Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

MỤC LỤC

Môn : Sức bền vật liệu F1

1

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bµi 1 : hîp lùc cña néi lùc vµ biÓu ®å néi lùc
1.1. hîp lùc cña néi lùc trªn tiÕt diÖn – øng lùc
1.1.1. Khái niệm nội lực:

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình
dáng nhất định. Khi có nguyên nhân ngoài (ví dụ ngoại lực) tác dụng, vật thể bị biến
dạng, lực liên kết thay đổi để chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Lượng thay đổi
của lực liên kết gọi là nội lực .

H×nh 1-1. Ngoại lực tác động sinh ra nội lực
1.1.2. Khái niệm ứng suất:

Bây giờ chung quanh K (trên mặt cắt thuộc phần A như Hình 1-2a) ta lấy một phân tố
diện tích vô cùng bé ∆F , hợp lực của nội lực tác dụng lên ∆ F là ∆P

của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén).

+

Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một
góc 90° cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n , τ )) thì chiều của
pháp tuyến đó trùng với chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được
coi là âm .

H×nh 1-2. Quy ước chiều của ứng suất
1.1.3. Các thành phần nội lực:

Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang.
Sự thu gọn đó cho một lực R và một mômen M. Nói chung R và M có phương chiều bất
kỳ trong không gian. Để tính toán ta phân R ra thành ba thành phần (ta thường chọn
Oxyz sao cho Ox,Oy nằm trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống, Oz trùng trục thanh)
Môn : Sức bền vật liệu F1

3

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 1-3. Quy ước hệ trục tọa độ Oxyz
+




Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

1.2. BiÓu ®å néi lùc
1.1.1. Phương pháp mặt cắt

Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang chứa điểm K của vật thể chịu lực như hình vẽ
(Hình 1.1b) ta dùng phương pháp mặt cắt (ppmc) như sau: Tưởng tượng dùng mặt phẳng
( π ) qua K và thẳng góc với trục thanh, cắt vật thể ra hai phần (A) và (B). Xét sự cân
bằng của một phần. Ví dụ phần (A):
Phần (A) được cân bằng là nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên phần (A). Nội lực
này phân bố trên diện tích mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân bằng với các
ngoại lực thuộc phần đang xét (A).
1.2.2. Bài toán phẳng – Biểu đồ nội lực:

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh. Hoành
độ trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị
nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng. Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác
định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn
nhất.
Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng
(yOz) thì hợp lực nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó: ta có bài toán phẳng.
+

Các thành phần nội lực: Chỉ có ba thành phần Nz , Mx , Qy nằm trong mặt
phẳng yOz.


Bài giải:
a) Tính các phản lực: Sử dụng các phương trình cân bằng:

∑Z = 0 ⇔ H

A

=0

2l
+ P.3l − M − VB .2l = 0 ⇔ 2ql 2 + 3ql 2 − ql 2 − VB .2l = 0 ⇔ VB = 2ql
2
∑ Y = 0 ⇔ P + q.2l − VA − VB = 0 ⇔ ql + 2ql − VA − 2ql = 0 ⇔ V A = ql

∑m

A

= 0 ⇔ q.2l.

Kiểm tra có được:

∑m

C

= V Al + P.2l − M − VB l = ql 2 + 2ql 2 − ql 2 − 2ql 2 = 0

b) Tính nội lực: Sử dụng phương pháp mặt cắt:



Tại gốc A (z=0):

Môn : Sức bền vật liệu F1

Q y = ql M x = 0
,
6

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

+

Ngành: Cầu – Đường

1 2
Q y = 0 M x = 2 ql
Tại C (z=l):
,

Trên CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2 đi qua trọng tâm O (l ≤ z ≤ 2l) chia dầm ra
2 phần và xét cân bằng phần ACO:

H×nh 1-7. Cân bằng phần ACO
+

Các phương trình cần bằng:

z
−
M
−
M
=
0
⇔
+ qz (l − z ) − ql 2 − M x = 0
∑ A
y
x
2
2

1
⇔ M x = − qz 2 + ql.z − ql 2
2
+

1 2
M
=
−
ql
x
Q =0
2
Tại C (z=l): y
,


x

7

x

= −ql (3l − z )
Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

+

Tại B (z=2l):

Q y = ql M x = − ql 2
,

+

Tại D (z=3l):

Q y = ql M x = 0
,

Ta vẽ được biểu đồ mômen Mx và lực cắt Qy như hình vẽ (Hình 2-9):

Vũ Mạnh Thân


Bi ging th vic

Ngnh: Cu ng

Bài 2 : quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI
trọng ngang trong thanh thẳng
2.1. quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng ngang trong
thanh thẳng
2.1.1. Quan h vi phõn gia ti trng phõn b vi lc ct v mụmen un trong thanh

thng:
Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các thành
phần nội lực trên hai mặt cắt nh hình vẽ (Hình 2-1).
Quy ớc: chiều dơng trục Oz hớng sang phải, q(z) > 0 khi hớng lên nh hình vẽ (Hình
2-1).

Hình 2-1. on thanh vi phõn dz chu ti trng phõn b

Y = 0 Q + (Q
y



dQ y
dz

m

d 2M x
= qz
dz 2

Kt lun : o hm ca lc ct ti mt im bng cng ti trng phõn b theo
chiu di ti im ú, o hm ca mụmen un ti mt im bng lc ct ti im ú,
cũn o hm bc hai ca mụmen un bng cng ti trng phõn b theo chiu di.
T kt lun trờn ta suy ra cỏc kt qu:
+

V mt hỡnh hc, lc ct ti mt tit din chớnh bng dc ca tip tuyn vi
biu mụmen un ti ú v cng ti trng phõn b theo chiu di l

Mụn : Sc bn vt liu F1

9

V Mnh Thõn


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt.
+

Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc
của q(z) một bậc và bậc của hàm số mômen uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt
một bậc.


dz
Q y dz PO 2 ⇒ ∆M x = M O
Bỏ qua các lượng VCB :
,

(1.4)

Ta đã chứng minh được nhận xét: “Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc
mômen tập trung ) thì tại những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước
nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại
các điểm ấy.”
2.2. C¸ch vÏ biÓu ®å theo nhËn xÐt
• Khái niệm :

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh. Hoành độ
trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị
nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng. Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác
Môn : Sức bền vật liệu F1

10

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn

+

Bề lõm của Mx hứng mũi tên lực phân bố q.

+

Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mômen tập trung ) thì tại
những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước nhảy và độ lớn
bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại các điểm
ấy .

Ta có thể sử dụng các liên hệ vi phân hoặc tính chất và các nhận xét để: Vẽ và kiểm tra
biểu đồ nội lực nhanh chóng.
Ví dụ 1 : Vẽ biểu đồ nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 2-3).

H×nh 2-3. Sơ đồ nhịp dầm console

Môn : Sức bền vật liệu F1

11

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Kiểm tra:
+



Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 2-5. Các biểu đồ nội lực

Môn : Sức bền vật liệu F1

13

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bµi 3 : øng suÊt trªn tiÕt diÖn vµ biÕn d¹ng
cña thanh
3.1. øng suÊt trªn tiÕt diÖn
3.1.1. Quan sát biến dạng:

Kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các thớ
dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các mặt cắt ngang), chúng
tạo thành lưới ô vuông . Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô vuông trở thành
lưới ô chữ nhật như hình vẽ (Hình 3-1).

H×nh 3-1. Biến dạng thanh bị kéo



Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σ z thôi. Nội lực
tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là : σ z dF. Và tổng nội lực này trên toàn
diện tích F của mặt cắt ngang là:
N z = ∫ σ z dF
F

(3.1)

Ta xét thêm điều kiện biến dạng : xét phân tố chiều dài dz . Giả sử cố định mặt cắt 11 thì khi có Nz tác dụng mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2'. Do giả thuyết 1 nên mọi điểm
thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc với trục thanh nên mọi thớ dọc đều dãn dài như nhau và
bằng δ ( dz ) .
⇒ Biến dạng tỷ đối:

εz =

Theo định luật Hooke:

δ ( dz )
= const
dz

εz =

σz

3.2.1. Biến dạng dọc:

Ta đã có biến dạng của dz là : δ ( dz ) = ε z dz
Môn : Sức bền vật liệu F1

15

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Vậy độ biến dạng dài tuyệt đối của đoạn 1 là:
Hay:

σz
( dz ) = ∫ N z ( dz )
E
EF
l
l

∆l = ∫

∆l = ∫ δ ( dz ) = ∫ ε z ( dz )
l

l

0

Nz
dz
EF

(3.8)

3.2.2. Biến dạng ngang:

Ta nhận thấy rằng khi thanh chịu kéo, chiều dài của nó dãn ra, còn bề ngang thì co
lại, trái lại khi thanh chịu nén thì chiều dài của nó co lại, chiều ngang phình ra.
Như vậy khi kéo, nén thì phương ngang cũng bị biến dạng. Giữa biến dạng ngang tỷ
ε
ε
đối ng và biến dạng dọc tỷ đối d có mối liên hệ :

ε ng = − µε d
Với: µ là hệ số Poisson xác định được bằng thí nghiệm. µ phụ thuộc vào từng vật
liệu và µ = 0 ÷ 0,5
Dấu: – ở trên chứng tỏ

ε ng

luôn luôn ngược dấu với

εd .

Giá trị hệ số Poisson µ của một số vật liệu như sau:


Môn : Sức bền vật liệu F1

17

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Môn : Sức bền vật liệu F1

Ngành: Cầu – Đường

18

Vũ Mạnh Thân


Bi ging th vic

Ngnh: Cu ng

Bài 4 : ứng suất trên mặt cắt nghiêng, thế
năng biến dạng đàn hồi và bài toán siêu tĩnh
4.1. ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Gi s ti K ta tỏch ra khi vt th n hi chu lc mt phõn t cú cỏc mt song
song vi cỏc mt phng ca h ta , trong ú mt vuụng gúc vi trc Oz l mt mt
chớnh khụng cú ng sut chớnh. Cũn cỏc mt kia l bt k nờn cú cỏc thnh phn ng
sut. Ta ký hiu cỏc ng sut ú nh sau:

Mt (R) // Oz, mt ny ct phõn t ra hai phn (A) v (B).


Gi s xột cõn bng phn (A). Gi u , uv tỏc dng trờn mt ct nghiờng ( ). Ta xột
cỏc lc tỏc dng trờn cỏc mt ca phn (A). Gi cỏc cnh ln lt l dx, dy, dz, ds.
Trờn din tớch dy.dz cú cỏc hp lc

x dydz v xy dydz.

Trờn din tớch dx.dz cú cỏc hp lc

y

Trờn din tớch dz.ds cú cỏc hp lc

u dzds v uv dzds.

Mụn : Sc bn vt liu F1

dxdz v

19

yx

dxdz.

V Mnh Thõn



(4.1)

Gọi là định luật đổi ứng của ứng suất tiếp trẽn hai mặt cắt vuông góc nhau.

∑U = 0 ⇒ σ
∑V = 0 ⇒ τ

u

uv

=
=

σx +σ y σx −σ y
+
cos 2α − τ xy sin 2α
2
2

σ x −σ y
sin 2α + τ xy cos 2α
2

(4.2)

(4.3)

Công thức (5.2) và (5.3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các
mặt cắt nghiêng ( α ) song song với một phương chính không có ứng suất.


Đẳng thức (5.5) gọi là định luật bất biến của ứng suất pháp trên hai mặt cắtvuông góc
nhau.
Ví dụ : Một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng chịu ứng suất như vẽ (Hình 4.3).
0
Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc α = 45 so với trục x.

Môn : Sức bền vật liệu F1

20

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bài giải:

H×nh 4-3. Bài toán ứng
suất trên mặt cắt nghiêng

4.2. ThÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi

Giả sử có một thanh bị kéo hay nén trong giới hạn đàn hồi. Thanh bị biến dạng, do
đó lực đặt vào thanh tạo ra một công, và thanh tích luỹ một năng lượng gọi là thế năng
biến dạng đàn hồi. Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể lại trở vể hình dạng và kích
thước cũ.
Thí dụ thanh bị kéo bởi một lực P, và có biến dạng ∆l . Trong quá trình lực tăng từ 0


(4.8)

Suy rộng công thức này cho trường hợp thanh có nhiều đoạn độ cứng và nội lực
Môn : Sức bền vật liệu F1

21

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

không đổi, hoặc trường hợp thanh có độ cứng và nội lực thay đổi liên tục, ta có:
U=

1 n N zi2 li
∑
2 i =1 EFi

(4.9)

l

1 N 2 dz
U= ∫ z
2 0 EF


2

Vì A = U nên ta có:
∆=

Pa
1 
1 
.
1 +

2
EF tan α  cos 3 α 

4.3. Bµi to¸n siªu tÜnh

Bài toán tĩnh định: Khi tìm các ẩn như phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang... Chỉ
cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập thôi, thì ta gọi đó là bài toán tĩnh
định .
Số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập = số ẩn
Bài toán siêu tĩnh: là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học
độc lập thì sẽ không giải được tất cả các phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang, (số ẩn lớn
hơn số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập)
Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số - số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập
Cách giải bài toán siêu tĩnh bậc n: Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc
lập ta phải lập thêm n phương trình biến dạng nữa.
Ví dụ 1: Xác định phản lực tại A,B (Hình 4.6a)
Môn : Sức bền vật liệu F1

22


Trng thỏi ng sut ti mt im l trng thỏi chu lc ca im ang xột, c c
trng bi tp hp cỏc giỏ tr ng sut phỏp v ng sut tip trờn nhng mt ct vụ cựng
bộ (VCB) khỏc nhau i qua im ú.

Hình 5-1. ng sut trờn nhng mt vụ cung bộ ang xột

xỏc nh ng sut ti mt im trong vt th n hi, ta tỏch riờng ra mt hỡnh
hp cú kớch thc vụ cựng bộ VCB (gi l phõn t) bao quanh im ú. Chỳ ý rng cỏc
cnh ca phõn t l VCB nờn ta cú th coi phõn t l dim ang xột v ng sut trờn cỏc
mt ca phõn t c xem nh ng sut trờn cỏc mt i qua im ú. Trong lý thuyt
n hi ngi ta ó chng minh c rng: "Ti mt im bt k thuc vt th n hi
chu lc, ta luụn luụn cú th tỏch ra c mt phõn t sao cho trờn cỏc mt ca nú ch cú
cỏc ng sut phỏp m khụng cú ng sut tip ( = 0 )". Phõn t ú c coi l phõn t
chớnh, cỏc mt ca phõn t gi l cỏc mt chớnh, cỏc ng sut phỏp trờn cỏc mt gi l
cỏc ng sut chớnh, phng phỏp tuyn ca cỏc mt gi l phng chớnh.
Mt phõn t hỡnh hp cú sỏu mt, nh vy núi chung cú
sỏu thnh phn ng sut chớnh. Nhng do iu kin cõn
bng, cỏc mt i din cú cỏc thnh phn ng sut chớnh
bng nhau v tr s v ngc chiu nhau, do ú ch cú ba

ng sut chớnh. Ta ký hiu cỏc ng sut chớnh 1 , 2 , 3
2 3 (so sỏnh nh s thc)
vi th t quy c 1
Hình 5-2. ng sut chớnh


Vớ d : 1 = 2kN/cm2 ; 2 = 3 kN/cm2; 3 =-10 kN/cm2.

5.1.2. Phõn loi trng thỏi ng sut:

Trong giáo trình sức bền vật liệu chỉ quan tâm đến trạng ĩhái ứng suất phẳng. Từ đó
có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn.
Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi.

H×nh 5-3. Ba trạng thái ứng suất

5.2. Tr¹ng th¸I øng suÊt ph¼ng
5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:

Giả sử tại K ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song
song với các mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt
chính không có ứng suất chính. Còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng
suất. Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau:
+
+

σ
Ứng suất pháp
có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của
pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng.
Ứng suất tiếp chỉ có hai chỉ số: chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt
cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng
suất tiếp

Ví dụ :

τ xy

là ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp tuyến x và