MỤC LỤC
MỤC LỤC……………………………………….…………………………..…………………….……….. 1
1. MỞ ĐẦU……………………………………….……………………………………….……………….. 2
1.1. Lý do chọn đề tài ……………………………………….……………………………….……….. 2
1.2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………….…………………...…….……….. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ………...…………………………….…………………...…….……….. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………….…………………...…...….. 2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……………………..……….……..…….. 3
2.1. Cơ sở lý luận ……………………….…………………………...…………..………...…………… 3
2.2.Thực trạng vấn đề ………………….....………….………………………..…………..…….…… 3
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện ……………………….…….………………..……..…….. 4
2.3.1. Nội dung …………………………………………………………….……………..…………...…. 4
2.3.2. Một số kiến thức về bất đẳng thức……………………………………….…..……….. 4
2.3.3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ………………...…………... 5
2.3.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ……………………………...……...….…..… 14
2.4. Hiệu quả của SKKN ……………………….…….……………………..………..……..…….. 17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ………………………………….….……………………….. 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………..………..…………..…………………… 19

1


1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán học trung học cơ sở (THCS), bất đẳng thức đóng một
vai trò quan trọng. Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số, giữa hai đại lượng là
một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trò của bất đẳng thức. Trong
chương trình toán học THCS, bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản,
xuyên suốt toàn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh đã làm
quen với bất đẳng thức một cách không tường minh. Học lên THCS học sinh được
học thêm các kiến thức về bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh chúng.

cho học sinh lớp 9 Trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết,
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương
pháp thống kê xử lí tài liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên có vai trò rất quan trọng trong các
lĩnh vực khoa học. Toán học có rất nhiều hướng nghiên cứu và đa dạng; trong
chương trình toán học phổ thông có nhiều nội dung khó, trong số đó các bài toán
về bất đẳng thức luôn là thách thức lớn đối với học sinh. Để giải được các bài
toán về bất đẳng thức, ngoài việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản
của bất đẳng thức, còn phải nắm chắc được các phương pháp chứng minh bất
đẳng thức.
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng nên cần phải căn cứ vào
đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán
chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác
nhau, có nhiều bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài
toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; các dạng
toán cực trị trong đại số và hình học. Ngoài ra, đây cũng là nội dung quan trọng
khi ôn tập, ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông cũng như luyện thi học sinh
giỏi lớp 8, 9.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN:
a. Thuận lợi
- Hiện nay đời sống kinh tế được nâng cao rõ rệt, phần lớn các bậc phụ
huynh đều quan tâm đến việc học hành của con em mình. Đa số các bậc phụ
huynh nhận thức được tầm quan trọng của việc học môn Toán.
- Được sự quan tâm của các cấp uỷ Đảng và chính quyền địa phương, đặc
biệt là Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy và học toán trong nhà
trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao. Giáo viên được trang bị đầy đủ phương

a. Một số định nghĩa:
Định nghĩa 1:
- Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b, nếu a - b là một số
dương tức là a - b >0. Khi đó ta cũng ký hiệu b<a. Ta có a>b ⇔ a-b>0.
- Nếu a>b hoặc a=b Ta viết a ≥ b ta có a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0
Định nghĩa 2:
Các mệnh đề “a>b”, “ a ≥ b ”,” a < b ”,” a ≤ b ” được gọi là các bất đẳng
thức.
- Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc a ≥ b , a < b , a ≤ b ) a gọi là vế trái, b gọi
là vế phải của bất đẳng thức.
4


- Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “ad”. Nếu ta có “a>b” ⇒ “c>d” ta nói
bất đẳng thức “c>d”là hệ quả của bất đẳng thức “a>b”,
Nếu “a>b ⇔ c > d " Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” và “c>d” là hai bất
đẳng thức tương đương.
b. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Với ∀a, b, c, d ∈ R
Tính chất 1: a>b và b>c ⇒ a>c
Tính chất 2: a>b ⇔ a+c>b+c. Hệ quả a>b+c ⇔ a − c > b
a > b
⇒a+c >b+d
Tính chất 3: 
c > d
Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều
ac > bc khi c > 0

Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là: Nếu chứng minh mệnh đề
A>B ta đưa về chứng minh mệnh đề A - B>0. Ta cần chứng minh đó là một
mệnh đề đúng.
Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương là biến đổi
bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà đã biết
đúng hoặc đã được chứng minh là đúng, hoặc biến đổi những bất đẳng thức
đúng đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 1: ∀a, b, c ∈ R , chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
Giải : Xét hiệu:
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca =

(

1 2
a + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
2

[

)

]

=

1 2
(a − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2bc + c 2 ) + (c 2 − 2ca + a 2 )
2

=


)

2

⇔ ac + bc − 2c 2 + 2 c 2 (a − c)(b − c) ≤ ab
⇔ c 2 − 2 c 2 ( a − c)(b − c) + ab − abc + c 2 ≥ 0
⇔ c 2 − 2 c 2 ( a − c)(b − c) + (a − c)(b − c) ≥ 0
⇔
Vì

(

)

2

(

)

2

c 2 − (a − c)(b − c) ≥ 0 ⇔ c − (a − c)(b − c) ≥ 0

a≥c≥0

⇒ a−c≥0

b≥c≥0

≥
(1 + a)(1 + b) 1 + ab

⇔ (2 + a + b)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a )(1 + b)
⇔ 2 + 2 ab + ( a + b) + ab (a + b) ≥ 2 + 2(a + b) + 2ab
⇔ (a + b) − ab(a + b) + 2ab − 2 ab ≤ 0
⇔ (a + b)(1 − ab) − 2 ab (1 − ab ) ≤ 0
⇔ (a + b − 2 ab )(1 − ab ) ≤ 0
⇔ ( a − b ) 2 (1 − ab ) ≤ 0

( 4’)

Vì a,b ≥ 1 ⇔ ab ≥ 1 ⇔ 1 − ab ≤ 0 và
Suy ra:

(

)

a − b ≥ 0 ⇒ ( 4’) lu«n đúng.
2

1
1
2
+
≥
∀ a,b,c ≥ 1
1 + a 1 + b 1 + ab


2
+
 1 + ab 1 + 3 c 3 abc 
1 + a 1 + b 1 + c 1 + 3 abc


≥

⇔

1
1
1
3
+
+
≥
1 + a 1 + b 1 + c 1 + 3 abc

4
1+

abc.3 abc

=

4
1 + 3 abc

∀ a,b,c ≥ 1

Bài tập tương tự:
1. Cho năm số a, b, c, d, e bất kỳ; chứng minh rằng:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
Hãy mở rộng với số mũ của a, b, c ,d, e là 4; 8; 16.
1 1
2. Cho a, b>0. Chứng minh rằng: ( a + b )  +  ≥ 4
a b
Hãy tổng quát bài toán với n số dương.
b. Phương pháp chứng minh phản chứng:
Phương pháp chứng minh phản chứng là phương pháp mà: Để chứng
minh bất đẳng thức A>B, ta giả sử A ≤ B và suy ra điều vô lý; từ đó ta có A>B
Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, là điều không đúng hoặc có thể
điều vô lý là do chỉ ra hai điều trái ngược, mâu thuẫn với nhau.
Sau đây là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp
phản chứng
Bài toán 4. Cho các số a1 , a2 , b1 , b2 thỏa mãn hệ thức: a1 + a 2 = 2b1b2 . Chứng minh
2

2

rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng: b1 ≥ a1 ; b2 ≥ a2
2

2

Giải: Giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai, tức là: b1 < a1 và b2 < a2
⇒ b12 + b22 < a1 + a2
2
Vì a1 + a 2 = 2b1b2 nên b12 + b22 < 2b1b2 ⇔ b12 − 2b1b2 + b22 < 0 ⇔ ( b1 − b2 ) < 0


Bài toán 5: Cho a; b; c∈ (0,1) , chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng
thức sau đây là sai: a (1 − b) >

1
1
1
; b(1 − c) > ; c(1 − a ) >
4
4
4

Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều đúng tức là:
a (1 − b) >
⇒ a ( 1 − b ) b ( 1 − c ) c (1 − a ) >

1
64

⇒ a ( 1 − a ) b (1 − b ) c (1 − c ) >

1
64

Mà ta có:

1
1
1
; b(1 − c) > ; c(1 − a ) >
4

Cho a; b; c∈ (0,2) hãy chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau
đây là sai: a(1 − b) > 1 ; b(1 − c) > 1 ; c(1 − a) > 1
Có thể mở rộng bài toán trên để được bài toán mới cũng chứng minh tương tự :

9


a; b; c∈ (0,α ) ( α > 0) . Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau

α2
α2
α2
đây là sai: a(α − b) >
; b(α − c) >
; c(α − a ) >
4
4
4
Ngoài ra ta còn có thể mở rộng thành bài toán sau:

(i = 1, n,n ≥ 2),α > 0

Cho ai ∈ ( 0,α )

có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

α2
α2
α2
; a2 (α − a3 ) >

3
2. Cho a,b,c >0 và abc =1. Chứng minh: a+b+c ≥ 3 .
Hãy tổng quát bài toán bài toán trên.
c. Phương pháp làm trội, làm giảm.
c(1-a) không vượt quá

10


Phương pháp làm trội, làm giảm ( Hay còn gọi là phương pháp ước lượng
hoặc đánh giá phần tử đại diện) là phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng
thức để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tính được tổng hữu hạn.
• Phương pháp tính tổng hữu hạn: Giả sử tính tổng: S n = U1 + ..... + U n .
Ta biểu diễn số hạng tổng quát U k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau
U k = aK − aK +1 Khi đó: S = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + ..... + (an − an+1 ) = a1 − an+1
* Phương pháp làm giảm, làm trội: là phương pháp để chứng minh:
m < X 1 + X 2 + ..... + X n < M
Ta sử dụng các bất đẳng thức phụ: Ai ≤ X i ≤ Bi ( i = 1, n ) mà m < A1 + ... + An và
B1 + ... + Bn < M sau ra m < X 1 + X 2 + ..... + X n < M .Sau đây là một số bài toán:
Bài toán 7: Cho a>0; b>0; c>0; d>0. Chứng minh rằng:
a. 1

c







∑∑ l 2 n 2 < 4
l =1 n=1

d. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy)
Cho a1 , a2 ,..., an là các số không âm. Ta luôn có:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ....an .
n

Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = .... = an
Vận dụng bất đẳng thức Côsi chúng ta có thể làm các bài toán sau:
1 1
Bài toán 9: Chứng minh: a. Với mọi a, b>0 ta có: (a + b) +  ≥ 4
a b
1 1 1
b. Với mọi a, b>0 ta có: (a + b + c) + +  ≥ 9
a b c
12


Giải: a. ∀a, b > 0 , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a + b ≥ 2 ab và

1
1 1
1
1 1
⇒ (a + b) +  ≥ 2 a.b .2

1
∀ai > 0 ( i = 1, n ) thì:( a1 + a2 + ... + an ) + + ...... +  ≥ n 2
an 
 a1 a2
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = .... = an
Từ câu a, suy ra:

1
11 1
1 1
4
≤  + 
+ ≥
và
a+b 4a b
a b a+b

Đó là các hệ quả của bất đẳng thức Côsi được sử dụng nhiều khi chứng minh các
bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10.
Bài toán 10: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
a.

a
b
c
3
+
+
≥ (BĐT Nesbit cho 3 số)
b+c c+a a+b 2

b+c  c+a  a+b  2
a+b+c a+b+c a+b+c 3
1
1 
 1
+
+
≥ ⇔ 2(a + b + c)
+
+
≥9
b+c
c+a
a+b
2
b
+
c
c
+
a
a
+
b


Đúng theo bài 14
Vậy ta có

a

 c+a
 a+b

 a
  b
  c

+ 1 + b
+ 1 + c
+ 1
= a
b+c  c+a  a+b 
b
c  3
 a
+
+
= ( a + b + c)
 ≥ (a + b + c) ( Theo câu a)
b+c c+a a+b 2
a2
b2
c2
a+b+c
Vậy:
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

a3
b3
c3
a2 + b2 + c2
b.
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
Giải: a. Áp dụng bất đẳng thức
b + c , c + a, a + b và

Bunnhiacôpxki

cho

2

bộ

số

a2
b2
c2
,
,
ta có:
b+c c+a a+b

b. Áp dụng bất đẳng thức
⇔

a (b + c) , b(c + a), c( a + b ) và

∀ a, b,c>0
Bunnhiacôpxki

cho

2

bộ

số:

a3
b3
c3
,
,
ta có:
b+c c+a a+b

14


 a3
2
b3

≥
≥
b + c c + a a + b 2(a 2 + b 2 + c 2 )
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
2.3.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Xét các số x, y , z thỏa mãn x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 + z 2 ; B = x 4 + y 4 + z 4 ; C = x 3 + y 3 + z 3 ;
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki ta có:
1 = x + y + z ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3. A nên A ≥
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
Vậy minA =

1
3

1
3

1
1
khi x = y = z =
3
3

Tiếp tục ta có: 12 ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ 3 3( x 4 + y 4 + z 4 ) = 3 3B
⇒B≥

1

9

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =

1
3
15


Vậy minC =

1
1
khi x = y = z =
9
3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Giải: Tập xác định
y=

x2 + 3
y= 2
x −x+2

D=R

x2 + 3
⇔ ( y − 1) x 2 − yx + 2 y − 3 = 0(*)
2

Tức là phương trình:

x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z − 5 có nghiệm

duy nhất x = 3, y = 7, z = 14
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

x3 y = 9

3 x + y = 6
16


 x0 3 y0 = 9

Giải: Giả thiết x0 , y0 là nghiệm của hệ phương trình thì 
3 x0 + y 0 = 6

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ⇒ x0 > 0; y0 > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
⇒

x0 + x0 + x0 + y0 4 3
≥ x0 y0
4

3

x
−
3
)

Vậy nghiệm của bất phương trình x=5
2.4. Hiệu quả của SKKN:
Qua thực tế hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức của
đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập, dạy
trong giờ tự chọn nên nội dung này đối với học sinh còn phức khó hình dung,
tổng quát hóa. Vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp
ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh thông qua các bài kiểm tra ngắn từ
10 đến 15 phúà ...
Sau khi hướng dẫn các nội dung của đề tài, tôi đã chỉ cho học sinh những
kiến thức cần thiết, đồng thời tích cực rèn luyện những kỹ năng làm bài tập phần
chứng minh bất đẳng thức cho học sinh. Tôi cố gắng đưa nội dung vào giờ dạy
cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà
kết quả không mong muốn. Sau khi áp dụng các kết quả trên vào giảng dạy, tôi
đã tiến hành khảo sát và tập hợp kết quả của các em trước và sau khi áp dụng đề
tài SKKN này như sau.
• Kết quả khảo sát trước khi áp dụng SKKN:
17


Số lượng HS

Điểm giỏi

Điểm khá



Điểm kém

30

5 (16,7%)

8 (26,6%)

12 (40 %)

5 (16,7%)

0

Nhìn vào bảng trên ta có thể thấy học sinh đã có tiến bộ rõ rệt, xác định
được phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nhiều em học sinh đã làm được
các bài tập về bất đẳng thức và có hứng thú hơn khi học toán. Qua đó tạo cho
học sinh sự chủ động, tự tin, say mê, yêu thích môn học.
Các bài tập về bất đẳng thức là tương đối khó đối với học sinh, nhưng khi
hướng dẫn cho học sinh các phương pháp trong đề tài tôi nhận thấy các em
không còn e ngại khi làm bất đẳng thức; một số em tỏ ra hứng thú tìm tỏi và mở
rộng, phát triển các bất đẳng thức đã biết. Qua đó phần đa học sinh đã tự tin, chủ
động hơn khi chiếm lĩnh kiến thức toán học.

18


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Toán lớp 6, 7, 8, 9
Tác giả :
Phan Đức Chính (tổng chủ biên)
Tôn Thân (chủ biên)
Vũ Hữu Bình - Trần Phương Dung - Ngô Hữu Dũng
Lê Văn Hồng - Nguyễn Hữu Thảo.
[2]. Sách giáo viên Toán 6, 7, 8, 9
Tác giả :
Phan Đức Chính (tổng chủ biên)
Tôn Thân (chủ biên)
[3]. Sách bài tập Toán lớp 6, 7, 8, 9
Tác giả :
Tôn Thân (chủ biên)
Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Trần Kiều
[4]. Dạy - học toán THCS theo hướng đổi mới
[5]. Tài liệu bồi dưỡng thương xuyên cho giáo viên trung học cơ sở chu kỳ
III(2004 - 2007) môn Toán.
[6]. Tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọn ở trường THCS.
[7]. Luật giáo dục năm 2005

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN
XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.

Họ và tên: Lê Thị Hồng


2015-2016

PGD&ĐT

A

2016-2017

21