Chương 5. DẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT
NGANG
5.1. Tóm tắt lý
thuy
ế
t
5.1.1. Các định
ngh
ĩ
a
Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt
ngang
lấy vi phân diện tích
Da.
1. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox:
S
x
=
∫
(
A)
ydA
(5.1)
Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox:
S
y
=
∫
(

=
∫
(
A)
x
2
dA
(5.4)
d
ươ
ng
Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài
4
], giá trị của nó luôn
luôn
3. Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang
A
đối với một điểm
)
I

p
=
∫
(
A)
ρ

2


4
], giá trị của nó có
th
ể
là dương, bằng 0, hoặc
âm.
5.1.2. Các khái
ni
ệ
m
1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của
di
ệ
n
tích mặt cắt ngang đối với nó bằng
0.
2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung
tâm
3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà
mô
men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng
0.
4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là
h
ệ
trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt
ngang.
5.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt
ngang
Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn

i
( x
Ci
,y
Ci
) trong hệ toạ độ ban đầu,
thì:
x =
S

y
n
∑

x
Ci
A
i
=
i=1
;
y
=
S
x
n
∑

y
Ci

âm.
5.1.4. Công thức chuyển trục song
song
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc
tr
ư
ng
hình học mặt cắt ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới O'uv có
O'u//Ox,
O'v//Oy
và:
u = x +
b
; v = y +
a
(5.9)
u
x
v
y

I
+
2aS
+ a
2
A
(5.10)
u x
x
I =
I
+
2bS
+ b
2
A
v y
y
I
uv
=
I

xy
+
aS

y
+ bS
x

trên
hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái
y)
5.1.5. Công thức xoay
trục
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc
trưng
hình học mặt cắt ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới Ouv xoay một
góc
α
so với hệ trục Oxy như hình vẽ
(
α theo chiều ngược chiều kim đồng
hồ).
Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ
là:
u = xcosα +ysinα
;
v =
−

S
x
cos
α
S
v
=
S

y

cosα + S
x
sin

α
I + I I −
I
I =
x y
+
x y
cos2α
-I
u
2 2
xy
sin
2
α

a. Hình chữ
nhật
I

x
=
bh
3
12
;
I

y
=
hb
3
12
(5.14)
b. Hình
tròn
4 4 4
4
I =
π
R
=
π
D
= 0,1D
4

y
y
(5.16)
x
x
x
b
b
D
C
y
x
x
x
x
h
h
h
b
a
x
5.2. Bài tập tự
giải
5.2.1. Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau
đây
y y
y
x
x
1 2

2
a
y
b
a C
C
b
C
x
4
C
3
x
5.2.3. Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết
diện
100 40 10
200
10a
20
150 20
20
a
2a
R

=281,6cm
4
của thép góc không đều cạnh L125×80×12mm. Tìm các trục chính và các
mô
men quán tính chính của mặt cắt
ngang.
y
u
0
60
x
5.2.7. Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô
men
quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình
vẽ.
10
0x
10
0x
10
N
o
27
5.2.8. Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung
tâm
của tiết diện ghép bằng
nhau.
N
o
20