- „x.

—

v . v . PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li
NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG


Chịu trách nhiệm xuất bản :
LÊ HUY TỦY
Biên tập và sửa bản in :
HOÀNG ĐỨC CHÍNH
NGUYỄN ĐẾ
Vẽ bìa:

HƯƠNG L A N

In 3050 cuốn khổ 14,5 X 20,5 in t ạ i Xí nghiệp in Bắc Thái
Sắp chữ điện tử : Bộ môn.Tin học Trường Đại học H à n g hải
Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP do Cục xuất bản cấp ngày 15 - Ì - 1994
In xong và nộp lưu chiêu t h á n g 7 - 1994


LỜI

NÓI

ĐẦU

ccuốn
ccác

Bài
đối

cchọn

kinh

nghiệm

tập hỉnh
tượng

phố

thực

tiễn

học phăng

đã nêu

thông.

dạy

của tác giả

là Ì tập tài liệu

là cho giáo

không

chúng

viên

răng

qui

uà học sinh

là một

"kho"

cho

chuyên

tư liệu

bài

ểế



có cho đối
pháp

cắt, phủ,
chẵn

qui

tổ hợp,

biến

asin,

đổi

và kịp

nạp

thời

toán

giúp

trình

bày,


tạo Hải

Thư

bài

dạy

nguyên

và phương

Tập

nên
góp

hơn
diêm

sách

này

khống
ý xin

viên



tô

màu,

coi lờ nguồn

bô

sung

tốt

hơn.

thông

rất khoa
sức cốgắng

tránh

khỏi

vê phòng

cực

chiếu,


dịch

học
giải.

nâng

trong

và ít được

và học hình

Người

với

hơn.

tác Dỉricle,

của cuốn

cấp

pháp

qua lời giải

ta, như:

hỉnh.

việc

thông

tự nâng

của 29 chương

và càng

phép

dạng

hỉnh

toán

học,

trò chơi,
bài

vê thể

thông

hỉnh


số đẽ mểc)

nội

viên

dùng

1318

tượng

viên,

thức,

phong
gũi

coi nó là một

với giáo

sư phạm

gân

này



rõ ràng

vê tất cả các mặt:

ÌWÓ cũng

(tìmột

sáng,

được

học,

thiếu
PTTH

hoàn

chỉnh,

thể kiện

ý

sót.

mong

, m - độ dài các đường trung tuyên kẻ từ các đinh A, B, C;
c


1. Chứng minh rằng ^

d i ệ n tích tam giác A B C không lớn hơn - A B . B c.

2
2. Nếu a < b + c, b < a + c, c < a + b và a, b, c là các dương, thì t ò n tại mỏỏt
tam giác có đỏ dài các cạnh bằng a, b, c.
3. Đ i ể m B nằm trong đường tròn đường kính A C khi và chi khi A B C > 90 . .
4. GÓC ngoài của tam giác l ớ n hơn góc trong không kề với nó.
5. M ồ i đường chéo của tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi của nó.
6. D i ệ n tích tứ giác A B C D không vượt quá - ( A B . BC + A D . D C ) .

2
7. Bán kính của hai dường tròn bằng R và r, còn khoảng cách giũa tâm của chtnng
bằng d. Điêu kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là IR — r | < đ < R 4 r r .
§1. Đường trung tuyến của tam giác
i r . - r

a + b - c

15.1. Trong m ọ i tam giác

_
a + b
< m < —•—.
c

2

2

vi i các tam giác A B E , BCE và CDE bằng nhau thì BC = AD/2.
§33. C á c bài t o á n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác
15.9. Đ i ê u k i ệ n cần và (lù để các sẳ a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác
l à i a = V + z, b = z + X, c = x + y, trong đ ó X, V, z là c á c s ố dương.
2

2

2

15.10. N ê u a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa m ộ t tam giác, thì a + b + c

3

3

3

+ c(a - b ) + 4abc > a + b + c .

15.13. Ta gọi " h ệ số không cân" của tam giác với cáccạnha < b < c là số nhỏ nhất
trcong các sô b/a và c/b. H ỏ i "hệ số không cân" k có thổ lẫy các giá trị n h ư thê nào ?
15.14. Biẽt rằng từ ha đoan thẳng bãi ki trong sô năm đoạn thẳng cho trước đ ề u
có) thể dựng được tam giác. K h i đ ó trong tát cả các tam giác dựng đnợc có ít nhát
m i ệ t tam giác nhọn.
15.15. Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa một tam giác, thì
(a + b - c) (a - b + c) ( - a + b + c) < abc.
15.16. Nếu a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác, thì
2

2

2

a b (a - b) + b c (b - c) + c a ( c - a) > 0.
9


§4.Tểng độ dài các đường chéo của tứ giác lồi lớn hơn tổng đô dài c ủ a c á c c ạ i n h Ì
đối nhau
15.17. N ế u A B C D là t ứ g i á c l ồ i , t h ì A B + C D < A C + B D .
15.18. N ế u A B C D là tứ g i á c l ồ i có A B + B D

2

> 5c ,,

15.27. Nêu hai đường cao của một tam giác bằng 12 và 20, thì dường cao t h ứ ba Ì
nhỏ hơn 30.
15.28. Cho ba hình tròn không cằt nhau có các tâm thẳng hàng. Nếu có một!
đường tròn tiẽp xúc v ớ i tất cả ba hình đó, thì bán kính của nó l ớ n hơn bán kính Ì
một hình tròn trong số đã cho.
15.29. Cho các đ i ể m C i , A i , B i nằm trên các cạnh A B , BC, C A của tam giác;
A B C sao cho BAI = ẢBC, C B i = ẲCA, A C Ì = ẲAB, trong đó 1/2 < Ả < 1. Nếm
gọi p và p là chu vi các tam giác A B C và A 1 B 1 C 1 thì (2 A - 1)P < p < Ắp.
10


15.3(l.'Trong một ngũ giác l ồ i luôn có thể chọn dược ba đường chéo đế từ đó có
thuế d ự n g dược mót tam giác.
§6S. D i ệ n tích tam giác không lớn hơn nửa tích độ dài hai cạnh của nó.
15.31. Trong tam giác có diện tích Ì và các cạnh a < b < c, thì b > V ĩ .
15.32. N ê u E, F, G, Hí là trung đ i ể m các cạnh AB, Be, CD, DA của tứ giác
A 1 B C D , t h ì S A B C D £ E G . H F < — ( A B + C D ) ( A D + BC).
4

15.33. N ế u chu v i của một tứ giác lõi bằntĩ 4, thì d i ệ n tích của nó không vượt
qiuá 1.
15.34. Nêu M là đ i ể m n ằ m t r o n g tam g i á c A R C có d i ệ n tích s, thì
4 S S < A M . B e + BM.AC + CM.AB.
15.35. Nêu trong đường tròn bán kính R nội tiếp mội ùa giác có diện tích s và
chiứa t â m đuừng tròn, trên môi cạnh của nó lẫy một đ i ể m bất kì thì chu vi của đa
giẩác l ụ i có các đinh là các đ i ể m được lấy k h ô n g nhụ hơn 2S/R.

=

A i Bi

+

A 2 B 2 , AC

=

A i d

+

A2C2, Be

=

B1C1 +

B2C2,

thì

VS1S2 .

9

li


có diện tích k h ô n g vượt quá 1/n—2.
15.51. Nêu một đa giác d i ệ n tích B nội t i ế p trong đường tròn diện tích A và
ngoại tiếp quanh đường tròn d i ệ n tích c thì 2B < A + c.
15.52. Trong hình tròn bán kính Ì đặt hai tam giác có diện tích đều lớn hơn Ì,
khi đó hai tam giác đó sẽ phải cắt nhau.

12


15 .53. a) D i ệ n tích h ì n h bình h à n h n ộ i t i ế p trong một tam giác không lớn hơn
nuột n ứa d i ệ n tích của tam giác.
b) D i ệ n tích h ì n h b ì n h hành nằm trong một lam giác không lớn hơn một nứa
d i ệ n t ích lam giác.
15..54. D i ệ n tích cùa tam giác có các đinh nằm trên các cạnh cùa một hình bình
h à n h k h ô n g lớn hơn một nứa d i ệ n tích của hình bình hành.
15. 55. a) Trong một đa giác lôi d i ệ n tích s và chu vi p luôn có thể đặt một hình
t r ò n b á n kính s / p .
b) N ê u bên trong một đa giác lõi d i ệ n tích Si và chu vi Pi có thế đặt một đa giác
l ồ i có d i ệ n tích S2 và chu vi ?2 thì 2Sl/pt > S2/P2.
15.56. Trong một da giác l ồ i diện tích l luôn có thể đặt một tam giác có diện
t í c h k h ô n g nhỏ hơn : a) 1/4; b) 3/8.
15.57. M ộ t n-giác lõi đ ặ t trong hình vuông cạnh 1. K h i đó luôn tìm được ba
đ i n h A , B, c của n —giác đó sao cho d i ệ n tích tam giác A B C k h ô n g vượt quá
2

3

a) 8 / n ; b) 16JT/n .
§9. C á c bất đẳng thức về các đường trung tuyến của tam giác.
15.58. N ế u a > b thì ma < rrib
c /2.
b) ma
15.60. a) ma

2

2

+ tĩib

2

2

5: 9c /8

2

+ mt> + nu-

b) ma + mb + me

2


9r.
) < trong đó p là nửa chu v i .

h là đirởne cao lớn nh
t của m ộ i tam giãi- không tù, thì r + R < h.
13


§ 1 1 . Các bất đẳng thức về các góc của tam giác.
15.67. a ì s i n ị < a/2Vbc
2

;

b) t g £ < a/2ha
2

1

15.68.

2R * ~
.
r
sin — (Ì - sin — )
2

2

15.69. coscr + cos/? + cosy < 3/2.

2

-.
2

15.77. a) ctga + ctịự? + ctgy > Vĩ ;
b) t g | t g | t g Z >

Vĩ.

15.78. a) c t g £ + c t g ể + ctgZ. > 3 V 3 .

b) tga + tg/3

+

xg Y

> 3

V ĩ (a, /?, y

< 90°).

§12. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông.
15.79. Nêu c là độ dài cạnh huyên của tam giác vuông , thì với mọi n > 2 luôn
có c" > a + b"
n

14


R

+

r

15.83. Nêu trong một tam giác nhọn ha = lb = m , thì tam giác đó đêu.
c

15.84. Nếu trong tam giác A B C cạnh c lớn n h ấ t , còn a nhỏ nhát, thì le
15.85. r r

< ha.

£ c /4, trong dó re là bán kính dường tròn bàng t i ẽ p góc c của tam
2

c

giác A B C .
15.86. a) Nếu

1

+ 1 = 1,

c

b

Ẩ > 120°.

a

15.87. Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa m ộ t tam giác có chu vi bằng 2, thì
2

a + b
§u.

2

+ c

2



2

2

+ c -

(a - b )

2

-

(b-c)

2

-(c-a)

2

> 4 Vĩ

s.

§15. Đ ố i diện vói các cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
15.91. Trong tam giác ABC: A B C < B Á C khi và chi khi A C < Be,

tức là

tam giác đ ỗ i diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, và đ ố i d i ệ n với cạnh l á n


/ \

15.98. Các góc của một tam giác thổa mãn bát đẳng thức A > B > c . H ổ dinh
nào của tam £iá*FỊ|Mj*j»ậfl tả4ữj4iH>pg J rò n nội t i ế p hơn cả ?
15.99. Nâu . q f a f r ^ W r f i ^ & t f f f t i f g i ã i A B C kẻ một'dường thẳng cắt cát cạnh
của tam giác t ạ i M và ĩkt^tì NÕ ^

2MO.

15.100. NcuịvẩiT'Ìtó^íM*Í0á£'AB CA + GB?

17


15.112. M ộ t đa giác (không nhất thiet phải l ồ i ) dược cắt ra từ giãy và duọtc g;ãp
lại theo một đường thẳng nào đó, hai nửa sau đó dược dán l ạ i với nhau. H ở i c h U i vi
da giác mới nhận được có thể lớn him chu vi đa giác ban đâu hay không ?
15.113. Trong tam giác A B C đường cao A M không nhằ hơn BC, còn đ ư ờ n g cao
B H không nhằ hơn AC. Tính các góc của tam giác A B C .
§19. Các bất đẳng thức với góc.
15.114. Nêu các góc của một ngũ ?iác l ồ i lập t h à n h một cáp số cộng, thì cá c g ó c

15.116. Nếu hai góc đối nhau của một tứ giác là các góc tù, thì dướn? c h é o mõi
đinh các góc đó ngắn hơn đường chéo kia.
í 5,517. Cho A B C D là một tứ giác lõi, nêu A + c < 180° , thì hợp của c á c h ì n h
tròn ngoại tiếp các tam giác A B D và B C D chứa trong hợp của các hình tròn n g c ạ i
t i ế p các tam giác A C D và A B C .
15.118. Cho đa giác bảy cạnh A1A2 ...A711ỘÌ tiếp trong đường tròn, nếu t â m cùa
' đ ư ờ n g tròn đó nằm trong đa giác bảy cạnh, thì tổng các góc thuộc các đinh A i , A3,
As nhỏ hơn 450°.
15.119. Bên trong Ùa giác đều A i , .., An lẫy một đ i ể m o, khi đó có ít n h á t m ộ t
góc AịOẠị thằa mãn bat đ a n g tljức

Ì
TI ( Ì — — ) < AiOAj < n .
n

15.120. Trong tam giác nhọn ABC đuờríg phân giác A D , trung tuyên B M và dường
cao CH đông quy lại một điểm. Hằi giá trị cóc A có thế thay đ ố i trong khoảng nào ?
§20. Đirìmg gấp k h ú c trong hình vuông.
15.121. Nêu bên trong hình vuông cạnh Ì đặt một đuờnu găp khúc k h ô n g tự cắt
dài 1000, thì luôn tìm đirợc một đường thẳng song song với cạnh cùa hình vuông
và cắt (fưSíĩf gap khúc đò tại ít nhất 500 điểm.
15.122. Trong h ì n h vuông cạnh Ì đặt một đường gap k h ú c có độ dài L . Nếu biết
rằng mỗi điếm của hình vuông cách một điểm nào đó cùa đường gấp khúc một
khoảng nhằ hơn 8 , thì

L > —
lĩ

18


15.131. Nếu độ dài các hình chiếu của một đa giác lên các trục tọa độ bằng a và
b, thì chu vi cùa nó k h ô n g nhỏ hơn V2 (a + b).
§23. Các bất đẳng thức khác.
15.132. N ế u tronií tư giác A B C D các góc A và B bằng nhau, còn D > c thì khi
đó A D < BC
15.133. N ê u trong hình thang A B C D các góc thuộc đáy A D thỏa mãn bát đẳng
thức  < D < 90° , thì khi đó A C > BD.
15.134. Nêu p và Q là hai điểm nằm bên trung mội da giác lôi, thì luôn tim được
một dinh A của đa giác sao chí) PA > QA.
19


15.135. Nêu các đườni! chéo cùa một tứ giác lôi bằng 2a và 2b, thì có m ô n
của tứ giác không nhỏ hơn \^a + b
2

ccạnh

2

15.136. Giả sử D và E là trung đ i ế m các cạnh A B và Be cùa tam giác n h ọ n /AABC,
còn M nằm trên cạnh AC. Nếu M D < A D , t hì M E > EC.
15.137. Tron tỉ rừng mọc những cây có dạng hình trụ. Anh lính thông tin cầm c căng
mội đường dày từ điếm A đen điểm B. Nêu biết khoảng cách giữa hai điểm đó bằằấng Ì,
thì dế làm việc dó anh lính thông tin chi cân một cuộn dây dài 1,61 là dù.
15.138. Bằng các cạnh của một đa giác lõi chu vi p luôn có t hế ghép l ạ i tlhhành
hai đoạn thẳng có độ dài hơn kém nhau không quá P/3.
15.139. Trong một vườn cây biết rằng khoảng cách giữa hai cây bất kì kđhtoông
vượt quá hiệu chiêu cao của chúng. Nêu biết t hêm t át cả các cây đêu k h ô n g cao)) quá
100 m, thì khu vườn do có t hế quây bằng một bờ rào dài 200m.

dài các đoạn AC và CD, thì đường trung trực của cạnh Be sẽ cắt cạnh A D . ( chú
không phải cắt kéo dài của nó.
• 15.143. Đường chéo A C của tứ giác A B C D bị chia dôi bởi đường chéo B D . NNcu
BA > Be, thì A D < DC.
15.144. Nêu trong hình thang với các đáy (lài 2 và 11 có t h ể n ộ i t iếp một đ ư ờ ờ n g
tròn, thì các cạnh bên của hình thang đó khi kéo dài sẽ cắt nhau dưới một sóc nĩioọn.
15.145. Nếu nỗi các trung điếm các cạnh liên t i ẽ p của một n-giác lôi M , thì ì đa
giác nhận được có :
a) Chu vi không nhỏ hern nửa chu vi của M khi n > 3.
b) D i ệ n tích không nhỏ hơn nửa diện tích của M khi n > 4.
20


15.146. N ế u gọi a, b, c là các cạnh của tam g i á c , p = a
+ toe + ca, thì 3 T < p < 4T.

+ b + c, T = ab +

2

15.147. N ế u tích các cạnh A B và CD của tứ giác l ồ i A B C D bằng tích các cạnh
A D và Be, và đường chéo B D chia đôi đường chéo A C , thì A B = BC và A D = DC.
15.148. Đ ố i với mọi tam giác —ỉ— < — + — + - 2Rr
a
b
c
2

2


+ Q C > B C . Do đó 2CC] + B A > CA + B e , tức là m
G i ả sẳ c
Do l ó 2 m

c

=

c

+ OA

> CA và BO

> - (a + b 2

+

c).

đ ố i xứng v ớ i c qua d i ê m C i . K h i đó C Q = C i C và Be

= CA

Cơ < CB + B C = CB + CA, tức là m < - (a + b).
c

2
15.2. Theo bài trên m < - (b + c),mb < - (c + a ) , me < - (a + b ) , do đó tổng
2

CO

2
= 3

m

ta đ ư ợ c m

c

a

+ nib + m

c

3

3
> - (a + b + c ) .
4

15.3. G i ả sử M i và M 2 là c á c đ i ế m đ ố i x u y ê n t â m t r ê n đ ư ờ n g t r ò n . K h u i đ ó
M i A k + M 2 A k S: M 1 M 2 = 2, C ộ n g t ấ t cả c á c b ấ t đ ẳ n g t h ứ c d ó l ạ i v ớ i k =
tađược(MiAí

l ,

, n.

n ằ m t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g O O i , t ứ c c ó ít n h á t m ộ t t r o n g n b á t đ ằ n g t h ứ c là n h ỏ
t h ự c s ự . K h i đ ó h o ặ c O O i + ... + O O n < O A I + ... + Q A n , h o ặ c O O i

hem

+ ... + C X O n

> BC và CO + O A > AC nên

AO + BO + GO > (AB + Be +
+ CA)/2. Do A A B C chứa AABO nên
AB + BO + OA < AB + Be + CA
( xem bài 15.6.b), tức BO + O A

2

2

2

2

15.10. Theo bất đẳng thức tam g i á c a > (b - c ) = b - 2bc + c , b > ai
— lác + c , c > a — 2ab + b . Cộng các bất đẳng thức đó lại ta được diêm phaải
chứng minh.
2

2

2

2

15.11. Có thể giả sử a > b > c . Ta chứng minh rằng a = b. Thật vậy nếu b> < : ;
thì b < Aa và c < Mị. trong đó Ả < ị. Do đ ó b + c < 2 A V . V ớ i n đủ liớn ssẽ
có 2Ấ < Ì và ta nhận được điêu mâu thuẢn với bất đẳng thức tam giác.
n

n

n

2


hay /ù < Ì + y . Do đó k không vượt quá số nhỏ nhất trong các số Ả và Ì -+ jỵ.
Á
Phương trình Ả =1 + ị có nghiệm A = ĩ - —

(nghiệm thứ hai ta không quaan

tâm vì nó âm), do đó số nhỏ nhất trong các số là Ả và Ì + J không vượt quaá
Ì + VJ ^ ,
.. . . .
,
Ì + V5 „
_
s _
Ì + V5
.
—
. Từ dó suy ra Ì < k < —•
(k không the bang —
; vì
2
2
2
:

1 u f t

L

Ngược lại khi đặt Ả = /x = k ( Ì < k < —

a2 +• -di và H5 > a 3 + ỈM . Do đỏ as > a 3 + a i > ( a i + à: ) + (a2 -H+a3 ) ^ 2ai + 3a2 . N h ư n g a r + 32 > 2aia2, nên 2ai + 3a2 > ai + 2aia2 + a2 =
- Ca Ì + a2) . Ta được as > (ai + •ái)" mâu thuân với bat đang thức tam giác.
2

2

2

2

2

2

. .

b = —•—, c = — — , tức là cân phải chứng minh xyz