A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán
mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần như
mất phương hướng giải và có cảm giác “ngợp” . Song nó cũng rất đơn giản nếu
ta như ta có cách nhìn thích hợp - khai thác các vai trò của các “chữ “ có mặt
trong bài toán đó, lúc đó ta sẽ tìm ra được những lời giải hết sức thú vị và phong
phú, và ta mới hiểu được sự đang dạng của mỗi bài toán. Hoặc có thể chúng ta
chú ý đến những trường hợp đặc biệt của một vấn đề nào đó trong chương trình
học , nó cũng có thể giúp ta khai thác được cách giải hợp lý cũng như đó là
đường lối làm bài toán hết sức thú vị.
Chẳng hạn, giải và biện luận phương trình: -2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1= 0
(x là ẩn). Nếu ta xem x là ẩn thì phương trình trên là phương trình bậc 3 đầy đủ
, cách giải hết sức khó khăn với cấp học THCS. Song ta nhìn vào các chức có
tham gia vào phương trình và các chức này có vai trò như nhau thì vấn đề giải
hết sức đơn giản.(Phần này sẽ được trình bầy kĩ hơn ở phần sau).
Thực ra lời giải bài toán có phong phú hay không là do cách nhìn bài toán
của chúng ta, có những nhà toán học thường nói có cái nhìn, góc nhìn “chết
người” và cũng có cái nhìn “nẩy lữa”. Song cũng có những quan điểm khác
nhau, có nhiều khi ta phải xuất phát từ những trường hợp “ hẩm hưu, bất hạnh” ,
ví dụ như: tìm nghiệm duy nhất của một hệ phương trình nào đó thì giã sử có
nghiệm là (x,y,z) là duy nhất thì bộ nghiệm (-x,-y,-z) cũng là nghiệm, nên có
x=-x,y=-y,z=-z hay x=y=z=0.
Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến một cách giải hay , thì theo
bản thân tôi đều do bản thân có cách nhìn thích hợp, và quan niệm về các chữ có
mặt trong bài toán đều có vai trò như nhau. Đây là vấn đề hết sức chú ý cho học
sinh khi giải bài toán và theo tôi thiết nghĩ đó cũng có thể coi là một phương
pháp . Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS
Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo để
giải quyết những vướng mắc của học sinh, đồng thời tạo cho các em có một cách

phần làm cho xã hội ngày càng phát triển đáp ứng được nhu cầu công nghiệp
hóa, hiện đại hóa của thế giới.
III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:

Do điều kiện về thời gian nghiên cứu , cho nên đề tài này đề cập đến
đối tượng học sinh khá giỏi ở khối 9.
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm .

-------------------------------------------------------------------------------------- 2
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


A- NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong quá trình học tập về giải và biện luận phương trình bậc nhát một
ẩn ở môn đại số lớp 8 (Hoặc giải và biện luận hệ phương trình ở đại số 9 ).
Chúng ta có thể tóm tắt cách giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
như sau:
Ta cho phương trình ax=b (1)
- Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x=

b
a

- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (1) trở thành 0x = 0 và có vô số



KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Khối lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

Trung
bình

Khá

Yếu

TS

%

TS

%

TS

%

TS


6

20

13

45

10

34

III/ NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ ĐỂ MINH HOẠ:

Bài toán 1: Tìm tất cả giá trị của a và b để hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
 xyz + z = a
 2
 xyz + z = b
x2 + y 2 + z 2 = 4


Nếu như trong việc giải và biện luận hệ phương trình thì ta có thể sử dụng
tính chẳn lẻ của hàm số. Cụ thể trong bài này, không ít học sinh lúng túng và
không tìm ra hướng giải quyết. Song đây không phải là bài toán giả và biện
luận hệ bình thường mà để giải bài toán này ta phải suy luận chặt chẽ, và sử
dụng ngay tính chẳn lẽ của hàm số. Trước hết ta cần tìm a , b để hệ có
nghiệm day nhất
a, Điều kiện cần: Nếu (x0,y0,z0) là nghiệm của hệ thì (-x0,-y0,-z0) cũng là

 xy = 1

Nếu z=1 ta có 

2
2
x + y = 3

⇔ a=b=2 không có nghiệm duy nhất.

- Nếu a=b=-2 ta có hệ:
 xyz + z = −2
 2
 xyz + z = −2
x2 + y 2 + z 2 = 4


hệ có nghiệm (0,0,-2)

Vậy lập luận tương tự ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất (0,0,-2) khi a=b=-2
Bài toán 2:
Giải phương trình:
-2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1 = 0 (1)
Nếu ta xem x là ẩn thì đây là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải rất khó
khăn đối với bậc học. Vậy ta nhìn vào vai trò của các chữ x, m trong phương
trình và quan niệm nó có vai trò như nhau , khi đó gọi m là ẩn ta có :
m2- 2(x2- x) m -2x3-1 = 0 (2) giải phương trình nay ta có:
∆ = (x2-1)2 khi đó m1,2= x2-x ± (x2-1)
. Nếu m = 1-x ⇔ x = 1 − m
. Nếu m = 2 x 2 − x − 1 ⇔ 2 x 2 − x − 1 − m = 0 ⇔ ∆ = 9 + 8m

. Nếu m


Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình:
( x 2 − a ) 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 (1)
Ta triển khai như sau: x 4 − 2ax 2 + a 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 dây không phải là
phương trình trùng phương , mà phương bậc 4, quả là cách giải hết sức
khó khăn. Tương tự bài toán trên ta quan niệm ẩn của phương trình là a và
-------------------------------------------------------------------------------------- 5
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


x là tham số tham gia và phương trình như vậy ta viết phương trình (1)
dưới dạng sau: a 2 − 2( x 2 − 1)a + x 4 − 6 x 2 + 4 x = 0 (2)
2
∆' = (2 x − 1) 2 ⇔ a1, 2 = x − 1 ± ( 2 x − 1) và đưa đến giải hai phương trình
bậc hai: x 2 + 2 x − a − 2 = 0 (3) và x 2 − 2 x − a = 0 (4)
Điều kiện để (3) có nghiệm là 3 + a ≥ 0 ⇔ x1, 2 = −1 ± 3 + a
Điều kiện để (4) có nghiệm là 1 + a ≥ 0 ⇔ x3, 4 = 1 ± 1 + a
Kết quả: Nếu a
5 − y 0 − x 0 = 0
− y 0 − x 0 = −5
 y0 = 2

thị luôn đi qua là M(3,2).
Với cách làm trên thì ta xây dựng được phương pháp tìm điểm cố định
mà đồ thị hàm số đi qua.
Cũng như việc quan niệm trên về các chữ có mặt trong phương trình ,
ta làm bài toán sau:
Bài toán 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = 4 x 4 − x 2 y 2 + 2 x 2 y − x 2 + 2 xy − 2 x − 1

-------------------------------------------------------------------------------------- 6
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Nếu ta để như thế này rất khó hình dung được, vì các số hạng không có
như tử chung. Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem như bậc 2 đối với
biến y nên ta nghỉ ngay đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vào
hằng đẳng thức. Thật vậy:
P = − x 2 y 2 + 2 x 2 y + 2 xy − ( x 2 + 2 x + 1) + 4 x 4 = − x 2 y 2 + 2 x( x + 1) y − ( x + 1) 2 + 4 x 4

Nhận thấy khi đó ba hạng tử đầu là hằng đẳng thức , vậy ta có thể làm
như
sau: P = −[( x 2 y 2 − 2 x( x + 1) y + ( x + 1) 2 ] + 4 x 4 = −( xy − x − 1) 2 + 4 x 4 Ta lại tiếp tục
dùng hằng đẳng: P = 4 x 4 − ( xy − x − 1) 2 = (2 x 2 − xy + x + 1)(2 x 2 + xy − x − 1)
Đến đây ta xem như phân tích đã xong, những còn vấn đề hai nhân tử
đó khi phân tích thì như thế nào ? Song việc hai tam thức bậc hai trên có
phải là bất khả qui trên trường số R hay chứa ? Việc đó trong đề tài này ta

).
mà parabol đi qua là ( ,
2 4

Bài toán 8: Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
 y 2 = x 3 − 4 x 2 + ax
 2
 x = y 3 − 4 y 2 + ay

Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình, khi đó (y,x) cũng là nghiệm
của hệ phương trình đó. Do vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y. Từ đó
say ra
-------------------------------------------------------------------------------------- 7
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


x 3 − 5 x 2 + ax = 0 ⇔ x( x 2 − 5 x + a) = 0 nên ta có x=0, hoặc x2-5x+a = 0 .

Nếu x=0 thì x=y=o. Muốn cho hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình
x2-5x+a = 0 (*) hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm bằng 0.
Ta có ∆ = 25 − 4a <0 ⇔ a >

25
phương trình (*) vô nghiệm
4

Với x=0 thì a=0 thì phương trình (*) có dạng x 2-5x=0 có nghiệm x=0;
x=5. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a>


+
y
=
(
x
+
y
)
−
2
xy
=
1
⇔
xy
=

. Khi đó x,y là
2
S = x + y

nghiệm của phương trình: X 2 − SX +

S 2 −1
= 0 có nghiệm.
2

hay
∆ ≥ 0 ⇔ ∆ = S 2 − 2( S 2 − 1) ≥ 0 ⇔ −S 2 + 2 ≥ 0 ⇔ S 2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ S ≤ 2



-3
V« mghiÖm

Ph¬ng tr×nh (**) V« nghiÖm
2 nghiÖm

-1
2 nghiÖm
V« nghiÖm

Như
vậy
với một
Ph¬ng tr×nh (9)
V« nghiÖm
2 nghiÖm
số vía
dụ ta giải
4 nghiÖm
được
phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái
của phương trình dễ dần tới việc giải các phương trình tích và phương trình quen
thuộc.
Bài toán 12: Cho phương trình
x 4 − 10 x 3 − 2(a − 11) x 2 + 2(5a + 6) x + 2a + a 2 = 0 (10)
a. Giải phương trình khi a = 2
b. Giải và biện luận theo tham số a
Đây là phương trình bậc 2 đối với x và có tham số a tham dự vào phương
trình.

Suy ra phương trình (10’) phân tích được thành:
 x 2 − 6 x − a = 0 (*)
(a − x + 6 x)(a − x + 4 x + 2) = 0 ⇔  2
Khi này ta giải và
 x − 4 x − a − 2 = 0 (**)
2

2

biện luận các phương trình (*)và v (**) theo tham số a.t
a

-9

Ph¬ng tr×nh (*)
2 nghiÖm

V« mghiÖm

-6
2 nghiÖm

Ph¬ng tr×nh (**) V« nghiÖm
2 nghiÖm
4
3
2

V« nghiÖm



-------------------------------------------------------------------------------------10
Ph­¬ng­tr×nh­(**)Ph­¬ng­
2
2
------tr×nh­(*)V«­nghiÖmV«­
at + bt + c = 0
at + bt + c = 0
Hướng
dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
nghiÖm2­nghiÖm­©mV«­
thông nghiÖmNghiÖm­kÐp­
qua cách nhìn sáng tạo
©mV«­nghiÖm­­­­­­1­
nghiÖm­d­¬ng2­nghiÖm2­
nghiÖm­d­¬ng4­nghiÖm
2­cÆp­nghiÖm­®èi­nhau

§Æt

§Æt


Bài toán 13: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm
1999 x 4 + 1998 x 3 + 2000 x 2 + 1997 x + 1999 = 0 (11)
(Thi Học sinh giỏi quận i TPHCM 1998T-1999 )
Để chứng minh phương trình này vô nghiệm ta làm như thế nào? nên xuất
phát từ đâu? đâu có như các dạng phương trình đã được học.......Nhưng nếu ta
chọn một khoảng nào đó mà xét thì thấy nó cũng đâu là hướng đi thích hợp
chăng! Thật vậy ta có:


-------------------------------------------------------------------------------------- 11
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Do t2 > 0 với mọi a, b do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân
a = b + 1
.
b = a + 1

2
biệt, thì t2 = 0 ⇔ (a − a) − 1 = 0 ⇔ (a − b − 1)(a − b + 1) = 0 ⇔ 

Ngoài ra còn một số cách nưa như giải phương trình bằng phương pháp
đồ thị thì ta chuyển phương trình: x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (I) bằng cách ta đặt
x 2 = y − mx khi đó ta được hệ phương trình:
a

4
 y = x + 2 x (*)

3
2
 x 2 + y 2 + ( a + a − ab + c) x + (b − a − 1) y + d

2 8
2
4


------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


A2 + B2 = u2y2+v2x2+2xyuv + v2y2+u2x2 - 2xyuv = y2(u2+v2) +x2(u2+v2)
= y2+x2
Vậy ta phải chứng minh : - 2 A2 + B 2 ≤ A +B ≤ 2 A2 + B 2
⇔ (A + B)2 ≤ (A2+B2)2
⇔ (A.1 + B.1)2≤ (A2+B2)(12+12)
Lại dạng Bunhiacôpxki ! Ta chứng minh xong. Như vậy cho tới đây ta đã có
cách giải hai.
Nhưng từ đầu đến giờ , ta chưa để ý đến một vấn đề rất dể nhận thấy . Các số
u,v rồi lậi v,u....x,y rồi lại y,x . Nhìn kỹ các giả thiết ta thấy u,v có vai trò như
nhau , và x,y cũng không khác nhau về " địa vị" trong giả thiết . Tức là trong
phần kết luận ta có thể thay x cho y và ngược lại ; u cho v và ngược lại , thậm
chí thay cặp x,y cho cặp u,v cũng được . Từ cách nhìn ấy ta lại có nhiều cách
giải khác :
+ Cách giải thứ 3: Ta dùng phản chứng
Giả sử: u(y-x) + v(x+y) > 2 (1)
Thế thì do vai trò x,y như nhau ta có :
u(x-y) + v(x+y) > 2 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
2v(x+y) ≥ 2 2 hay vx + vy > 2 (3)
Nhưng theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki
(vx + vy)2 ≤ ( v2+v2)(x2+y2) = 2v2 ≤ 2 ( vì -1≤ v
Nhưng ta có :
(uy+vx)2 ≤ (u2+v2)(y2+x2)
- 2 ≤ uy + vx 2
(***)
Vậy (3'') mâu thuẩn với (***) . Suy ra P ≤ 2 .
Tương tự : P ≥ - 2 .
Vậy 2 ≥ P ≥ - 2 (đpcm)
Bài toán 17:
Từ bài toán tính tổng : S =
=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
10.11 11 .12 12.13
19.20
1 
1 1
1 1
1
 −  +  −  + ... +  − 
 11 12 
 19 20 
 10 11 



2

x

1

Bài toán 18: Tìm x,y,z biết y = ; = ; và x3 +y3 +z3 = 99
3 z 2
Với một số bài toán giải phương trình có dạng đặc biệt thì từ các tính chất quen
thuộc của tỷ lệ thức ta có thể có một cách giải đơn giản và độc đáo , cụ thể:
x

2

x

y

x

z

x

z

x

y


-------------------------------------------------------------------------------------- 14
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


C. KẾT LUẬN
Trong học toán, cách giải bài tập là con đường đi từ những điều đã biết,
kết hợp các dữ kiện, các mối quan hệ giữa chúng để đạt được chân lý, hay tìm ra
đáp số đúng.
Việc phát hiện ý đồ của bài toán (cúng là ý đồ của người ra đề toán c) là
quan trọng. Quyết định lời giải đúng, ngắn nhất, logic chặt chẽ nhất,
Nếu chưa thể phát hiện được dấu hiệu bản chất vấn đề hãy tổng hợp các
dữ liệu, xây dựng mối liên hệ giữa chúng để được một kết quả ban đầu, từ đó
phát hiện ra hướng giải bài toán.
Trong hướng đi này, phải khai thác triệt để giả thiết mà đề bài đã cho, vì
nó là dấu hiệu giúp người giải toán nắm bắt ý định của người ra đề.
Hãy tôn trọng ý kiến của học sinh trong cách giải bài toán cho dù chưa sắc
sảo lắm, kể cả ý kiến có tính chất rời rạc để xây dựng lòng tin, sự quyết đoán
của học sinh .
Hãy giúp đỡ, góp ý cho dù các em lúc đầu gặp khó khăn khi suy luận toán
học. Có nhiều bài toán hay mang màu sắc thực tế gần gủi với đời sống, sản xuất
để kích thích lòng ham mê học toán của các em, làm cho các em thấy được vẻ
đẹp của toán học. Có như vậy người dạy toán mới hoàn thành nhiệm vụ.
-------------------------------------------------------------------------------------- 15
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Như vậy để giải được phường trình bậc bốn, chúng ta có thể sử dụng

x 6 + (c 2 − b 2 ) x 2 − bc 2 = 0

V/ MỘT SỐ NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ:

Ta nhìn lại 10 bài toán trên, ta đã đưa ra được việc Hướng dẫn học sinh tìm
tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn” và qua đó rút ra một số điều
quan trọng và có ý nghĩa là:
Điều thứ nhất: trước hết khi làm một bài toán thì ta cần xem xét thật kĩ càng
và tìm ra được mối liên hệ giữa các chữ có trong bài toán.
Thứ hai là: phải chứng tỏ mình bằng những cách nhìn , góc độ nhìn khác nhau
trước các bài toán.
Thứ ba là: cần chú ý những trường hợp đặc biệt nhất và những điều mà mọi
người ít quan tâm.
-------------------------------------------------------------------------------------- 16
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Qua việc nghiên cứu ở trên khi giả bài toán tìm điểm cố định mà đồ thị hàm
số đi qua cần chú ý rằng việc tìm được hay không là do ta có đưa về dạng
mA(x,y)+B(x,y)=0 hay không ? Ngoài ra nếu đưa được thì hệ phương trình sau
 A( x, y ) = 0
 B ( x, y ) = 0

có nghiệm hay không? 

- Nếu hệ phương trình vô nghiệm: thì không tìm được điểm cố định ấy,
nghĩa là đồ thị hàm số không đi qua điểm cố định nào
- Nếu hẹ phương trình vô số nghiệm: thì chúng ta lại càng không tìm được
, như vậy việc tìm được điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua phụ thuộc vào

-------------------------------------------------------------------------------------- 17
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


vào các hoạt động tư duy sáng tạo thông qua việc giải các bài toán . Mặt khác
phải hướng học sinh vào hoạt động tự học ( độc lập nghiên cứu ) vì chỉ có tự học
mới là biện pháp tốt nhất để phát huy tư duy độc lập dẫn đến tư duy phê phán ,
năng lực phát hiện vấn đề mới rồi dến tư duy sáng tạo .
Qua 18 bài toán ở trên với sự khai thác ở từng khía cạnh khác nhau , dự
đoán kết quả , tìm tòi mò mẫm để tìm ra điểm xuất phát khi giải bài tập, đồng
thời rèn luyện cho các em có thói quen khai thác các điều kiện của bài toán và sử
dụng tốt ddặc biệt hoá ,( tổng quát hoá ) ; tương tự hoá để giải các bài toán cũng
như tự đặt dược những bài toán mới và đặt những vấn đề mơí, hay bài toán phụ .
Với thời gia có hạn , tôi chỉ hy vọng rằng qua một số ví dụ , những khía
cạnh khi cùng học sinh giải bài tập , một phần nào đó để rèn luyện cho các
em biết tư duy sáng tạo và độc lập nghiên cứu trong quá trình học tập
* KẾT QUẢ KHẢO SÁT HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRƯỚC THỰC
HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Khối lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

Trung
bình


23

12

40

9

30

9B

29

1

1

6

20

13

45

10

34



%

9A

30

6

20

10

33

10

33

4

14

9B

29

4

12

68%

89%

-------------------------------------------------------------------------------------- 19
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHI
Trên đây chỉ mới là một số bài toán minh hoạ ở một số dạng thường gặp khi
vẽ hình phụ, tuy chưa được đầy đủ và phong phú nhưng đó là những ví dụ tiêu
biểu thể hiện cách dẫn dắt hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải từ những cách nhìn,
góc nhìn sang tạo.
Với kinh nghiệm trong quá trình dạy toán nói chung, dạy môn hình học nói
riêng, hướng cho học sinh tới việc tự tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo, tư duy lôgíc
tìm ra hướng đi đúng đắn trong việc chứng minh một bài hình. Từ đó học sinh có
thể tự mình giải quyết được nhiều bài toán khó. Gây cho học sinh sự ham mê
thích thú với môn hình học đầy tính sáng tạo và không ít khó khăn phức tạp.
Không sợ sệt nản chí trước những bài hình hay và khó mà sẵn sàng vượt lên
chinh phục nó một cách nhẹ nhàng.
Tôi chỉ có tham vọng cho đề tài này để nói lên được hết những trường hợp “
hẩm hưu” và “ bất hạnh” trong chương trình dạy toán . Chỉ hy vọng rằng đây là
một số vấn đề mà tôi đã khai thác ở những khía cạnh đó và những trường họp đó.
Vì điều kiện thời gian nên tôi chưa xét đến những điều “hẩm hưu” và “ bất hạnh”
cũng như những trường hợp đặc biệt mà ít người quan tâm trong bộ môn hình
học ở cấp Tung học cơ sở - Hẹn dịp khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI

Thanh Hoá, ngày 25 tháng 3 năm 2016