SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG SBT TOÁN 8
A. ĐẶT VẪN ĐỀ
Trong chương trình toán lớp 8, học sinh được học về bất đẳng thức. Nhưng
mức độ kiến thức còn đơn giản: Đó là học sinh nắm được định nghĩa và nhận
biết được bất đẳng thức. Các bài tập về bất đẳng thức chủ yếu vận dụng hai tính
chất của bất đẳng thức là : Tính chất của thứ tự với phép cộng - Tính chất của
thứ tự với phép nhân. Mức độ yêu cầu của bài tập đơn giản, chưa có nhiều bài
tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh
Trong sách bài tập toán 8 có một số bài tập chứng minh bất đẳng thức, có
mức độ tương đối khó với đối tượng học sinh trung bình. Còn với học sinh khá,
giỏi thì kích thích được sự hứng khởi của các em khi làm toán. Tuy nhiên với
số lượng bài tập còn ít thì chưa tạo thành hệ thống nên chưa kích thích được sự
sáng tạo cho các em đồng thời phát huy được tư duy của các em. Mà việc
chứng minh bất đẳng thức được ứng dụng nhiều trong dạng toán cực trị mà các
em sẽ gặp trong các kì thi chuyển cấp.Khi chữa bài tập cho học sinh để phát
huy tư duy của học sinh được tốt hơn, tôi đã cho học sinh sử dụng kết quả của
các bài tập đó dưới dạng các bài toán phụ để chứng minh các bất đẳng thức
khác, với mức độ yêu cầu cao hơn. Nhưng học sinh thấy hứng khởi hơn khi
làm bài. Sau đây là nội dung các bài tập cơ bản trong sách bài tập toán 8 ( sbt)
và các bài tập vận dụng.


B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa. Hệ thức dạng a < b ( hay a >b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức
2. Tính chất
a) Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Với ba số a, b và c, ta có:
Nếu a < b => a+c < b+ c ;

b)

a 2 + b2
≥ ab
2

Chứng minh: a) a2 + b2 – 2ab ≥ 0
 ( a – b)2

≥ 0 ( bđt luôn đúng ). Vậy bđt đã cho được cm

Dấu “ =” xảy ra  a = b
b) Từ

a2 + b2 – 2ab ≥ 0
 a2 + b2

≥ 2ab

a 2 + b2
≥ ab. Dấu “ = “ xảy ra  a = b

2

* Hệ quả ( Suy ra từ bài tập trên)
a) ( a + b)2 ≥ 4 ab
b) 2(a2+b2) ≥ ( a + b)2


* Bài tập vận dụng


Mà a2 ≤ bc, b2 ≤ ac (gt) => a2 + b2 ≤ bc + ac = c( a + b) (2)
=>( a+b)2 ≤ 2c.( a +b)

Từ (1) và (2)

=> ( a + b) ≤ 2c ( do a +b > 0)
Vậy ( a + b) ≤ 2c
Bài 2: Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh rằng
( a +b+ c + d +1)2 ≥ 4( a2 + b2+ c2 + d2)
Giải: Áp dụng bđt phụ ( x + y)2 ≥ 4 xy . Ta có
( a +b+ c + d +1)2 ≥ 4( a + b +c +d) ( 1)
Với x = a+ b+ c + d ; y = 1.
Mặt khác: 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1 nên a ≥ a2, b ≥ b2, c ≥ c2, d ≥ d2
Nên a + b + c + d ≥ a2 + b2+ c2 + d2

( 2)

Từ (1), (2) => ( a +b+ c + d +1)2 ≥ 4( a2 + b2+ c2 + d2)
Vậy bđt đã cho được chứng minh.
Bài 3: Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b + c = 1. Chứng minh rằng
a + 2b + c ≥ 4( a – 1)( b – 1)( c -1)
Giải: Do a, b, c ≥ 0 và a+ b + c = 1 => a ≤ 1, b ≤ 1, c ≤ 1
Áp dụng bđt phụ: 4xy ≤ ( x + y)2, ta có
4(1 –a)( 1- b)(1- c)(1-d) = 4[(b + c)( 1 –c)](1- b) ≤ ( 1+b)2( 1-b) (1)


Mà ( 1 –b)(1+b)2 = ( 1 +b)( 1-b2) ≤ 1 + b ( do 1- b2 ≤ 0)
Lại có: 1 + b = a + 2b + c. (2)
Từ (1) và (2) => 4(1 –a)( 1- b)(1- c)(1-d) ≤ a + 2b + c ( đpcm)

+
a b

+

1
1 1
+
b c

+

1
1 1
+
c a

≤

a+b+c
2

Giải: Áp dụng bđt phụ ( x + y)2 ≥ 4 xy.
Ta có:
1 1
1 1
a+b 2
1
( + )2 ≥ 4 . ⇒ (
) ≥4

1 1
+
b c
1
≤ 4(a + c)
1 1
+
c a

Cộng từng vế của ba bđt cùng chiều, ta được:


1
1 1
+
a b

+

1

+

1 1
+
b c

1
1 1
+

Ta lại có:

16
3

(1)

a4 + b4 ≥ 2a2b2
b4 + c4 ≥ 2b2 c2
c4 + a4

≥

2c2a2

=> a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 (2)
Từ (1), (2) => a4 + b4 + c4 ≥

16
3

Bài 7: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3


3

1
b + c + abc
3

3

≤

Tương tự cũng có

1
bc(a + b + c)

1
1
≤
3
a + c + abc ac(a + b + c)
3

Cộng từng vế ba bđt cùng chiều, ta được:
1
1
1
1
1
1 1

u
v
2
1
u

1
v

Ta có (u + )2 + (v + ) 2 = u 2 +

Giải:

1
1
+ v2 + 2 + 4
2
u
v

Áp dụng bđt: 2( u2 + v2) ≥ ( u + v)2
=> u2 + v2 ≥

1
( vì u + v = 1) , và
2

1 1
1 1
u+v 2

1
1
1
1
1
25
(u + ) 2 + ( v + ) 2 = u 2 + 2 + v 2 + 2 + 4 ≥
+8+4=
u
v
u
v
2
2

Vậy

1
1
25
1
(u + ) 2 + ( v + ) 2 ≥
. Dấu “=” xảy ra  u = v =
u
v
2
2

Bài tập đề nghị



a 2 + b2
≥ 2 ( vì ab > 0)
ab

Vậy

a b
+ ≥ 2 . Dấu “=” xảy ra  a = b
b a

- Nếu đặt x =
*Hệ quả: i) x +
ii)

a
1 b
=> =
b
x a

1
≥ 2 ( x > 0)
x

a b
+ ≤ −2 ( ab < 0)
b a

* Bài tập vận dụng

1
a

1
b

a) Ta có: ( a +b) ( + ) = 1 +
1
a

a b
+ + 1 ≥ 2 + 2 ≥ 4 ( áp dụng bđt phụ)
b a

1
b

Vậy ( a + b) ( + ) ≥ 4. Dấu “=” xảy ra  a = b
b) Ta có: ( a + b + c)(

1 1 1
+ + )
a b c

a a
b b
c c
+ +1+ + +1+ + +1
b c
a c

c)

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a +b 2

a
b
c
9
+ 1) + (
+ 1) + (
+ 1) ≥
b+c
c+a
a+b
2
1
1
1
9
⇔ (a + b + c).(
+
+
)≥

a
b
c
+
+
≥ 3.
b +c − a c + a −b a +b −c

Giải:

Đặt x = b + c - a, y = c + a - b, z = b + a - c
Khi đó: x + y + z = a + b + c
Và y + z = c + a –b + b + a – c = 2a
=> a =

y+z
. Tương tự ta cũng có:
2


x+z
2

b=
c=
Từ đó

x+ y
2



Bài 2: Cho a, b, c và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
+ 2
+ 2
≥9
a + 2bc b + 2ac c + 2ac
2

Bài 3: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a
b
c
b + c a + c a + b 15
+
+
+
+
+
≥
b+c a+c b+a
a
b
c
2

3. Bài 80( tr 49-sbt)
Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng

a)

1 1
4
+ ≥
a b a +b
1

4

b) ab ≥ (a + b)2
* Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
1
1
1
1 1 1
a+b+c
+
+
≥ 2( + + ) (với p =
nửa chu vi của tam giác)
p −a p −b p −c
a b c
2

Giải: Áp dụng bđt phụ
1
+
p−a

=
p−a p−c+ p−a b

Cộng từng vê của các bđt trên ta suy ra:
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + )
p −a p −b p −c
a b c

Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c hay tam giác đã cho là đều.
Bài 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a
b
c
d
+
+
+
≥2
b+c c+d a+d a +b

Giải: Áp dụng

1 1
4

4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + bc + cd + da )
+
+
+
≥
(3)
b+c c+d a+d a +b
(a + b + c + d ) 2

Mặt khác

4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + bc + cd + da )
≥2
(a + b + c + d ) 2

Từ (3), (4) suy ra:

a
b
c
d
+
+
+
≥2
b+c c+d a+d a +b

(4)



Áp dụng bđt phụ: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc+ cd
 a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0
Từ (1) 

a 3 + b3 + c 3 − 3abc
≥ 0 ( vì a + b + c ≠ 0)
a+b+c

b) Áp dụng bđt phụ: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc+ cd nhiều lần ta có:
a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ ab2c + abc2 + a2bc ≥ abc( a + b +c )
Vậy a4 + b4 + c4 ≥ abc. ( Do a + b + c = 1)
Dâu “ = “ xảy ra  a = b = c =

1
3

Bài 2: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh :

−1
≤ ab + bc + ca ≤ 1
2

(1)


a 8 + b8 + c 8 1 1 1
≥ + +
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
a 3b3c 3

a b c

1 1 1
+ + )
a b c

( do a, b, c > 0)

Bài 3: Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = abc, chứng minh rằng:
1
a

1
b

1
c

a + b + c ≥ 3( + + )
Giải:

Áp dụng bđt phụ: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc+ cd

=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc+ cd) ≥ 3( ab + bc+ cd)
≥ 3( ab + bc+ cd)

=> ( a + b +c )2
=> a + b +c ≥

3(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca )

có thể tạo ra được một kĩ năng làm toán chứng minh bđt. Đó là khi gặp một bất
đẳng thức cần chứng minh thì luôn luôn liên hệ đến các bất đẳng thức đã quen
thuộc.
Dấu hiệu nhận biết các bài toán liên quan đế các bđt phụ trên:
- Các bài toán áp dụng các bđt (1), (4) thường có giả thiết với các số
dương, luỹ thừa của các số là chẵn, biểu thức cho dưới dạng tổng hoặc tích của
các hạng tử
- Các bài toán áp dụng các bđt (2), (3) thưòng có giả thiết các số đã cho
là dương, có dạng phân thức đại số.
Để làm xuất hiện các bđt quen thuộc khi làm toán,cần lưu ý học sinh đôi
khi phải áp dụng một số phép biến đổi khác như: Thêm, bớt, tách hạng tử hoặc
đặt ẩn phụ.
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ khi luyện tập về chứng minh bất đẳng
thức cho học sinh. Tuy nhiên để chứng minh các bất đẳng thức, cũng có thể có
các cách chứng minh khác và còn nhiều các bất đẳng thức phụ khác.
Khi viết sáng kiến này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất
mong được sự góp ý, phê bình của các đồng nghiệp để củng cố thêm chuyên
môn. Tôi xin chân thành cám ơn!
Hoàng Mai, ngày 16 tháng 4 năm 2010
Ngưòi viết sáng kiên