đường tròn đường kính AB.
Huớng dẫn:
D
x
M

C

A

6
O

B

0
·
·
- Mà ACM + BDM = 180 ( vì tứ giác ABDC là hình thang vuông)
·
Nên ·AMC + BMD
= 900 ⇒ ·AMB = 900 ⇒M thuộc đường tròn đường kính

AB(1)
- Trên AB lấy điểm O sao cho OA = OB. Nối O với M ta có MO = OA = OB
·
·
·
hay
tam giác AOM cân tại O ⇒ OMA
+ ·AMC = OAM
+ CAM
= 900 ⇒ OM ⊥ CD (2)
- Từ (1) và (2) suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
y
Cách 2:
D

x
M

C

F
E

CO chung
CA = CM
·
= ·ACO
MCO
Do đó: ∆ACO = ∆MCO
·
·
Suy ra CMO
= CAO
= 900 hay CM ⊥ MO nên CD là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính AB .
Cách 3:
y

D

N

x
M

C

A

O

B



Bài toán 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa
mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B),
kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Gọi
N là trung điểm của CD. Tìm quỹ tích điểm N khi điểm M chạy trên nửa đường
z
tròn.
y
Hướng dẩn:
D

N

x

K
M

C

A

B

O

- Nối N với O cắt đường tròn tâm O tại K. Ta có NO là đường trung bình của
hình thang ACDB. Suy ra ON // CA // BD (1)
- Vì tia Ax, By và điểm O cố định nên tia Oz cố định

B

9


a. Ta có: AC = CM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OM = R
Do đó CO là đường trung trực của AM ⇒ AM ⊥ CO mà AM ⊥ NB ⇒ CO //
NB
- Xét ∆ANB có OA = OB = R và CO // NB ( CMT) nên CO là đường trung bình
của ∆ANB ⇒CA = NC.
·
b. Ta có AN // BD ( cùng vuông góc với AB) ⇒ ·ANB = NBD
( so le trong)
0
0
·
·
·
·
·
·
·
Mà ANB + NAM = 90 và NBD + ODB = 90 nên NAM = ODB
= ODM
⇒ tanMAN = tanODM hay = ⇒ = (1)
·
·
·
·
·


x
N

D
E
M
C
P

F

Q

a.Theo bài 8 thì P, Q là trung điểm
A của AM và MB
B
O
·
⇒
·
Nên PQ là đường trung bình của ∆AMB
PQ // AB Do đó: MQP
= MBA
·
·
·
·
mà MQP
= QPO

Xét tam giác CNE có CN = = ≥
= R
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB = CD hay M là điểm chính giữa cung CD.
Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD bằng R
Nhận xét: Ở bài toán thứ 9 giúp cho học sinh hình thành được tính chủ động,
sáng tạo và biết liên kết các bài toán trong giải toán vì đây là bài toán không dễ
nếu như không giải các bài toán trước. Khai thác tiếp các bài trên ta lại có bài
toán thứ 10 .
Bài toán10: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa
mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B),
kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Từ
M kẻ MH ⊥ AB. Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AM và
BM.
a. Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp được đường tròn
b. Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB. Chứng minh EF = 2OG
c. Chứng minh MH, CB, AD đồng quy
y

x

D
M
C

F
E

A



Do đó tứ giác AEFB nội tiếp được đường tròn.
b. Gọi giao điểm của EF và MH là Q.
Vì O là trung điểm của AB nên GO ⊥ AB.mà MH ⊥ AB nên GO // MH (1)
·
·
·
Mặt khác MEF
= BMO
( cùng bằng MBO
)
0 ⇒ ·
0
·
·
·
Mà BMO + OMA = 90
MEF + OMA = 90 do đó
·
= 900 hay OM ⊥ EF mà GQ ⊥ EF ( LE = LF) .Nên OM //QG (2)
MPE
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MOGL là hình bình hành.
⇒ OG = QM mà QM = EF nên OG = EF.
c. Gọi giao điểm của AD và MH là L
- Xét tam giác CDA có: ML // AC( vì cùng ⊥ AB) ⇒ = = (1)
11


- Xét tam giác ADB có LH // BD ( vì cùng ⊥ AB) ⇒ = (2)
- Từ (1) và (2) suy ra . = . = Mà = ( do ML // CA)

I

A

z

B'

O

Q

B

x

a. - Xét tam giác ATB có BM, AN và TQ là ba đường cao nên I nằm trên đường
thẳng (d).
- Gọi R’ là trung điểm của TI ⇒NR’là đường trung tuyến của tam giác ITN
⇒ R’N = R’T ⇒∆TR’N cân tại R’ ⇒ R
· ' TN = TNR
·
'
⇒
·
·
- ∆OAN cân tại O
NAO = ANO
·
·

Bài toán 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ cát AMT và BNT
với đường tròn tâm O sao cho tổng khoảng cách từ A,B đến đường thẳng MN
bằng R. Qua N và M kẻ các tiếp tuyến Nx và Mz với nửa đường tròn và cắt nhau
tại R. Gọi giao điểm của BM và AN là I.
a.Tính độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MINT theo R.
b.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác TAB theo R khi M,N di chuyển trên
nửa đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán.
Hướng dẫn:
T

R
N

B'

H
A'

M
I

A

K

O

B

a. Theo câu 11 thì T, R, I thẳng hàng nên đường kính của đường tròn ngoại tiếp

trên đoạn thẳng AB. Khi đó tam giác TAB là tam giác đều.
⇒ STAB lớn nhất = TK.AB = R.2R = R2 (đvdt).
Cuối cùng để chốt lại đề tài tôi cho học sinh thử sức bài toán 13 là đề thi
HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015.
Bài toán 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định
thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông
góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác
B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng
CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I,
B thẳng hàng.
3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Hướng dẫn:
E

M

D
I
K

F
O
A

C

B


·
·
·
·
⇒ ∆EMF cân tại E.
Từ (1) và (2) suy ra: DFM
hay EFM
= EMF
= EMF
2) vẽ đường kính DK của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF.
·
Ta có: DFK
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I))
⇒ KF / / AB (cùng vuông góc với DN)
·
·
(cặp góc đồng vị)
⇒ MFK
= MAB
·
·
Mà MFK
(cùng chắn cung MK của đường tròn (I))
= MDK
·
·
Nên ⇒ MDK = MAB (*)
·
·
Mặt khác: MDB

Sĩ số
32

Giỏi
SL
TL (%)
13
40,6

Khá
SL
TL (%)
17
53,1

TB
SL
TL (%)
2
6,3

Yếu, kém
SL
TL (%)
0
0

3. Kết luận, kiến nghị
Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học
sinh thói quen không chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích,

Trên đây là kinh nghiệm mà tôi rút ra được trong quá trình giảng dạy và
tôi đã có được phần thành công trong việc thay đổi phương pháp dạy và học tại
trường THCS Thị Trấn đặc biệt là trong bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi
chuyển cấp. Đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót rất mong nhận được sự
góp ý giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thường Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Người viết SKKN

Nguyễn Sỹ Điệp

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
123456-

Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9. Nhà xuất bản giáo dục.
Nâng cao và phát triển Toán 8,9 Tác giả: Vũ Hữu Bình
Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục
Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số. Nhà Xuất bản giáo dục
23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp. Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh
Các loại tài liệu khác.....

17