Chương 7 Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập tự giải
Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
z
Chương 7. Thanh chịu uốn phẳng
A. Tóm tắt lý thuy
ế
t
1. Định nghĩa
• Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt
cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn M
x
( hoặc M
y
) nằm
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
• Uốn ngang phẳng: Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên các mặt
cắt ngang của nó chỉ có cặp ứng lực là mômen uốn M
x
, lực cắt Q
y
( hoặc M
y
và Q
x
)
nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
• Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc
với trục thanh
2. Ứng suất trên mặt cắt
ngang
2.1. Ứng suất

y
I
x
(7.2)
Dấu (+) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu kéo và dấu (-) khi điểm tính ứng
suất thuộc vùng chịu nén.
2.2. Đường trung hoà
• Thớ trung hoà: Thớ vật liệu dọc trục có chiều dài không đổi (không bị co,
không bị dãn) trong quá trình biến dạng do chịu uốn.
σ
τ
σ
max
z
t
h1
yC
y y
τ
•
Mặt trung hoà: tập hợp các thớ trung hoà
• Đường trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang (đi
qua trọng tâm mặt cắt ngang)
• Đường trung hoà chia mặt cắt ngang làm hai phần: phần chịu kéo và
phần chịu nén
2.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị
Từ công thứ tính ứng suất pháp (7.1), nhận thấy rằng các điểm càng xa
đường trung hoà thì có trị tuyệt đối của ứng suất càng lớn. Vì các điểm cùng nằm
trên một đường thẳng song song với đường trung hoà có trị số ứng suất như nhau
nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang.

; còn điểm N xa đường
max
x x
W
W
x
W
σ
σ
h
y y
x
τ
3
trung hoà nhất (tung độ
y
n
) ở vùng chịu nén (
σ
z
< 0 ) sẽ có giá trị ứng suất
pháp nén lớn nhất kí hiệu là
σ
z m
i
n

.
Ta có:
M

I
x
y
K
; W
n
=
I
x
y
N
(7.4)
M
x
Thì
σ
zmax
=
k
x
M
x
;
σ
z

m
i
n


max
b
max
Hình 7.2. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nh
ật
- Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b)
bh
2
W
x
=
6
(7.6)
- Mặt cắt ngang hình tròn (đường kính D; trục x đi qua trọng tâm O)
W
=
πD

0,1D
3
(7.7)
x
32
- Mặt cắt ngang hình vành khăn (đường kính trong d, đường kính ngoài D)
πD
3
π
d
3
−

W
h
y
n
n
2.4. Ứng suất tiếp
Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b << h . Ứng suất tiếp tuân theo
giả thiết Zuravxki:
Q
S
c
τ
yz
=
y
x
I
x
b
c
(7.8)
Trong đó:
- Q
y
là lực cắt theo phương y tại mặt cắt
ngang.
- I
x
là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối
với trục x.

x
≤

[
σ
]
=
σ
ok
(7.9)
max
k
k
x
σ
=
M
x
≤

[
σ
]
=
σ
on
(7.10)
min
n
n

n
+ Với vật liệu dẻo:
- Mặt cắt cần kiểm tra: mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối
ma
x
{
σ

max
,
σ

min

}

≤

[
σ

]
(7.12)
+ Với vật liệu dòn: nếu tiết diện có trục x là trục đối xứng thì mặt cắt ngang
nguy hiểm là mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối; nếu trục x không
là trục đối xứng thì mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có mô men âm lớn nhất và
cả mặt cắt ngang có mô men dương lớn nhất.
σ
=
M

Mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có trị tuyệt đối của Q
y
lớn nhất. Điểm kiểm
tra là các điểm nằm trên đường trung hoà.
τ
max
=
Q
S
c
x
I
b
c
≤

[
τ
]
(7.13)
Trong đó
[
τ
]
được lấy tuỳ theo thuyết bền.
c. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt ngang có M
x
và Q
y

t®
z zy
 Chú ý:
+ Khi kiểm tra điều kiện bền cho thanh chịu uốn ngang phẳng, về nguyên
tắc ta đều phải kiểm tra cho cả ba loại trạng thái ứng suất đã nêu trên. Tuy nhiên
kết quả thống kê cho thấy điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn là quan trọng
nhất.
3.3. Ba bài toán cơ bản
a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
W
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học thanh, tải trọng và ứng suất cho phép.
Yêu cầu: Kiểm tra điều kiện bền cho thanh
M
x
σ
max
=
W

x
≤

[
σ
]
b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, dạng hình học của thanh, tải trọng và ứng suất cho phép.
Yêu cầu: Chọn kích thước nhỏ nhất của thanh
M
x


[
σ
]

=>
M
≤
W
[
σ
]
max x
x
x
4. Biến dạng của dầm chịu uốn
a. Độ cong của đường đàn hồi
1
=
M
x
(7.14)
ρ
EI
x
với
ρ
- bán kính cong của đường đàn hồi
M
x


C
(7.16)
dz
E
I
x
Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng
y=0
y=
0
ϕ

0
ϕ

0
M
gt

=0
M
gt

=0
Q
gt
0
Q
gt

0
ϕ
0
M
gt

=0
M
gt

=0
Q
gt
0
Q
gt
0
Q
gt
0
⎥
gt
x
y(z)
=
⎡
∫

⎢
∫

M
x
(7.18 )
thì quan hệ giữa
EI
x
y(z)
,
ϕ
(z)

,
q
gt
(z)
giống như quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và
cường độ của tải trọng phân bố trong biểu thức liên hệ vi phân giữa chúng. Chúng ta sẽ
tận dụng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn khi biết tải trọng phân bố để áp dụng vào
bài toán tìm góc xoay và độ võng.
- Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là dầm giả tạo và đặt tải trọng
phân bố
q
(z)
= −
M
x
gt
EI
vào nó thì lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do
q

<0 thì q
gt
>0 (chiều hướng lên)
- Thay thế liên kết trên dầm thực bằng các liên kết trên dầm giả tạo theo mẫu.
- Tính Q
gt
và M
gt
trên dầm giả tạo tại những mặt cắt ngang cần xác định độ võng
và góc xoay trên dầm thực.
Phương pháp tải trọng giả tạo chỉ có ưu thế khi biểu đồ mô men uốn trên dầm thực
là các diện tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích.
e. Phương pháp thông số ban đầu để xác định đường đàn hồi
- Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1,2,…,i, i+1, ,n từ
trái sang phải. Độ cứng mỗi đoạn là E
1
I
1
, E
2
I
2
,…, E
n
I
n
. Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+1
có liên kết dạng đặc biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy
Δy
a

ϕ
0
z=a
y
Δ
y
a
y
(a)
i
y
(a)
i+1
ϕ
(a)
i
Hình 7.3.
ϕ
(a)
i+1
- Gọi độ cứng qui ước trên cả chiều dài dầm là EI - là bội số chung nhỏ nhất của
tất cả các độ cứng trên mỗi đoạn trên chiều dài dầm. Đặt
EI EI EI EI
K
1
=
E I
, K
2
=

1 i
⎢ ⎥
l
1
5
y
i
+
1
(
z)
=
y
i
(
z)
+
Δ
y
a
+
Δ
ϕ
a
(
z
−

a)
−


a)
3
−
K
i
+
1
Q
i
+
1
(a)
−
K
i
Q
i
(a)
−

−
2!
[
K
i
+
1
q
i

⎤

(
z
−
a)
EI 4!
−EI
⎣
i
+
1
i

+
1
i
i
⎦
5!
Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài thì
y
i
+
1
(
z)

⎡
−
Δ
M
(
z
−

a)
2
+
Δ
Q
(
z
−

a)
3
+
Δ
q
(
z
−

a)
4
+
Δ

=
M

a
;
ΔQ
a
=
Q
a
;
Δq
a
=
q
i
+
1

(a)
−
q
i
(a)
;
Δq
'
=
q
'

z
+
q
'
z
+(7.20)
1 0
0
EI
⎢
0
2!
0
3!
0
4!
0
5!
⎥
⎣ ⎦
Các thông số
y ,
ϕ
, M
, Q ,
q
, q

⎡

y
⎤
⎣
l
⎦
(7.21)
trong đó: l là chiều dài nhịp dầm có độ võng lớn nhất y
max
.
⎡

y
⎤
⎢ ⎥
là độ võng tương đối cho phép của dầm - lấy theo quy phạm của nhà nước.
l l
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
chẳng hạn, với dầm phụ:
⎡

f
⎤
=
1
÷
1

2
, các kích thước theo cm.
1
q
C
0
1
a a
a
(a
)
q
1
1
a a
a
(b)
C
3F
1
F
C
1
a a
a
(c
)
6 12 6
7.2. Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ. Vẽ biểu đồ
các thành phần ứng lực của dầm. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt cắt

.
M=qa
2
q
b
b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có
[σ]
=16
kN/cm
2
.
F=qa
q
C
A B
1.5a
0.5
a
c) Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu có
[σ]
=1,2
kN/cm
2
.
F=q
a
q
M=qa
2
2a a

27
F=2qa
3a
a
7.5. Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
Biết a=1m; q=10kN/m; F=5kN; t=d=2cm; h=24cm; b=10cm.
[σ]=16
kN/cm
2
.
F
F
d
B
a 3a
a
b
7.6. Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
Biết q=15kN/m; M=5kNm; L=1m; a=6cm;
[σ]
k
=3 kN/cm
2
;[σ]
n
=8

C
B
2L
/
3
L
(c)
(
d)
7.8. Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, viết phương trình độ võng và góc xoay
trên chiều dài dầm. Xác định độ võng và góc xoay tại C, biết EI=const
F
q
C C
a
a
a
b
7.9. Dùng phương pháp tải trọng giả tạo xác định độ võng tại B và góc xoay tại C,
biết EI=const
F
F
M=Fa
C
C
C
M=qa
2
F
q
C
B
C
B
3F
a a a
a a a
Bài tập tham khảo
class="bi x0 y9e wf h3f"
class="bi x0 y23a w10 h40"